全国初中数学竞赛试卷答案.doc

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2012年全国初中数学竞赛试卷答案

（考试时间：

120分钟，总分：

150分）

一、选择题（每小题7分，共35分）

1．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（C）

A．B．C．D．

解：

由实数，，在数轴上的位置可知，且，所以

2．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（B）

A．10B．9C．7D．5

解：

由题设，得．

因为，均为整数，所以有

，，，

解得，，，，，，，，

以上共计9对

3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，则CD的长为（B）

A．B．4C．D．

解：

如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．

由于AC=BC，CD=CE，

．

所以△BCD≌△ACE，BD=AE．

又因为，所以．

在△中，，

于是DE=，所以CD=DE=4．

4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：

“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：

“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（D）

A．1B．2C．3D．4

解：

设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数．

由题设可得．消去x得，，

．

因为为正整数，所以的值分别为1，3，5，15．

y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1．

所以x的值分别为14，7，6，7．

5．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（C）

A．2012B．101C．100D．99

解：

因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，

解得，，．

二、填空题（每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：

程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？

”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是．

解：

前四次操作的结果分别为

，，，．

由已知得，．解得．

容易验证，当，，，故x的取值范围是．

7．如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于．

解：

如图，设的中点为，连接，则．

因为，所以，

．

．

8．如果关于x的方程的两个实数根分别为，，那么的值为．

解：

根据题意，关于x的方程有，由此得．

又，所以，．

此时方程为，解得．故

9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：

每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为8．

解：

设平局数为，胜（负）局数为，由题设知．由此得．

又，所以．

于是，．

由此得或．

当时，，；

当时，，，．不合题设．故．

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，．分别延长，，交点为．作，并与的延长线交于点．若，，则的长为．

解：

如图，连接，，．

由是⊙O的直径知．

依题设，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

所以．

所以，因此．

因为是⊙O的半径，，

所以垂直平分，，于是．

因此．

由，知．

因为，所以，．

故．

三、解答题（每题20分，共80分）

11．如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．

解：

因为sin∠ABC=，，所以AB=10．

由勾股定理，得．

易知，因此CO=BO=6．

于是，，．

设点D的坐标为．

由，得．

所以，．

解得．

因此D为AB的中点，点D的坐标为．

因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，

所以点E的坐标为．

设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．

将点E的坐标代入，解得a=．

故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．

12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．

求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）．

解：

（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

，

．

所以，CI=CD．

同理，CI=CB．

故点C是△IBD的外心．

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，

所以OI⊥AC，即OI⊥CI．

故OI是△IBD外接圆的切线．

（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．

由，知OC⊥BD．

因为∠CBF=∠IAE，BC=CI=AI，所以．所以BF=AE．

又因为I是△ABD的内心，所以．

故．

13．已知整数，满足：

是素数，且是完全平方数．当时，求的最小值．

解：

设（是素数），（n是正整数）．

因为，

所以，．

因为与都是正整数，且（m为素数），

所以，．

解得，．

于是．

又，即．

又因为m是素数，解得．此时，=2025．

当时，，，．

因此，a的最小值为2025．

14．将（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．

解：

当时，把分成如下两个数组：

和．

在数组中，由于，

所以其中不存在数，使得．

在数组中，由于，

所以其中不存在数，使得．

所以，．

下面证明当时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组．同理可设在第一组，在第二组．

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．

综上，满足题设条件．

所以，的最小值为．

注：

也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．

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