光在球面上地反射与折射球面镜成像球面镜地焦距文档格式.docx
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物的位置
像的位置
像的大小
像的正倒
像的虚实
实物
□0
同侧f
缩小
倒
实
迂〜2f
同侧f〜2f
2f
同侧2f
等大
2f〜f
放大
f
oO
f〜0
异侧〜
正
虚
虚物
Q0
异侧0〜f
表U凸镜成像情况
像的性质
f〜近
同侧0〜f
物
00〜2f
f〜2f
同侧闵〜
CO
异侧闵〜
（3）球面镜多次成像球面镜多次成像原则：
只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O、02相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O为0.6R处放一点光源S。
设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在
何处？
图1-4-4
u1=0.6R1
s在凹镜中成像，,fi=㊁R
iii
十=
U|:
1fi
1i2
r=
0.6R■-iR
可解得“PR0Q2=2.6R,
S作为凸镜的虚物来处理,
根据题意：
所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像
u2二（2.6R-3R）二-0.4R，
u2■-2f2
ii2
r=
0.4R2R
可解得：
2=2R
说明凸镜所成的像S2和S在同一位置上。
1.4.2、球面折射成像
（1）球面折射成像公式（a）单介质球面折射成像
如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n,S为S的像。
为i、r均很小，行以
sinrr
因为i=0+a,r=0-P
代入①式可有
丁-r二n（丁—-）
代入②式可得
当U》：
：
时的V是焦距f，所以
f—n
n-1
ni和n2，C是球心，0是顶点，球面曲率半径为R,S是物点，S是像点,
（b）双介质球面折射成像
如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别对于近轴光线
i2=
Ao
8
V
联立上式解得
n.n2_n2F
uvr
这是球面折射的成像公式，式中U、u的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R;
贝U当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=*）时，
图1-4-6
出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距
fR
即是第二焦距2，有f-。
当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点）
，这时物距即为
n2一nl
第一焦距f〔，有fl
niR
n2-ni
f2代入成像公式改写成
反射定律可以看成折射定律在匕=_ni时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光
的行进方向逆转，像距U和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令n2二一厲，—:
R>
-R，即可得到球面
112RffR
hrfi〜f2：
镜反射成像公式u：
R，对于凹面镜R0，2，对于凸面镜R：
0，2，厚透镜成像。
（C）厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为n,物方介质的折射率为ni，像方介质的折射率为n2，前后两边球面的曲率半径依次为「1和r2，透
镜的厚度为OO'
t，当物点在主轴上的P点时，物距u=0P，现在来计算像点P的像距。
S=OP，首先考虑第一个球面AOB寸入
u
t
图1-4-7
射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，p点的像将成在P处，其像距：
.二OP，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，P便是虚物。
因此对于球面AOB物像公式为
n2n〔n-口
vur1
对于球面AOB物像公式为
n2n_n2-n
vu-tr2
这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u
（2）光焦度
折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形
状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用©
表示：
它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。
©
的数值越大，平行光束折得越厉害;
时，屈折是会聚性的；
©
v0时，屈折是发散性的。
=0时，对应于r匚二，即为平面折射。
>
0
图1-4-8
这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。
光焦度的单位是［米-1］，或称［屈光度］，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的“度数”o
（3）镀银透镜与面镜的等效
有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm已知在近轴光线时：
若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；
若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。
当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为
60cm的球面反射镜。
由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心时任一近轴光线经凸面折
射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过点，物像重合。
如图1-4-8所示
i=n「，ui，n=1-。
依题意，，i=—，故n*5。
i6030
A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。
此光线
凸面镀银，光路如图1-4-9所示。
关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点经平面折射后交至光轴于cb，令cb°
=r则i，"
—，「=—，得r=二20cm
Rrn
由光的可逆性原理知，cb是等效凹面镜的曲率中心，f=10cm
例1、如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为察由透镜后表面反射所形成的实像。
试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。
图1-4-10
解：
从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。
从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。
利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。
就可求解。
点时,
图1-4-11甲
像距为V，根据球面折射成像公式:
匹n2=（r>
1-ri2）1
uvR
这里空气的折射率n=1,
透镜介质的折射率n2=n，入射光从顶点射向球心，R=r取正值,
所以有
（1）
1nn-1
——十——=
这是第一次成像。
对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前
图1-4-11丙
将前面数据代入得
vv1r
（2）
这是第二次成像。
由透镜后表面反射成的像点
Ql又作为透镜前
表面折射成像的物点q2，其物距u2二-y（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于Q2，像距为v2，
（见图1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式
=（ni
-山）
