小学六年级数学竞赛试题.docx
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小学六年级数学竞赛试题
小学六年级数学竞赛试题
一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）
二、填空题（共40分，每小题5分）
1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：
（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992
2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。
那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。
3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。
这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。
a=__，r=__。
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年____岁。
6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。
那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。
（每位选手的得分都是整数）
8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。
列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）
1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。
现由甲工程队先修3天。
余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。
问：
甲、乙两个工程队每天各修路多少米？
2.一个人从县城骑车去乡办厂。
他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。
又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。
3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。
将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。
求这个大长方体的体积。
4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所装书的册数同样多）。
第一次，他们领来这批书的7/12，结果打了14个包还多35本。
第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。
这批书共有多少本？
四、问答题（共35分）
1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。
问：
保证一定获胜的对策是什么？
（5分）
2.有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。
现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
（6分）
3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。
现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。
金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。
问：
（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？
（3分）
（2）怎样裁剪所选用的下脚料？
（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分）
4.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。
怎样修改？
（6分）
5.
（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？
（5分）
（2）如果把上面
（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？
如果好分，怎么分？
如果不好分，为什么？
（5分）
详解与说明
一、计算题
说明：
要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、
，马上就应该知道它可以化为3.6；而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3×36”变形为“6543×3.6”，完成了这步，就为正
”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。
说明：
解这道题可以从不同的角度来观察。
解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“1×3×24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。
而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘
分子部分括号内三个乘积的和约去了。
本题是根据《数学之友》（7）第2页例5改编的。
3.解法一：
解法二：
说明：
解法一是求等比数列前n项和的一般方法，这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。
由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“2倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。
二、填空题
1.解：
（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）
=83×3×8
=1992
或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）
=83×2×12
=1992
（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）
说明：
在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。
而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式，1992=83×3×2×2×2，因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。
2.解：
55+15+25×2=120（厘米）
说明：
要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。
容易判断：
下底最长，应为55厘米。
关键是判断腰长是多少，如果腰长是15厘米，15×2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米。
读者从本报190期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发。
3.解：
最少有
说明：
根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。
但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位）”。
不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座。
（1）●○○●○○●……
（2）○●○○●○○●○……
图16
