初中数学竞赛平行四边形.docx
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初二数学联赛班
八年级
第1讲平行四边形
知识总结归纳
一.平行四边形的定义：
（1）定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．
（2）平行四边形的定义包含两层意义：
①它是四边形；②它的两组对边分别平行，两者缺一不可．
（3）定义既是基本判定也是基本性质：
如果一个四边形两组对边分别平行，那么它是平行四边形；反之如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别平行．
二.平行四边形的性质：
（1）角的性质：
平行四边形的邻角互补，对角相等．
（2）边的性质：
平行四边形的对边平行且相等．
（3）对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分．
（4）中心对称性：
平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
三.平行四边形的判定：
（1）定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
（2）一组对边法：
一组对边平行且相等．
（3）对角线法：
对角线互相平分．
（4）两组对角法：
两组对角分别相等．
（5）两组对边法：
两组对边分别相等．
四.三角形的中位线：
（1）定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（2）三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
典型例题
一.基本概念和性质
【例1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．
A．相邻的角互补B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点
【例2】如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．
A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
【例3】如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“”，错误的打“×”．
（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）
（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）
（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）
（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）
（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）
（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）
D
C
E
B
A
【例4】如图所示，在中，是边上的中点，若，，求的边长．
【例5】如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：
BE=DF．
二.巩固提高
【例6】如图，在中，、是对角线上两点，且，求证：
四边形是平行四边形．
E
D
C
B
A
F
【例7】如图，在中，，，是边上的一点，过点作交于点，过点作交于点，求四边形的周长．
F
E
C
B
A
D
【例8】如图，在中，是的平分线，是的中点，，，是多少？
E
D
C
B
A
F
【例9】在中，以、为边分别向外作正、正，连结、交于点，求证：
，．
F
C
B
D
A
E
O
【例10】如图，、、是的三条中线，，，则是平行四边形．
E
F
D
C
B
A
G
【例11】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：
CD=CM．
三.与平行四边形相关的杂题
D
A
C
B
O
G
F
E
H
【例12】如图所示，在中，，，与相交于点，图中有多少个平行四边形？
P
D
C
B
A
【例13】如图所示，是四边形的边上的一个动点，当四边形满足什么条件时，的面积始终保持不变？
【例14】如图，在中，于，于点，若，，的周长为，求的面积．
F
E
D
C
B
A
【例15】如图，中，，，，若以、、为顶点作平行四边形，求所作的平行四边形的周长．
C
B
A
【例16】平行四边形的对角线分别是和，求它的边长的范围．
四.三角形的中位线
【例17】如图，为中边延长线一点，且，连，分别交、于点、，连交于，连、．
（1）求证：
．
（2）求证：
．
E
F
G
O
D
C
B
A
【例18】如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：
且．
【例19】如图，四边形四边上的中点分别是、、、．求证：
四边形为平行四边形．
H
G
F
E
D
C
B
A
【例20】如图，四边形中，、分别是、的中点，、分别是对角线、的中点．求证：
和互相平分．
D
C
B
A
G
H
E
F
【例21】如图，、为边、的中点，在上取、两点，使，与的延长线相交于点．求证：
四边形为平行四边形．
H
G
D
C
B
A
F
E
【例22】如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，求证：
．
思维飞跃
【例23】如图，四边形中，，．求证：
．
D
C
B
A
【例24】如图，在中，中，在上取点，在的延长线上取点，使．连，交于点．求证：
被平分．
G
D
C
B
A
E
【例25】如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，证明：
四边形为平行四边形．
F
E
P
C
B
A
D
【例26】如图，、分别是四边形的对角线、的中点．求证：
．
F
D
C
B
A
E
【例27】如图，在中，、是的角平分线，于，于，连接．求证：
．
G
E
D
C
B
A
F
作业
1.已知四边形，有以下四个条件：
（1）；
（2）；（3）；（4）．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形是选法共有（）
A．种B．种C．种D．种
2.具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．
A．相邻的角互补B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点
3.如图，在中，、分别在、上，且．求证：
四边形是平行四边形．
F
D
C
B
A
E
4.如图，在中，，在上取，求的度数．
D
C
E
B
A
5.在中，平分交于，将分为和两部分，求平行四边形的周长．
O
E
D
C
B
A
F
6.如图，已知中，过对角线的交点的的直线交、的延长线于和，求证：
．
7.如图，、分别是四边形对角线、的中点，过、交于，交于，且．求证：
．
D
C
B
A
M
N
F
E
8.如图所示，在中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．
试说明：
（1）DE∥BC．
（2）．
9.在四边形中，，，分别是、的中点，，分别是对角线，中点，证明：
与互相垂直．
11
思维的发掘能力的飞跃
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