初中数学竞赛比例与相似综合(二).docx

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初二数学联赛班

八年级

第7讲比例与相似综合

（二）

典型例题

一.射影定理

【例1】（射影定理）在中，，且于，求证：

（1）；

（2）；（3）；（4）．

D

C

B

A

【例2】在中，若于，且满足条件

（1）；或

（2）；或（3），则为直角三角形，且为直角顶点．

D

C

B

A

【例3】如图所示，已知是正方形，、分别在、边上，且．又,垂足为．求证：

．

A

D

C

B

M

P

N

【例4】如图，已知中，，交于，为的中点，连并延长交的延长线于．求证：

．

B

C

D

F

A

E

【例5】已知锐角，是高，，，是的中点，作与延长线垂直且交于，若在的中垂线上，求．

N

P

C

D

B

A

M

二.角平分线定理

【例6】（角平分线定理）在中，是的平分线，求证：

．

D

C

B

A

【例7】在中，，的平分线交于，过分别作、的平行线交、于、,和的延长线交于，求证：

．

F

E

D

C

B

G

A

【例8】如图，中，，、是边上的点，且．若，，求．

E

D

C

B

A

D

E

M

B

C

A

F

【例9】如图，是的斜边，是的平分线，于，交于，交于．求证：

（1）；

（2）．

D

C

B

A

【例10】如图，在中，，，是的平分线．求证：

．

A

H

M

C

B

P

【例11】如图，在中，，，为斜边的中点，为斜边上的高，设为内一点，．证明：

为的角平分线．

思维飞跃

A

D

E

P

CC

B

F

【例12】为等腰三角形底边上的高，为的平分线，作于，又作与直线交于，求证：

．

【例13】如图，在中，，平分，过的中点做的垂线，交的延长线于，交的延长线于．求证：

．

C

F

M

D

E

B

A

作业

F

D

E

C

B

A

1.如图，在中，，，是的中点，平分交于，且．求的长．

2.在中，角平分线与交于，，，，求、之长度（用、、表示）．

D

C

B

A

3.中，，，，的对边长分别为，，．求证：

．

C

D

G

B

E

F

A

4.中,．是的角平分线，是的中点，过作直线平行于交、或延长线于和，求证：

．

5.如图，直角三角形中，，是角平分线，于，则；．

E

D

C

B

A

6.如图，已知凸四边形中，为内一点，满，．

．求证：

（1）；

（2）．

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

7.如图，为等腰底边的中点，、分别为及其延长线上的点．已知，，．求线段的长．

7

思维的发掘能力的飞跃