知识点057完全平方公式几何背景选择.docx

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知识点057完全平方公式几何背景选择

1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（　　）

A、2张B、4张

C、6张D、8张

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．

解答：

解：

∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，

∴它的边长为a，b，b．

∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：

（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，

∴还需面积为b2的正方形纸片4张．

故选B．

点评：

此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．

2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（　　）

A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn

C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2

考点：

完全平方公式的几何背景。

专题：

计算题。

分析：

根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．

解答：

解：

（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．

故选B．

点评：

本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．

3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（　　）

A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．

解答：

解：

大正方形的面积=（a﹣b）2，

还可以表示为a2﹣2ab+b2，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

故选B．

点评：

正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．

4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（　　）

A、a2B、a2+b2

C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．

解答：

解：

图中的正方形的边长为a+b，

∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．

故选C．

点评：

本题利用了完全平方公式求解．

5、如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（　　）

A、（a+b）2=a2+2ab+b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D、（a+b）2=（a﹣b）2+4ab

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．

解答：

解：

（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．

故选D．

点评：

认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键．

6、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（　　）

A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a+b）2=a2+2ab+b2

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D、（a+b）2=a2+ab+b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

此题观察一个正方形被分为四部分，把这四部分的面积相加就是边长为a+b的正方形的面积，从而得到一个公式．

解答：

解：

由图知，大正方形的边长为a+b，

∴大正方形的面积为，（a+b）2，

根据图知，大正方形分为：

一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，

两个长为b，宽为a的长方形，

∵大正方形的面积等于这四部分面积的和，

∴（a+b）2=a2+2ab+b2，

故选B．

点评：

此题比较新颖，用面积分割法来证明完全平方式，主要考查完全平方式的展开式．

7、我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（3）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（4）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（　　）

A、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C、（a+b）2=a2+2ab+b2D、（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

图（3）求的是阴影部分的面积，同样，图（4）正方形的面积用代数式表示即可．

解答：

解：

图（4）中，

∵S正方形=a2﹣2b（a﹣b）﹣b2=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，

∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．

故选B．

点评：

关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．

8、如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（　　）

A、8或﹣8B、8

C、﹣8D、无法确定

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．

解答：

解：

∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，

∴﹣mx=±2×4•x，

解得m=±8．

故选A．

点评：

本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

9、如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，b2，则原正方形的边长是（　　）

A、a2+b2B、a+b

C、a﹣bD、a2﹣b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

四部分的面积和正好是大正方形的面积，根据面积公式可求得边长．

解答：

解：

∵a2+2ab+b2=（a+b）2，

∴边长为a+b．

故选B．

点评：

本题考查了完全平方公式的几何意义，通过图形验证了完全平方公式，难易程度适中．

10、若长方形的周长为6，面积为1，以此长方形的长与宽为边分别作两个正方形，则此两个正方形的面积之和是（　　）

A、7B、9

C、5D、11

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

设长方形的长是a，宽是b，根据题意，得a+b=3，ab=1．再进一步运用完全平方公式的变形求得a2+b2的值．

解答：

解：

设长方形的长是a，宽是b．

根据题意，得a+b=3，ab=1．

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=9﹣2=7．

故选A．

点评：

此题考查了完全平方公式在几何题目中的运用，渗透数形结合的思想．

11、某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大

的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）

A、a2+2ab+b2=（a+b）2B、4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2

C、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：

大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．

解答：

解：

∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．

故选B．

点评：

考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

12、如图，由四个相同的直角三角板拼成的图形，设三角板的直角边分别为a、b（a＞b），则这两个图形能验证的式子是（　　）

A、（a+b）2﹣（a﹣b）2=4abB、（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab

C、（a+b）2﹣2ab=a2+b2D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

本题从图形的阴影面积着手算起，结果选项B符合．

解答：

解：

前一个图阴影部分的面积：

（a2+b2）﹣（a﹣b）2=2ab

后一个图形面积：

=2ab

故选B．

点评：

本题考查了完全平方公式，从图形的阴影面积得到．很简单．

13、如右图：

由大正方形面积的两种算法，可得下列等式成立的是（　　）

A、a2+ab+b2=（a+b）2B、a2+b2=（a+b）2+2ab

C、a2+2ab+b2=（a+b）2D、a2+2ab=（a+b）2+b2

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

求出大正方形的边长可得出面积，求出四个分割出来的部分的面积可得出大正方形的面积，从而可得出答案．

解答：

解：

由题意得：

大正方形的面积=（a+b）2；

大正方形的面积=a2+2ab+b2，

∴可得：

a2+2ab+b2=（a+b）2．

故选C．

点评：

本题考查完全平方公式的集合背景，难度不大，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键．

14、现有纸片：

1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（　　）

A、a+bB、a+2b

C、2a+bD、无法确定

考点：

完全平方公式的几何背景。

分析：

此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是a2+3ab+2b2，再把a2+3ab+2b2因式分解，即可求出该长方形的长．

