第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(word版).doc
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第28届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年。
1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。
经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知：
1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10-11m3•kg-1•s-2，太阳质量mS=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。
S
P0
P
θP
rP
二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。
θ
α
A
B
C
D
三、（25分）人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。
但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转。
减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法，其原理如图。
设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。
图中O是圆筒的对称轴。
两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。
正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。
卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。
当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，接触小球与卫星的联系，于是卫星停止转动。
已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处。
试求：
（1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l；
（2）绳的总长度L；
（3）卫星从ω0到停转所经历的时间t.
Q
Q'
m/2
m/2
P0
P0'
O
ω0
四、（20分）空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz，如图所示。
匀强电场沿x方向，电场强度，匀强磁场沿z方向，磁感应强度，E0、B0为已知常量，、分别为x方向和z方向的单位矢量。
（1）有一束带电量都为正q、质量都为m的粒子，同时从Oyz平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz平面内，速度的大小和方向各不相同。
问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内。
（2）现在该区域内再增加一个沿z方向随时间变化的匀强电场，电场强度，式中ω=.若有一电荷量为正q、质量为m的粒子，在t=0时刻从坐标原点O射出，初速度在Oyz平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。
（不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场）
y
z
x
O
五、（15分）半导体PN结太阳能电池是根据光生伏打效应工作的。
当有光照射PN结时，PN结两端会产生电势差，这就是光生伏打效应。
当PN结两端接有负载时，光照使PN结内部产生由负极指向正极的电流即光电流，照射光的强度恒定时，光电流也是恒定的，已知该光电流为IL；同时，PN结又是一个二极管，当有电流通过负载时，负载两端的电压V使二极管正向导通，其电流为式中VT和I0在一定条件下均为已知常数。
（1）在照射光的强度不变时，通过负载的电流I与负载两端的电压V的关系式I=.太阳能电池的短路电流IS=，开路电压VOC=.负载功率P=.
（2）已知一硅PN结太阳能电池的IL=95mA，I0=4.1×10-9mA，VT=0.026V.则此太阳能电池的开路电压VOC=
V.若太阳能电池输出功率最大时，伏在两端的电压可近似表示为，则VmP=V.太阳能电池输出的最大功率Pmax=mW.若负载为欧姆电阻，则输出最大功率时，负载电阻R=Ω.
负载
光
+
-
六、（20分）如图所示为圆柱形气缸，气缸壁绝热，气缸的右端有一小孔与大气相通，大气的压强为P0.用一热容量可忽略的导热隔板N和一绝热活塞M将气缸分为A、B、C三室，隔板与气缸固连，活塞相对气缸可以无摩擦地移动但不漏气。
气缸的左端A室中有一电加热器Ω.已知在A、B室中均盛有1摩尔同种理想气体，电加热器加热前，系统处于平衡状态，A、B两室中气体的温度均为T0，A、B、C三室的体积均为V0.现通过电加热器对A室中气体缓慢加热，若提供的总热量为Q0，试求B室中气体的末态体积和A室中气体的末态温度。
（设A、B两室中气体1摩尔的内能为U=RT，式中R为普适气体常量，T为绝对温度）
N
M
Ω
A
B
C
七、（20分）如图所示，L是一焦距为2R的薄凸透镜，MN为其主光轴。
在L的右侧与它共轴地放置两个半径皆为R的很薄的球面镜A和B.每个球面镜的凹面和凸面都是能反光的镜面。
A、B顶点间的距离3R/2.在B的顶点C处开一个透光的小圆孔（圆心为C），圆孔的直径为h.现于凸透镜L左方距L为6R处放一与主轴垂直的高度也为h（h<（1）像I与透镜L的距离等于；
（2）形成像I的光线经A反射，直接通过小孔后经L所成的像I1与透镜L的距离等于；
（3）形成像I的光线经A反射，再经B反射，再经A反射，最后通过L成像为I2，将I2的有关信息填在下表中：
I2与L的距离
I2在L左方还是右方
I2的大小
I2是正立还是倒立
I2是实像还是虚像
（4）物PQ发出的光经L后未进入B上小圆孔C的那部分光最后通过L成像为I3，将I3的有关信息填在下表中：
I3与L的距离
I3在L左方还是右方
I3的大小
I3是正立还是倒立
I3是实像还是虚像
P
A
B
C
D
Q
M
N
h
L
O
6R
3R/2
八、（20分）有一核反应其反应式为，反应中所有粒子的速度均远小于光速。
试问：
（1）它是吸能反应还是放能反应，反应能Q为多少？
（2）在该核反应中，若静止，入射质子的阈能Tth为多少？
阈能是使该反应能够发生的入射粒子的最小动能（相对实验室参考系）。
（3）已知在该反应中入射质子的动能为1.21MeV，若所产生中子的出射方向与质子的入射方向成60.0°角，则该中子的动能Tn为多少？
（已知、、核、核的静止质量分别为：
mp=1.007276u，mn=1.008665u，=3.015501u，=3.014932u.u是原子质量单位，1u对应的能量为931.5MeV.结果取三位有效数字）
第28届全国中学生物理竞赛复赛答案
一、参考解答：
解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有
S
P
（2）
设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
（3）
（4）
图1
由图1可知，P点的坐标
（5）
（6）
