物理竞赛辅导内容(功和能).doc

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物理竞赛辅导内容（功和能）

知识要点分析：

功和能是物理学中的两个重要概念，能的转化和守恒定律是自然界中最普遍、最基本的规律，能量这条线索是物理学中解决物理问题的一条重要途径，利用能量观点不仅是处理力学问题的重要途径，而且也是分析解决热学、电磁学以及近代物理学中有关问题的重要依据。

利用能量的观点处理物理学的问题有三大优点：

一是能较好地把握物理问题的实质，因为它关心的是物理过程的始末状态和对应过程中能量的转化关系，可以不涉及过程中力作用的细节；二是可以解决牛顿第二定律难以解决的问题；三是能量和功均为标量，这给运算带来的方便。

一、功

1、功：

力对空间的积累效应。

W=FScosθ

2、力：

保守力与非保守力

1）保守力：

力做功与路径无关，只取决于物体的始末位置。

例：

重力，万有引力、弹簧弹力、电场力、分子力。

理解：

A物体运动一周，此力做功为零，则为保守力；

B若能与势能联系起来，也为保守力；

2）非保守力：

做功与路径有关的力，例：

摩擦力等。

3、位移：

力的作用点的位置变化成为力的位移。

一般情况：

物体的位移等于力的作用点的位移——质点；

某些情况：

物体的位移不等于力的作用点的位移——非质点；

例1：

半径为R的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F做得功为（）

例2：

已知力F＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。

，求在此过程中，拉力做的功。

4、功的相对性：

1）在求解功的问题中，位移与参考系有关，因此选用不同的参考系，位移不同，所求的功亦不同。

一般情况下，往往以地面为参考系。

例3：

已知：

倾角为θ、长度为L的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了，求各力所作的功及斜面对物体作的功。

（θ＝30）

2）一对作用力与反作用力做功和参考系无关；

A：

在系统中，作用力与反作用力等大反向，在求它们做的总功时所用的是相对位移，（例如：

一对静摩擦力做的总功为零；一对滑动摩擦力作得总功为—fd相对）而相对位移与参考系的选取无关。

若计算一对滑动摩擦力做得总功，分别以地面或运动木板为参考系计算出来的结果是一样的。

B：

一对作用力与反作用力做功特点：

①两力可能均不做功；

②两力之中只有一个做功；

③两力均做功：

均做正功；均做负功；一个做正功，一个做负功；

5、中学阶段常用的求功的方法；

6、1）恒力做功法：

W=FScosθ

2）变力做功法：

①微元法：

把变力做功转化为恒力做功；

方法：

将过程分为许多小段，在每一小段内均可认为力F为恒力，求出每一小段内该力作的功Wi=FiSicosθi,最后求出所做的总功W=求和；

则讨论向心力始终对物体不做功。

例4：

截面呈圆环的玻璃管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在玻璃管内的最低点A处有一直径略小于管径的小球，小球上连一轻绳，在外力F的作用下，小球以恒定的速度V沿管壁作半径为R的匀速圆周运动，已知小球与管内壁外侧的动摩擦因数为μ，而内侧是光滑的，若忽略管的内外半径之差，认为均为R,，试求小球从A点运动至最高点B过程中拉力F作的功。

②图像法：

作出力随位移变化的图像，求出图线与位移轴所围面积的大小。

例5：

用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：

f=kx，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？

例6：

水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。

③平均力法：

若力的变化与位移成比例，则可以取力的平均值求解；

例7：

用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：

f=kx，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d2＝？

例8：

水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。

④等效法：

从能量的变化或公式W=Pt求解；

例9：

一台抽水机将水从深为H的井中抽出，并以速度v0喷出，已知在t秒内抽出水为m，则抽水机做功为多少？

抽水机的平均功率为多少？

例10：

一枝水枪均匀地喷洒半径为R=12米的农田，已知从h=4米深的井中每秒抽出80升的水喷出，求水泵的功率。

（水枪的倾角为45度）

例11：

如图所示，在一盛水的烧杯中漂浮着月质量为m的物块，求若施加外力将物块压入水底过程中压力作的功。

例12：

跳水运动员从高于水面H=10米的跳台自由落下，假设运动员的体重为m＝60kg，其体型可等效为长度为L=1.0m，直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力，入水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下断面，阻力f的量值随水的深度y变化的函数曲线如图所示，此曲线可近似看作是椭圆的一部分，该椭圆的长、短半轴分别与坐标轴重合，椭圆与y轴相交于Y=h处，与f轴相交于f=处，为了确保运动员的安全，试计算池中水的深度至少应为多少（ρ＝1.0×103kg∕m3）