解答：

解：

根据题意得：

a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），

所以可以拼成（a+2b）（a+b）的长方形，

该长方形的长为a+2b．

故选B．

点评：

本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，要与因式分解相结合．

15、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为a、b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（　　）

A、a+3bB、3a+b

C、a+2bD、2a+b

考点：

完全平方公式的几何背景。

专题：

计算题。

分析：

1张边长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，∴16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴大正方形的边长为：

a+3b．

解答：

解：

由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，

∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，

∴新正方形边长为a+3b．

故选A．

点评：

本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长．

16、如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是（　　）

A、x+y=7B、x﹣y=2

C、4xy+4=49D、x2+y2=25

考点：

完全平方公式的几何背景。

专题：

常规题型。

分析：

根据大正方形的面积与小正方形的面积的表示，四个矩形的面积的和的两种不同的表示方法列式，然后整理，对各选项分析判断后利用排除法．

解答：

解：

A、∵此图案的总面积是49，

∴（x+y）2=49，

∴x+y=7，故本选项正确，不符合题意；

B、∵小正方形的面积是4，

∴（x﹣y）2=4，

∴x﹣y=2，故本选项正确，不符合题意；

C、根据题得，四个矩形的面积=4xy，

四个矩形的面积=（x+y）2﹣（x﹣y）2=49﹣4，

∴4xy=49﹣4，

即4xy+4=49，故本选项正确，不符合题意；

D、∵（x+y）2+（x﹣y）2=49+4，

∴2（x2+y2）=53，

解得x2+y2=26.5，故本选项错误，符合题意．

故选D．

点评：

本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法列出算式是解题的关键．

17、（2011•玉溪）若x2+6x+k是完全平方式，则k=（　　）

A、9B、﹣9

C、±9D、±3

考点：

完全平方式。

专题：

方程思想。

分析：

若x2+6x+k是完全平方式，则k是一次项系数6的一半的平方．

解答：

解：

∵x2+6x+k是完全平方式，

∴（x+3）2=x2+6x+k，即x2+6x+9=x2+6x+k

∴k=9．

故选A．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．

18、（2011•连云港）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（　　）

A、﹣2B、2

C、﹣4D、4

考点：

完全平方式。

分析：

由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．

解答：

解：

∵（x+2）2=x2+4x+4，

∴“□”中的数为4．

故选D．

点评：

此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．

19、（2010•南宁）下列二次三项式是完全平方式的是（　　）

A、x2﹣8x﹣16B、x2+8x+16

C、x2﹣4x﹣16D、x2+4x+16

考点：

完全平方式。

分析：

根据完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：

A、应为x2﹣8x+16，故A错误；

B、x2+8x+16，正确；

C、应为x2﹣4x+4，故C错误；

D、应为x2+4x+4，故D错误．

故选B．

点评：

本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用．

20、（2008•广东）下列式子中是完全平方式的是（　　）

A、a2+ab+b2B、a2+2a+2

C、a2﹣2b+b2D、a2+2a+1

考点：

完全平方式。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2．看哪个式子整理后符合即可．

解答：

解：

符合的只有a2+2a+1．

故选D．

点评：

本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍．

21、（2007•益阳）已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（　　）

A、2B、±2

C、﹣6D、±6

考点：

完全平方式。

专题：

计算题。

分析：

这里首末两项是2x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和6积的2倍．

解答：

解：

∵（2x±6）2=4x2±24x+36，

∴4mx=±24x，

即4m=±24，

∴m=±6．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

22、已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（　　）

A、8B、±8

C、16D、±16

考点：

完全平方式。

分析：

根据完全平方公式的特点求解．

解答：

解：

∵64y2=（±8y）2，

∴kxy=2×（±8y）=±16y，

∴k=±16．

故选D．

点评：

本题利用了完全平方公式求解：

（a±b）2=a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．

23、如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值为（　　）

A、8B、﹣8

C、±8D、不能确定

考点：

完全平方式。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故m=±8．

解答：

解：

由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+mx+16，

∴m=±8．

故选C．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

24、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A、24B、﹣12

C、±12D、±24

考点：

完全平方式。

分析：

这里首末两项是3x和4y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y积的2倍，故m=±24．

解答：

解：

由于（3x±4）2=9x2±24x+16=9x2+mx+16，

∴m=±24．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并熟悉其特点．

