七年级第十讲行程问题经典例题Word文档格式.docx
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（575+25）t=600×
2.2=1320.
说明:
飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有
解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是
例3:
甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21km/h、14km/h.
（1）如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?
（2）如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇?
这是环形跑道的行程问题.
（1）设经过xh两人首次相遇.
依题意,得（21+14）x=42,
x=1.2.
因此,经过1.2小时两人首次相遇.
（3）设经过xh两人第二次相遇.
依题意,得21x-14x=42×
2,
x=12.
因此,经过12h两人第二次相遇.
在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈的周长.
有趣的行程问题
【探究新知】
例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：
二人几小时后相遇？
分析与解：
出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.
30÷
（6＋4）
＝30÷
10
＝3（小时）
答：
3小时后两人相遇.
本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：
路程＝速度和×
时间.
例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A点出发，乙从C点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。
当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？
（第二届希望杯试题）
这是一道环形路上追及问题。
在追及问题问题中有一个基本关系式：
追击路程=速度差×
追及时间。
追及路程：
10＋6=16（米）
速度差：
5－4.5=0.5（米）
追击时间：
16÷
0.5=32（秒）
甲跑了5×
32÷
[（10＋6）×
2]=5（圈）
答：
甲跑了5圈。
例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：
当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？
货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；
中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.
解：
①甲、乙两地之间的距离是：
45×
（12—6）＋（45＋15）×
（12—6—2）
＝45×
6＋60×
4
＝510（千米）.
②客车行完全程所需的时间是：
510÷
（45＋15）
＝510÷
60
＝8.5（小时）.
③客车到甲地时，货车离乙地的距离：
510—45×
（8.5＋2）
＝510－472.5
＝37.5（千米）.
客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.
例4、两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长？
首先应统一单位：
甲车的速度是每秒钟36000÷
3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷
3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：
从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×
14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：
乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.
（10＋15）×
14
＝350（米）
乙车的车长为350米.
例5、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？
解这类应用题，首先应明确几个概念：
列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；
两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和。
列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷
（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：
列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×
25—250＝250（米），从而可求出错车时间。
根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：
72000÷
3600＝20（米/秒），
某列车的速度为：
（250－210）÷
（25－23）＝40÷
2＝20（米/秒）
某列车的车长为：
20×
25-250＝500-250＝250（米）
两列车的错车时间为：
（250＋150）÷
（20＋20）＝400÷
40＝10（秒）.
错车时间为10秒.
例6、甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A地。
甲每小时行32千米，乙每小时行48千米。
甲、乙各有一个对讲机，当他们之间的距离小于20千米时，两人可用对讲机联络。
问：
（1）两人出发后多久可以开始用对讲机联络?
（2）他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?
（3）他们可用对讲机联络多长时间?
（第四届希望杯试题）
（1）（260-20）÷
（32+48）=3（小时）。
（2）20÷
（32+48）=0.25（小时）。
（3）从甲、乙相遇到他们第二次相距20千米也用0.25小时．所以他们一共可用对讲机联络
0.25+0.25=0.5（小时）。
例7、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：
它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：
减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.
①AB间的距离是
64×
3－48
＝192－48
＝144（千米）.
②两次相遇点的距离为
144—48－64
＝32（千米）.
两次相遇点的距离为32千米.
※例8赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？
（第五届希望杯试题）
赵伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度为3千米，下山速度为6千米，上山与下山的平均速度是多少？
（这是一个易错题）可以通过“设数”的方法让四年级同学明白。
设上山路程为6千米，（想一想为什么设6千米？
还可以设几千米？
）
上山时间为：
6÷
3=2（时）
下山时间为：
6=1（时）
上下山的平均速度为：
（6＋6）÷
（2＋1）=4千米
又因为平路的速度也为4千米/小时，所以赵伯伯每天锻炼走的路程为：
4×
3=12千米。
【挑战自我】
1、小明、小华和小新三人家在同一条街道上，小明家在小华家西300米处，小新家在小明家东400米处，则小华家和小新家相距多少米？
（第三届希望杯试题）
答案：
画图得100米。
2、小明家离学校2千米，小光家离学校3千米，小明和小光的家相距多少千米？
（第一届希望杯试题）
1千米与5千米之间。
分类讨论，一题多解。
当小明家与小光家在同一侧时，距离最近为1千米。
当小明家与小光家方向相反时，距离最远为5千米。
但是小明和小光家可能不在一条直线上，所以小明与小光家的距离应在1千米至5千米之间。
3、甲乙两个港口相距400千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20小时可到达乙港。
已知顺水船速是逆水船速的2倍。
有一次，这艘船在由甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时。
轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？
顺水速度是400÷
20=20（千米）
逆水速度是20÷
2=10（千米）
反向航行一段距离顺水时用的时间是9÷
（2＋1）=3（小时）
比正常情况多行驶的路程是20×
3×
2=120（千米）
4、两列相同而行的火车恰好在某站台相遇。
如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。
求：
（1）乙列车长多少米？
（2）甲列车通过这个站台用多少秒？
（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？
（1）乙列车长180米
（2）甲列车通过这个站台用多9秒（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了4秒
5、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶，甲车如果每小时行60千米，则5小时可追上前方的乙车；
如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。
由上可知，乙车每小时行驶多少千米？
乙车每小时行驶45千米。
【综合练习】
1、甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：
两车出发后多长时间相遇？
240÷
（240÷
4＋240÷
6）＝2.4（小时）.