二、动能

1、动能：

状态量EK＝mv2,由于v与参考系有关，故动能的大小也与参考系的选取有关，因此，在计算功和能时，应选用同一参考系。

2、动能定理：

合外力对物体作的总功等于物体动能的变化量。

优点：

在运算过程中，不必考虑物体的运动情况如何，只要确定其间各力做功的代数和，考虑其的初始状态和终止状态的动能即可列式求解。

例13：

长为2L的细线系住两个质量为m的小钢球，放在光滑的桌面上，在线中央施加如图所示的恒力F,试求

①钢球第一次相碰时在与力F垂直方向上钢球对地的速度；

②经过若干次碰撞后最后两球一直处于接触状态，则失去的总能量为多少？

例14：

如图所示，轨道的对称轴是过O、E两点的竖直线，轨道BEC为120。

的光滑圆弧，半径为R=2.0米，O为圆心，AB、CD两斜面与圆弧分别相切于B、C两点，一物体从高h=3.0米处以速率v0=4.0m∕s的速度沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数为μ＝0.2，求物体在AB、CD两斜面上（不包含圆弧部分）通过的总路程。

例15：

如图所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，设绳子的总长度始终不变，绳的质量，定滑轮的质量和尺寸，定滑轮的摩擦均不计，开始时车在A点，滑轮左右两侧的绳都已绷紧，且是竖直的，左侧绳长为H,提升物体时车加速向左运动，从A运动到B的距离为H,车过B点时车的速度为v，求车由A运动到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。

若不计质量为M的车从A运动到B过程中所受的摩擦阻力，求小车在此过程中，牵引力做了多少功？

例16：

如图所示，一固定光滑的半圆形碗，半径为R,在光滑的碗的边缘两边通过一轻质的细线挂着质量分别为M和m的两个小物体，M＞m，现让M从靠近碗的边缘处有静止开始沿碗的内壁下滑，求的物体M下滑到碗的最低点的过程中，细线对物体M做的功。

3、质点系统的动能定理：

1）质点的动能定理研究的是一个质点，质点系的动能定理研究的是若干个质点。

质点系的动能定理可以由质点动能定理推导出来。

设：

质点系由N个质点组成，其中第I个质点受到系统外力和系统内力的作用，则该时刻对该质点运用动能定理：

Wi外＋Wi内＝；

（分析各物理量含义）

对所有质点均利用动能定理，并求和：

结论：

对于质点系，外力和内力对物体所做的总功等于质点系动能的增加量。

例17：

质量为M的列车正沿平直轨道匀速行驶，忽然尾部有一质量为m的车厢脱钩，待司机发现并关闭油门时前部车厢已行驶的距离为L,已知列车所受的阻力与其质量成正比（设比例常数为k），列车启动后其牵引力不变，问前后两节车厢都停下时相距多远？

例18：

水平桌面上放着一条伸长的柔软轻绳，绳的一端挨着桌面上的小孔，绳长为L,质量为m，一根细线通过小孔与绳头相连，下面悬挂一质量为m1的物体，开始用手按着轻绳使之处于静止，然后放开使之运动，设绳与桌面的动摩擦因数为μ，求绳尾滑到小孔时，绳子和物体的速度为多少？

例19：

在光滑的水平面上放着一质量为m1，高度为a的长方体滑块，长度为L（L＞a）的光滑轻杆靠在滑块的右上侧的棱上，且轻杆能绕O轴在竖直面内自由转动，轻杆的上端固定一个质量为m2的小球，开始时系统静止，轻杆与水平面的夹角为θ0,求系统释放后滑块的速度v1随θ角的变化。

例20：

水平弹簧，一端固定，另一端系着质量为m的小球，小球的劲度系数为k，小球与水平面的动摩擦因数为μ，当弹簧为原长时，小球位于O点，开始小球位于O点的右边的A点，AO=L0,静止释放，则