25、若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（　　）

A、6B、12

C、±6D、±12

考点：

完全平方式。

分析：

这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍，故m=±12．

解答：

解：

加上或减去2x和3y积的2倍，

故m=±12．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

26、如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A、3B、6

C、±3D、±6

考点：

完全平方式。

专题：

计算题。

分析：

这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故m=±6．

解答：

解：

∵（x±3）2=x2±6x+9，

∴在x2+mx+9中，m=±6．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

27、若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（　　）

A、﹣1B、7

C、7或﹣1D、5或1

考点：

完全平方式。

专题：

计算题。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m﹣3）=±8，∴m=7或﹣1．

解答：

解：

∵（x±4）2=x2±8x+16，

∴在x2+2（m﹣3）x+16中，2（m﹣3）=±8，

解得：

m=7或﹣1．

故选C．

点评：

本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

28、下列多项式中是完全平方式的是（　　）

A、2x2+4x﹣4B、16x2﹣8y2+1

C、9a2﹣12a+4D、x2y2+2xy+y2

考点：

完全平方式。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，形如a2±2ab+b2的式子要符合完全平方公式的形式a2±2ab+b2=（a±b）2才成立．

解答：

解：

符合完全平方公式的只有9a2﹣12a+4．

故选C．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求熟练掌握完全平方公式．

29、下列各式是完全平方式的是（　　）

A、x2﹣x+

B、1+x2

C、x+xy+1D、x2+2a﹣1

考点：

完全平方式。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．

解答：

解：

A、x2﹣x+

是完全平方式；

B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；

C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；

D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．

故选A．

点评：

本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：

两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．

30、如果x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）

A、5B、±5

C、10D、±10

考点：

完全平方式。

分析：

这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k=±2×5=±10．

解答：

解：

由于（x±5）2=x2±10x+25=x2+kx+25，

∴k=±10．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

31、小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2﹣10ab+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（　　）

A、5bB、5b2

C、25b2D、100b2

考点：

完全平方式。

分析：

根据乘积二倍项找出另一个数，再根据完全平方公式即可确定．

解答：

解：

∵﹣10ab=2×（﹣5）×b，

∴最后一项为（﹣5b）2=25b2．

故选C．

点评：

利用了完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2，熟记公式结构特点是求解的关键．

32、小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果4x2+20xy+□，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（　　）

A、5y2B、10y2

C、25y2D、100y2

考点：

完全平方式。

专题：

应用题。

分析：

根据完全平方式的定义和展开式来求解．

解答：

解：

由题意知，4x2+20xy+□，为完全平方式，

∴4x2+20xy+□=（2x+5y）2，

∴□=25y2．

故选C．

点评：

此题主要考查完全平方式的定义及其应用，比较简单．

33、若x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（　　）

A、3B、±3

C、6D、±6

考点：

完全平方式。

分析：

这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故﹣m=±6，∴m=±6．

解答：

解：

根据完全平方公式得：

加上或减去x和3的积的2倍，

故﹣m=±6，

∴m=±6．

故选D．

点评：

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

34、多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）

A、4xB、﹣4x

C、4x4D、﹣4x4

考点：

完全平方式。

分析：

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2，此题为开放性题目．

解答：

解：

设这个单项式为Q，

如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4；

如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2•2x2，所以Q=4x4；

如果该式只有4x2项，它也是完全平方式，所以Q=﹣1；

如果加上单项式﹣4x4，它不是完全平方式．

故选D．

点评：

此题为开放性题目，只要符合完全平方公式即可，要求非常熟悉公式特点．

35、如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）

A、15B、±5

C、30D、±30

考点：

完全平方式。

专题：

计算题。

分析：

本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx=±2×3x×5=±30x，故k=±30．

解答：

解：

∵（3x±5）2=9x2±30x+25，

∴在9x2+kx+25中，k=±30．

故选D．

点