这时人射光一侧折射率，折射光一侧折射率（是空气），入射光由球心射向顶点，故R值取负值。
所以可写出
—1=（1~n）
U2V2
1
「r
代入前面得到的关系可得
（3）
n1n-1
u1v2r
这是第三次成像，由
（1）、
（2）两式可解得
1n3n-1
（4）
=
uV1r
再把（4）式和（3）式相加，可得
1.丄_2（2n_1）
uv2r
（5）
为使物点Q与像点°
2在同一竖直平面内，这就要求
r
u=
代入（5）是可解得物距为2n-1
说明由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距
P,根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。
例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜，它的表面是球面，左表面S的球心
为Ci，半径为R，右表面S2的球心为C2，半径为R2，透镜玻璃对于空气的折射率为n,两球心间的距离为C1C2=R2。
n
在使用时，被观察的物位于G处，试证明
1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q
2、QC2=n&
。
首先考虑S面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过S1面，所以对S2来说，物点就在C1处。
再考虑到$面上的折射。
设入射光线与主轴的夹角为9，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13，则由折射定律知
sinr二nsini
在C1C2P中应用正弦定理得
C1C2C2P
sinisin二
已知
CiC
R2R2/n_R2
n由此得sinisin^
sinv-nsini二sinr
图1-4-13
设CP与主轴的夹角为a,则有
:
-丁i=ri
显然，B工0时，rva,因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方
B为QGP的外角
甲=6-ZQPC^=r_（r_i）=i
在qc2p中应用正弦定理，得
QC2_R2
sinrsin
QC2二R2竺二nR2
sini
图1-4-14
（1）求此透镜材料的折射率n（要论证）；
图1-4-15
r为折射角。
根据椭圆的性质，法线BN平分•F1AF2，故AFi与法线的夹角也是r，由正弦定律可得
F1AsiniF2Asini
==n，==n
F1BsinrF2Bsinr
从而可求得
FiAF2A2a1n二
A+F2B2ce
2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；
即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即F2）点。
（2）如果透镜置于折射率为n•的介质中，则要求
sini_n_1sinrne
e-—即椭圆的偏心率e应满足n液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。
实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。
试求该透明液体的折射率n。
由于椭圆的ev1，如果n，-n就无解。
只要n:
n，总可以找到一个椭球面能满足要求。
例4、
（1）图1-4-16所示为一凹球面镜，球心为C,内盛透明液体。
已知C至液面高度CE为40.0cm主轴CO上有一物A,物离
9
存A
光圈
文档
2R—
图1-4-17
（2）体温计横截面如图1-4-17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R,R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数
（1）主轴上物A发出的光线AB,经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C,光线经球面反射后必能沿原路折回。
按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图1-4-18）。
对空气、液体界面用折射定律有
sini=nsinr
图1-4-18
siniBE/ABn二
sinrBE/CB
CE
40.0
-1.33
n二
当光圈足够小时，BtE,因此有
图1-4-19
下，折射定律nsini二sinr可写为这两条光线反向延长，在主轴上相交于即为物A之虚像点（图1-4-19）
对用正弦定律，得
在小角（近轴）近似下：
上式可写为
解上式得
为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB,即然
条光线经界面折射后，反向延长线与过垂轴线相交于，是点物B虚像点，即
AB之正立虚像。
是一对共轭点，只要选从B发出的任
选从B点发出过圆柱面轴心C之光线BC该光线对界面来说是正入射（入射角为零）
半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心0并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光体
L=0.020m若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去（如图1-4-20），可以看到条形发光体的两个不
不必考虑），当条形发光体在
图1-4-22图1-4-21
偏折地出射，反向延长BC线交过垂轴线于，从
放大率=
例5、有
（离球心较近），其长度为
很亮的像（此处可能还有亮度更弱的像，
主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随之移动。
现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发
光体的近端距球心0的距离为。
试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率n（计算时只考虑近轴光线）。
1、条形发光体的两个像，一个是光线在平面部分反射而形成的，一个是光线经平面折射进入玻璃，在凹面镜上反射后，又经平面折射穿出玻璃而形成的。
处，（见图1-4-21）
2、求半球外任一个在轴上的光点A的上述两个像。
平面反射像在凹面镜反射像D求法如下：
（1）A点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从B点射来（1-4-22）。
令OB=b则
（2）用凹面镜公式
（f为焦距）求凹面镜成的像C的位置。
令OC=C则
代入上式
解出C得
由此可以看出，C点在半球之内。
（3）由C点发出的光线，经折射穿出玻璃外时，由外面观察其像点在D处（见图1-4-23）。
令OD=d则
D点就是人眼所看到的光点A的像的位置。
由（3）式可知，a越大，d也越大，且
dva
3现在，条形发光体经平面反射成的像为
设经凹面镜反射所成的像为
可知离球心O比和近。
所以当二像恰好头尾相接时，其位置应如图1-4-24所示，即
合
即
式中为距球心0的距离。
因此得
图1-4-24
代入已知数据：
R=0.128m
得
例6某人的眼睛的近点是10cm,明视范围是80cm,当他配上-100度的近视镜后明视范围变成多少？
在配制眼镜中，通常把眼睛焦距的倒数称为焦度，用D表示，当焦距的单位用m时，所配眼镜的度数等于眼镜焦度的100倍
本题中此人所配的近视眼镜的度数是-100度,此人眼睛的度数,所以此近视镜的焦距为
当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时，所成的虚像在他能看清的近点10cm,由
解得物距
因为此人的明视远点是10cm+80cm=90cm,所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体时，所成的虚像在离他90cm处，再根据透镜
公式可解得他能看清的最远物距是：
所以，他戴上100度的近视眼镜后，明视范围是0.11m^9.0m
说明不管是配戴近视眼镜还是远视眼镜，他戴上眼镜后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物体成虚像到他不戴眼镜时所能看清的明视范围内。
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