①为使小球能且只能通过O点一次，则μ的取值范围如何？

②在上述条件下，设小球停在最左边时，与O点的最大距离如何？

三、势能

（一）、基本概念：

1、保守力：

做功与路径无关的力称为保守力。

例：

重力，弹力，万有引力等；

2、势能：

在保守力场中，有一种仅有质点的位置决定的能量，称为势能（位能）。

3、保守力与势能的关系：

保守力分别对应一种势能，它们做功均与势能变化有关，且保守力做的功等于势能的减少。

（重力——重力势能、弹簧弹力——弹性势能、分子力——分子势能）

4、势能不属于某个质点，而是质点和保守力场共有的。

例如：

重力与重力势能。

（二）、三种势能：

1、重力势能：

当质量为m的物体位于地球表面附近时，一般选择地面或物体运动过程中的最低点为零势能面，物体与地球构成的系统具有重力势能，大小为：

EP＝mgh，（h为物体相对零势能面的高度）；

例21：

劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为mA和mB的两物体A和B相连，劲度系数为k2的轻弹簧下端压在桌面上（不拴接），上端与物体B拴接，整个系统处于平衡状态，现施加外力使物体A缓慢地向上提起，直至弹簧B的下端刚离开桌面，在此过程中，物体B重力势能增加了__________物体A的重力势能增加了___________

弹性势能：

①胡克定律：

F=kx；

②图像表示：

F—x图线，各项含义:

图线与坐标轴所围的面积代表功。

③平均值法：

弹力大小与形变量的大小成正比，

④弹力做功，引起弹性势能变化，则EP＝

结论：

当弹簧的形变量为x时，系统具有的弹性势能为此时，弹簧的弹力做功为—

例22：

质量为M=2千克的物体，其一端经过轻弹簧施加大小为30牛的水平恒力F,若弹簧的劲度系数k＝100N／M,，物体与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3,求物体位移为2米时的速度。

2、引力势能

①万有引力也是保守力，当物体在引力场中运动时，万有引力也做功，从而引起势能的变化，对万有引力所对应的势能，称为引力势能。

②引力势能大小的证明

结论：

在距球心为r处时，物体的引力势能为，负号的引入是因为以无穷远处为零势能面，物体向地球移动，引力做正功，势能减少；

③若选取无穷远处为零势能面，则：

A：

相距为r的质点m1和m2的引力势能为：

；

B：

半径为R的均匀的球体M和距球心为r的质点m构成的系统，此时系统的万有引力与球体质量集中于球心时系统的万有引力相同，故系统的引力势能为：

（r≥R）

C：

半径为R的均匀的球壳M和距球心为r的质点m构成的系统，因为质点处于球壳内部时，球壳对球壳内部的质点的万有引力为零，引力不做功，故此系统的引力势能为：

（r≥R）

（r＜R）

④引力势能与重力势能的关系：

A：

重力势能是引力势能一种近似的特例（认为重力恒定不变）；

B：

两者区别：

就零势能面而言：

重力势能一般以地面为零势能面；

引力势能一般以无穷远为零势能面；

就决定因素而言：

重力势能与距地面的高度（h）有关；

引力势能与距地心的距离（r）有关；

例23：

位于赤道上空r1＝6.5×103千米的卫星，转移到r2＝4.2×104千米的同步卫星轨道上，先要在短时间内给卫星加速，使之从近轨道转移到远点为r2＝4.2×104的椭圆轨道上，当达到远点时，再次加速，使之飞到大圆轨道，求两次加速时速度的增量。

四、功能原理

对于一个物体系统，如果外力做功为W外，内部非保守力做功为W内非，则

W外＋W内非＝ΔEP＋ΔEK＝系统机械能的增量；

（内部保守力做功，只改变系统所对应的势能，但对整个系统而言，机械能并不改变；改变系统机械能的是系统所受的外力和系统内部的非保守力。

）

例24：

宇宙间某一惯性参考系，有两个质点A和B,质量分别为m和M，相距为L0，开始时A静止，B具有沿AB连线延伸方向的速度v0，由于B受力F,可以作匀速运动，求：

①、AB间的最大距离；②、从A开始运动到AB相距最远过程中，力F所做的功；③、分析结果并对①②的结果进行讨论；④若质点A不动，当质点A和B之间的距离由L0增加到L的过程中，则作用在匀速运动的质点B上的拉力F所做的功为多少？

五、机械能守恒

1、物体系统功能原理的特例：

既无外力做功，又没用内部非保守力做功，只有保守力做功，则ΔEK＋ΔEP＝0,机械能的总量保持不变；

2、机械能守恒定律只能适用某一物体系。

（但平常常说为某物体机械能）

例25：

质量为m的物体位于质量可以忽略的竖直弹簧上方H处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物体可能获得的最大动能为____________；