2、小明家在学校东400米处，小红加在小明家的西200米处，那么小红家距离学校多少米？
（第三届希望杯试题）
画图解题，小红家距学校200米。
3、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？
①A、B两地间的距离：
4×
3—3＝9（千米）.
②两次相遇点的距离：
9－4－3＝2（千米）.
4、周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走多少米就回到出发点？
几分钟相遇一次：
480÷
（55＋65）=4（分钟）
10次相遇共用：
10=40（分钟）
王老师40分钟行了：
55×
40=2200（米）
2200÷
480=4（圈）……280（米）
所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）
再走200米回到出发点。
5、“希望号”和“奥运号”两列火车相向而行，“希望号”车的车身长280米，“奥运号”车的车身长385米，坐在“希望号”车上的小明看见“奥运号”车驶过的时间是11秒，求：
（1）“希望号”和“奥运号”车的速度和？
（2）坐在“奥运号”车上的小强看见“希望号”车驶过的时间？
（3）两列火车的会车的时间？
（1）速度和35米/秒；
（2）8秒；
（3）会车时间19秒。
5．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
画示意图如下.
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×
3＝10.5（千米）.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了
7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1（千米）.
第四次相遇地点离乙村1千米.
35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：
甲、乙两站的距离是多少米？
先画图如下：
结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：
①第一阶段——从出发到二人相遇：
小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，
小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。
②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。
从小强在两个阶段所走的路程可以看出：
小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷
2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。
47、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
3点时分针指12，时针指3。
分针在时针后5×
3＝15（个）格.
48、有一座时钟现在显示10时整。
那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；
再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
解：
10时整，分针与时针距离是10格，需要追击的距离是（60-10）格，分针走60格，时针走5格，即分针走1格，时针走5/60=1/12格。
第一次重合经过
（60-10）/（1-1/12）=54（6/11）（分）
第二次重合再经过
60/（1-1/12）=65（5/11）（分）
经过54（6/11）分钟，分针与时针第一次重合；
再经过65（5/11）分钟，分针与时针第二次重合。
2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
在2点整时，分针落后时针5×
2=10（个）格，当分针与时针第一次成直角时，分针超过时针60×
（90÷
360）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：
49、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分两种情况进行讨论。
①分针与时针的夹角为180°
角：
当分针与时针的夹角为180°
角时，分针落后时针60×
（180÷
360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×
9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走
（分钟）。
②分针与时针的夹角为0°
，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×
9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：
45÷
（1-1/12）＝49又1/11（分钟）
19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；
如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
先画图如下：
【方法一】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：
（26-6）=20（分）。
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×
（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷
20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。
50×
（26+6）÷
（26-6）=50×
20＝80（米/分）
（80+50）×
6＝130×
6=780（米）
A、B间的距离为780米。
【方法二】设甲的速度是x米/分钟
那么有（x-50）×
26=（x+50）×
6
解得x=80
所以两地距离为（80+50）×
6=780米
例20从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的1/3处（从甲方到乙方向的1/3处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？
解一：
画出如下示意图：
当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的
到达D处，这样，D把第一段分成两部分
两车在第二段的1/3处相遇，水明甲城汽车从D到E走完第一段，与乙城汽车走完第二段的1/3从C到F，所用时间相同，设这一时间为一份，一小时20分相当于
因此就知道，汽车在第一段需要
第二段需要30×
3＝90（分钟）；
甲、乙两市距离是
甲、乙两市相距185千米.
把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.
还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.
解二：
走第一段的2/5,与走第三段时间一样就得出
第一段所用时间∶第三段所用时间=5∶2.
D至E与C至F所用时间一样，就是走第一段的3/5与走第二段的1/3所用时间一样。
第一段所用时间∶第二段所用时间=5∶9.
因此，三段路程所用时间的比是：
5∶9∶2.
行程问题（三）
相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行，然后在途中某点相遇的行程问题。
其主要数量关系式为：
总路程=速度和×
相遇时间
追及问题是指两个物体在行进过程中同向而行，快行者从后面追上慢行者的行程问题。
路程差=速度差×
追及时间
例1姐姐放学回家，以每分钟80米的速度步行回家，12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？
经过12分钟，姐姐到达A地，妹妹骑车回家。
如下图所示：
例2一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？
两车从相距360千米的两地同时出发相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米。
如下图
这时两车共行的路程为
360－90=270（千米）
值得注意的是，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。
如下图所示
例3兄弟两人骑自行车同时从学校出发回家。
哥哥每小时行15千米，弟弟每小时行10千米。
出发半个小时后哥哥因事返回学校，到学校后又耽搁了1小时，然后动身去追弟弟。
当哥哥追上弟弟时，距学校多少千米？
本题可以分段考虑，从开始一步步分析。
出发半个小时后，哥哥因事返回学校，在这个过程中哥哥和弟弟各行了1小时，到学校后哥哥又耽搁了1小时，这时弟弟又行了1小时。
因此可以看作当哥哥准备从学校追弟弟时，弟弟共行了2小时，弟弟2小时所行的路程就是哥哥与弟弟的路程差，由此可求出追及时间。
例4小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇。
甲、乙两地相距多少米？
根据题意画图如下
例5在周长为400米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度骑自行车同时同向出发（顺时针）沿圆周行驶，经过多长时间，甲第二次追上乙？
如图，在出发的时候，甲、乙两人相距半个周长，根据路程差÷
速度
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