把（5）、（6）式代入
（1）式化简得
（7）
根据求根公式可得
（8）
由
（2）、（3）、（4）、（8）各式并代入有关数据得
（9）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
（10）
式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（11）
得
（12）
代入有关数据得
（13）
设P点速度方向与的夹角为（见图2），根据开普勒第二定律
（14）
S
P
其中为面积速度，并有
（15）
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
（16）
图2
解法二
取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为
（1）
其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知
（2）
将
（2）式代入
（1）式可得
（3）
以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有
（4）
在近日点，由（3）式可得
（5）
将、、的数据代入（3）式即得
（6）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能
（7）
式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
（8）
可得
（9）
代入有关数据得
（10）
设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有
（11）
根据（8）式，同理可得
（12）
由（6）、（10）、（11）、（12）式并代入其它有关数据
（13）
评分标准：
本题20分
解法一
（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，（13）式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．
解法二
（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，（10）式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．
q
a
B
D
C
A
N1
N2
E
mg
mg
f2
F
O
y
f1
N4
N3
x
二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
为地面作用于杆的摩擦力，为地面对杆的支持力，、为杆作用于杆的摩擦力和支持力，、分别为墙对杆和的作用力，为重力.取杆和构成的系统为研究对象，系统平衡时,由平衡条件有
（1）
（2）
以及对A点的力矩
即
（3）
式中待求.是过的竖直线与过的水平线的交点，为与的交点．由几何关系有
（4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
（5）
（6）
以及对点的力矩
（7）
解以上各式可得
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
CD杆平衡的必要条件为
（14）
由（12）、（13）、（14）式得
（15）
AB杆平衡的必要条件为
（16）
由（10）、（11）、（16）式得
（17）
因此，使系统平衡，应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
（18）
将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得
（19）
因此，的取值范围为
（20）
评分标准：
本题20分
第1问15分
（1）、
（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，（9）、（10）式各1分,（12）到（17）式各1分．
第2问5分
（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分．
三、参考解答：
解法一
图1
T
O
P
1．设在时刻，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于点，绳与圆筒的切点为，到的距离即绳的拉直部分的长度为，圆筒的角速度为，小球的速度为.小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有
（1）
（2）
因为绳子不可伸长，与切点的速度相等，即
（3）
解
（1）、
（2）、（3）式得
（4）
（5）
由（4）式可得
（6）
这便是在卫星角速度减至时绳的拉直部分的长度．
2．由（6）式，当得
T
图2
O
（7）
这便是绳的总长度L.
3．如图2所示，从时刻到，切点跟随圆筒转过一角度，由于绳子的拉直部分的长度增加了，切点相对圆筒又转过一角度，到达处，所以在时间内，切点转过的角度
（8）
切点从变到也使切线方向改变了一个同样的角度，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度引起的，故有
（9）
由
（1）、
（2）、（3）式可得
（10）
由（8）、（9）、（10）三式得
（11）
（11）式表示随均匀增加，故由0增加到所需的时间为
（12）
解法二
T
R
l
r
图1
1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度.
在时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为，小球到切点T的距离即绳的拉直部分的长度为，小球到转轴的距离为，圆筒的角速度为.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.
图2
首先考察小球相对于圆筒的运动.在时刻，与固定在圆筒上的半径的夹角为，如图2所示.由于小球相对圆筒的运动，经过时间，切点从圆筒上的点移到点，与的夹角变为，绳的拉直部分的长度由变为，小球由运动到，便是小球相对圆筒的位移.当很小时，故
于是小球相对圆筒的速度大小为
（1）
方向垂直于．是切点相对圆筒转动的角速
T
P
r
l
图3
O
R
度．
再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆筒的角速度为时，位于转动参考系中的点（小球所在处）相对质心系的速度
（2）
方向垂直于．可以把分解成沿着方向的分量和垂直方向的分量，如图3所示，即
（3）
（4）
小球相对质心系的速度是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的点相对质心系速度的合成，由图3可得的大小
（5）
因
（6）
故有
（7）
因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有
（8）
（9）
由（7）、（8）两式有
（10）
由
（1）、（3）、（4）、（6）、（9）各式得
（11）
由（10）、（11）两式得
故有
（12）
上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将（12）式代入（11）式得
（13）
由（6）、（13）两式得
（14）
这便是在卫星角速度
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