例26：

质量为m的钢板与直立的轻弹簧的上端相连接，弹簧下端固定在地上，平衡时弹簧压缩量为x0,一物块从钢板上方3x0处自由下落，打在钢板上并立刻和钢板一起向下运动，但不连接，它们到达最低点后，又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从原处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块上升的最高点与O点的距离。

例27：

光滑的竖直圆环半径为R,自然长度也为R的轻弹簧的一端固定在大圆环的顶点O,另一端与一个套在大圆环上的质量为m的小圆环相连，如图所示，先将小环移至A点使弹簧保持自然长度，然后释放小环使其运动，求弹簧与竖直线成θ角时小环的速度为多少？

例28：

如图所示，水平传送带AB长为L=1.0米，以v＝1米∕秒的速度匀速转动，把一质量为m＝0.2千克的物体无初速地放在传送带上的A点，物体与传送带的动摩擦因数为μ＝0.5,则在小物体由A运动到B的过程中，传送带对物体做的功为________，系统产生的热能为__________;

例29：

如图所示，质量均为m的小球A、B、C,用两条长度为L的细线相连，置于高度为h的光滑水平桌面上，且L＞h，小球A刚跨过桌边，若A和B两球落地后均不反弹，则C球离开桌面时其速度为多大？

六、冲量与动量：

1、冲量：

1）力对时间的积累效应；

2）恒力：

I＝Ft，（由于力F与时间t均与参考系无关，故冲量与参考系无关）

3）变力：

处理方法：

①微元法：

将过程分成许多微小时间段，使力在此段时间内可以视为恒力，则求出每一时间段内力的冲量ΔI,而后求出他们的矢量和；

②图像法：

利用F-——t图像，图线与坐标轴所围的面积代表此时间内力的冲量；

③动量定理法；（竖直平面内圆运动，求弹力的冲量）

2、质点动量定理：

1）得：

得：

I合＝

2）叙述：

即物体所受的合外力的冲量等于物体的动量增量；

3）矢量式：

Ix=mv2x－mv1x;Iy=mv2y－mv1y

例30：

将不可伸长的细线的一端固定于天花板上的C点，另一端系一质量为m的小球，以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，细线与竖直轴的之间的夹角为θ，如图所示，已知A和B为某一直径上的两点，则小球从A到B的过程中细线对小球的拉力T的冲量为多少。

例31：

一枚质量为M的火箭，依靠向下方喷气在空中保持静止，如果喷出的气体速度为v，则火箭发动机的功率为多大？

例32：

质量为M的车在光滑的水平面上以速度v0向左行驶，一质量为m的小球自高h处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h，设M〉〉m，碰撞的弹力为N〉〉mg，球与车的摩擦系数为μ，则小球弹起后水平速度为__________

例33：

已知m〈M，m离地面的高度为h，现将物体m举高h，使其自由下落，求M上升的最大高度。

窗帘问题

例34：

一根细线长为L,质量为m，对折悬挂，一端固定，自由释放另一端，讨论在下落过程中钉上的拉力与其下落距离的关系。

例35：

如图所示的传送带，与水平方向成30度的倾角，现有沙子自h＝0.5米处自由下落，传送带始终以V＝1米∕秒的速度运转，若沙子落到传送带上的流量为Q=40kg/s，传送带的有效长度为L=10米，电动机的效率η＝80%，则至少需要多大功率的电动机；（g=10m/s2）

3、质点系动量定理：

1）质点系中各点都受到系统外力和系统内力的冲量引起的质点的动量变化：

I外i＋I内i＝Pi2—Pi1；

系统的各质点所受到的所有外力和所有内力的冲量的矢量和引起系统的总动量发生变化：

I外＋I内＝P2—P1

但由于系统内力分别作用力与反柞用力，则此两力的冲量的矢量和为I内＝0；故系统内部的所有内力的冲量的矢量和为零；

因此对于质点系统而言：

质点系统所受外力的冲量，等于质点系统总动量的增量；（系统总动量的变化与内力的总冲量无关）

2）适用范围：

低速宏观

例36：

如图所示，质量为m的人从长为L，质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止，已知铁板与地面的动摩擦因数为μ1，人与铁板之间的动摩擦因数为μ2（μ2）〉μ1），试求人铁板向其运动方向移动的最大距离。

