精品新人教版A版高考数学理科一轮复习12 命题及其关系充分条件与必要条件优质课教案.docx
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精品新人教版A版高考数学理科一轮复习12命题及其关系充分条件与必要条件优质课教案
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题及其关系
（1）理解命题的概念．
（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否
命题，会分析四种命题的相互关系．
2．充分条件与必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识点一 命题、四种命题及相互关系
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
易误提醒 易混否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
必备方法 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
[自测练习]
1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为（ ）
A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：
根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.
答案：
C
知识点二 充要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
易误提醒 注意区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A）；与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同．
必备方法 充分条件与必要条件判定的三种方法
1．定义法：
（1）若p⇒q，则p是q的充分条件；
（2）若q⇒p，则p是q的必要条件；
（3）若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
（4）若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
（5）若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
（6）若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．利用集合间的包含关系判断：
记条件p，q对应的集合分别是A，B，则
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（2）若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件；
（4）若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．等价法：
利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．
[自测练习]
2．“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
由（2x－1）x＝0可得x＝
或0，所以“x＝
或0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：
B
3．已知条件p：
x≤1，条件q：
<1，则綈p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
由x>1得
<1；反过来，由
<1不能得知x>1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.
答案：
A
4．（2015·高考湖北卷）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线；q：
l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：
两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.
答案：
A
考点一 命题及其相互关系|
1．（2015·高考山东卷）设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：
由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
答案：
D
2．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：
A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
答案：
A
3．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．
①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：
对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f（x）＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：
②④
命题真假的两种判断方法
（1）联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
（2）利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
考点二 充分条件和必要条件的判定|
（1）（2015·高考四川卷）设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以a>0，log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．
[答案] A
（2）（2015·高考北京卷）设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.
[答案] A
判断充分条件与必要条件的两个注意点：
（1）要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.
（2）要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
1．（2015·高考湖南卷）设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
结合韦恩图（图略）可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.
答案：
C
考点三 充要条件的应用|
已知p：
x2－2mx－15m2≤0（m>0）；q：
x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[解析] 本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．
若p真，则－3m≤x≤5m；
若q真，则－2≤x≤5；
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，
所以
∴0，
所以实数m的取值范围为
.
[答案]
利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：
（1）关键点：
是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．
（2）注意点：
注意区间端正值的检验，易忽视．
2．已知α：
x≥a，β：
|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：
α：
x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：
|x－1|<1，∴0∴β可看作集合B＝{x|0又∵α是β的必要不充分条件，
∴BA，∴a≤0.
答案：
（－∞，0]
1.等价转化思想在充要条件中的应用
【典例】 已知条件p：
≤－1，条件q：
x2－x[思路点析] “綈q的一个充分不必要条件是綈p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”．
[解析] 由
≤－1，得－3≤x<1.
由x2－x当a>1－a，即a>
时，不等式的解为1－a当a＝1－a，即a＝
时，不等式的解为∅；
当a<1－a，即a<
时，不等式的解为a由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．
当a>
时，由{x|1－a解得
当a＝
时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；
当a<
时，由{x|a解得0≤a<
.
综上，a的取值范围是[0,1]．
[答案] [0,1]
[思路点评]
（1）本题用到的等价转化
①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．
（2）对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到．
[跟踪练习] 若“x2>1”是“x解析：
由x2>1，得x<－1，或x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：
－1
A组 考点能力演练
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（ ）
A．若a2＋b2≠0，虽a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：
先确定逆命题为“若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0”，再将逆命题否定为“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
答案：
D
2．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝
，x2＝20.故选A.
答案：
A
3．（2016·沈阳一模）“x<0”是“ln（x＋1）<0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
设命题p：
x<0，命题q：
ln（x＋1）<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知
所以－1 q．所以p是q的必要不充分条件，所以选B.
答案：
B
4．设a，b为两个非零向量，则“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
设a，b的夹角为θ.由a·b＝|a·b|得：
|a||b|·cosθ＝|a||b|·|cosθ|，|a||b|（cosθ－|cosθ|）＝0，即|a||b|＝0（舍）因为a，b非零，或cosθ≥0，所以由a·b＝|a·b|
a与b共线，反过来，当a＝－b时，虽然“a与b共线”，但是“a·b＝|a·b|”不成立，所以“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：
D
5．已知p：
x>1或x<－3，q：
x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，1]
C．[－3，＋∞）D．（－∞，－3]
解析：
法一：
设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1，故选A.
法二：
令a＝－3，则q：
x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.
答案：
A
6．（2016·成都一诊）设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
解析：
找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案：
若|a|＝|b|，则a＝－b
7．（2015·盐城一模）给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）
解析：
①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：
①③
8．设条件p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；条件q：
实数x满足x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2<0得3a0得x<－4或x>2，因为q是p的必要不充分条件，则
所以a≤－4.
答案：
（－∞，－4]
9．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：
（1）逆命题：
已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
（2）否命题：
已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
（3）逆否命题：
已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
10．已知（x＋1）（2－x）≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0
的解为条件q.
（1）若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
（2）若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
解：
（1）设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，
设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集
，解得m>1，
（2）若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集
解得－
B组 高考题型专练
1．（2014·高考新课标全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：
f ′（x0）＝0；q：
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：
由于q⇒p，则p是q的必要条件；而p
q，如f（x）＝x3在x＝0处f ′（0）＝0，而x＝0不是极值点，故选C.
答案：
C
2．（2015·高考重庆卷）“x>1”是“log
（x＋2）<0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
由log
（x＋2）<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>1”是“log
（x＋2）<0”的充分而不必要条件，故选B.
答案：
B
3．（2015·高考安徽卷）设p：
12x>1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
q：
2x>1⇔x>0，且（1,2）⊆（0，＋∞），所以p是q的充分不必要条件．
答案：
A
4．（2015·高考福建卷）“对任意x∈
，ksinxcosxA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
因为x∈
，所以sin2x>0.任意x∈
，ksinxcosx，k<
.当x∈
时，0<2x<π，设t＝2x，则00，所以f（t）＝t－sint在（0，π）上单调递增，所以f（t）>0，所以t>sint>0，即
>1，所以k≤1.所以任意x∈
，k<
，等价于k≤1.因为k≤1
k<1，但k≤1⇐k<1，所以“对任意x∈
，ksinxcosx答案：
B
5．（2015·高考北京卷）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案：
B
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