七、动量守恒定律

1、由质点系动量定理；当系统所受的合外力为零时，得I外＝0,P2—P1＝0；P2＝P1；

2、动量守恒定律的内容：

当系统所受的合外力为零时，系统的总动量保持不变；

3、条件：

系统所受合外力为零，不需考虑系统内力；

4、适用范围：

惯性系（所有速度相对于同一参考系），

既适用于低速宏观物体，又适用于高速微观粒子；

5、应用：

①严格按照条件：

系统合外力为零；

②近似符合条件：

系统外内力远大于系统外力，以致可将外力忽略；

③在某方向合外力为零，则在此方向动量守恒（单方向动量守恒）；

例37：

质量为m的青蛙从木板AB的左端E跳向木板的另一端F,已知木板的质量为M,自由地放在光滑的平面上，已知EF＝L,求青蛙的起跳速度v0。

例38：

一人站在平板车上，人和车的总质量为M=40kg，车以v＝10m/s的速度匀速行驶，此人在车运动至某一位置时抛出一个质量为m＝10kg的铅球，使球水平地通过一固定圆环，如图所示，已知圆环中心距手的高度的距离为H=5m，球抛出时相对人的速度为u＝，若，则求：

①抛球时距环的水平距离是多少？

②若人抛球时，作用时间为，则车对地面的压力为多少？

6、专题：

碰撞问题

1）、弹性碰撞：

既有形变过程又有完全恢复过程的碰撞称为完全弹性碰撞，简称为弹性碰撞。

碰撞过程中机械能守恒，但动量不一定守恒；（例如小球与墙壁发生碰撞，且无机械能损失。

①动量、机械能守恒；

解得：

Am1=m2：

两者交换速度v1＝v20；v2＝v10；

Bm1〉〉m2且v20=0：

则v1＝v10；v2＝2v10；

Cm1〈〈m2且v20=0：

v1＝－v10；v2＝0；

②对于弹性碰撞，v10—v20＝v2—v1（牛顿碰撞定律）

v10—v20是碰撞前m1相对于m2的速度，叫作接近速度；

v2—v1是碰撞后m2相对于m1的速度，叫作分离速度；

由此可见，碰撞前后两物体相对速度的大小不变，方向相反，即接近速率等于远离速率。

例：

站在一个球上，看到球迎面而来，碰后又以原速率返回；

2）非弹性碰撞：

发生形变后不能完全恢复的碰撞叫非弹性碰撞。

在碰撞过程中有机械能损失，机械能不守恒，但动量守恒；

（Q为系统热能）

4）完全非弹性碰撞：

形变完全不能恢复的碰撞叫完全非弹性碰撞或范性碰撞。

全其特点为碰后两物体粘连在一起，具有共同的速度，即

在完全非弹性碰撞中系统的动能损失最大：

5）恢复系数e：

①＝；

e由两球的材料性质决定，与两球的质量及初始速度无关；

2、e＝1：

完全弹性碰撞；

3、e＝0：

完全非弹性碰撞；

4、0〈e〈1：

一般的非弹性碰撞；

例39：

N个相同的，质量均为m的小物体排成一行静止在光滑的水平面上，各物体之间有间距，现一质量为M（M＞m）的物块以速度u从左方沿N个滑块的连线方向射向小物体，并与之正碰，假设物体间的碰撞都为完全弹性碰撞，试求所有物体的最后的速度。

例40：

水平放置的圆环形刚性窄槽固定在水平桌面上，槽内镶着三个大小相同的刚性小球，其质量分别为m1、m2、m3，其中m2=m3=2m1,小球与槽的两壁刚好接触，且无摩擦，开始时小球处于等距的A、B、C三点，m2、m3静止，而m1以初速度沿轨道运动，R为圆环半径与小球半径的和，设球之间的碰撞均为弹性碰撞，求碰撞周期T；

例41：

两块光滑竖直板固定在光滑水平桌面上，形成夹角为α＝20的V形空间，一小球从OB边上C处以v＝2米∕秒并与OB成θ＝600的方向开始运动，与OA碰后返回与OB碰，已知OC=4米，设所有碰撞均为弹性碰撞，则

①小球碰撞多少次后回到C点；

②此过程经历的时间；

③过程中小球距O的最近距离；

例42：

两块相同的木板长度均为L,重叠放在光滑水平面上，第三块相同的木块沿水平桌面运动并与叠放在下面的木块发生完全非弹性碰撞（碰后并不再分开），木块间的动摩擦因数为μ，若要求木块最后完全移到第三块上并完全对齐，则第三块的初速度应为多大？

例43：

如图所示，A是由某种材料