4.解法一：
由1992÷46=43……14
立即得知：
a=43，r=14
解法二：
根据带余除法的基本关系式，有
1992=46a+r（0≤r＜a）
由r=1992-46a≥0，推知
由r=1992-46a＜a，推知
因为a是自然数，所以a=43
r=1992-46×43=14
说明：
本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。
解法一是根据1992÷a的商是46，因而直接用1992÷46得到了a和r。
解法二用的是“估值法”。
5.解法一：
先算出这25位老人今年的岁数之和为
2000-25×2=1950
年龄最大的老人的岁数为
[1950+（1+2+3+4+……+24）]÷25
=2250÷25
=90（岁）
解法二：
两年之后，这25位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷25=80（岁）
两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）
年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）
说明：
解法一采用了“补齐”的手段（详见本报241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）。
当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。
解法二着眼于25人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。
6.解：
根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明：
本题是抽屉原理的应用。
应用这个原理的关键是制造抽屉。
从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。
换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内。
本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。
7.解：
得分最低者最少得
404-（90+89+88+87）=50（分）
得分最低者最多得
[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）
说明：
解这道题要考虑两种极端情形：
（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。
第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时，第五名得分最少。
（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。
考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。
本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的。
8.解：
设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有
38X+90Y+（X+Y-1）=1000
39X+91Y=1001
要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。
由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：
X=7，Y=8。
即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少。
说明：
选手们读题之后，可以马上想到：
要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等于1米”两个条件，这样算起来就不那么简单了。
这种题目，借助等量关系式来进行推理比较方便，不过，列方程时可别忘掉那损耗的1毫米，而且损耗了几个“1毫米”也不能算错，应该是“总段数-1”。
列出方程式之后，还有两点应当讲究：
（1）变形要合理；
（2）要选用简便算法。
如上面解法中，把1001写成7×11×13，39写成3×13，91写成7×13，使分子部分和分母部分可以约分，对于迅速推知最后结果是大有帮助的。
本题是《数学之友》（7）第51页练习六中的原题。
三、应用题
1.解法一：
假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多，那么两队一共修的路就要比4200米少600米，这3600米就相当于甲工程队用15天（15=3+6×2）修完的，列式为
（4200-600）÷（3+6×2）
=3600÷15=240（米）
240+100=340（米）
解法二：
设甲工程队每天修路X米，那么乙工程队每天修路“X+100”米，根据题意，列方程
3X+6×（X+X+100）=4200
解得X=240
从而X+100=340（米）
答：
甲工程队每天修路240米，乙工程队每天修路340米。
说明：
“假设”是我们解应用题时经常采用的算术方法，它体现了机智、敏捷，能迅速得到答案。
本题根据本报第234期第二版“思考题解答”一栏中的例题改编而成。
2.解：
从题目可知，前30分钟行完总路程的一半，后20分钟没有把另一半行完，比总路程的一半少2千米。
换句话说，后20分钟比前30分钟少行了2000米。
为什么会少行呢？
原因有两方面：
（1）后20分钟比前30分钟少行10分钟；
（2）后20分钟比前30分钟每分钟多行50米。
这样，容易推知前30分钟里每10分钟所行的路程是20×50+2000=3000（米）。
前30分钟每分钟行3000÷10=300（米）总路程为
300×30×2
=18000（米）
答：
县城到乡办厂之间的总路程为18千米。
说明：
解本题的关键是：
（1）通过比较，知道这个人前30分钟比后20分钟多行多少路程；
（2）找出前30分钟比后20分钟多行2000米的原因是什么。
详见本报209期《抓住矛盾找原因》一文。
3.解法一：
设大长方体左（右）面面积为X平方分米，则大长方体表面积为10X。
切成12个小长方体后，新增加的表面积为
（3X+2×2X）×2=14X
12个小长方体表面积之和为
10X+14X=600
X=25
V=25×10=250（立方分米）
解法二：
把大长方体的表面积看作——“1”，则切成12个小长方体后，
V=25×5×2=250（立方分米）
答：
这个大长方体的体积为250立方分米。
说明：
这道题比较简单，只要明白把一个几何体切成两部分后，“新增加的表面积等于切面面积的2倍”这个关系，不过，在计算新增加表面积时，稍不留心就会弄错。
本题根据本报第226期第一版“教你思考”栏中的例题改编的。
又因为10包+25本+35本←→11包
所以1包←→60本
（14+11）×60=1500（本）
解法二：
（列方程解）
则有7X=14Y+35
（1）
5X=11Y-35
（2）
（1）-
（2），得ZX—3Y＋70（3）
（1）+
（2），得12X=25Y（4）
（3）×6，得12X=18Y+420（5）
比较（4）、（5）两式，有
25Y=18Y+420
解得Y=60
12X=25×60=1500（本）
答：
这批书共有1500本。
说明：
这道题目里的数量关系其实很容易看出，解法一几乎是心算出结果的。
所以，不能把问题想得很复杂。
解法二比较容易想到，但设“未知数”也很有讲究，如果设这批书有X本，变形就比较麻烦了。
四、问答题
1.答：
保证一定获胜的对策是：
（1）先取1粒钮扣，这时还剩1991粒钮扣。
（2）下面轮到对方取，如果对方取n粒（1≤n≤4），自己就取“5-n”粒，经过398个轮回后，又取出398×5=1990（粒）钮扣，还剩1粒钮扣，这1粒必定留给对方取。
说明：
本题只是把本报233期“奥林匹克学校”栏对策问题的“例1”改掉一个字——“胜”改为“输”。
一字之差，对策就要改变。
我们知道，解对策问题有一个基本思路：
把失败（输）的可能留给对手。
本题中，谁取到最后一粒钮扣谁就算输，因而，要想获胜，就必须抢到第1991粒。
想到这一点，就容易找到保证获胜的对策了。
2.答：
剪去的小正方形边长应为4厘米。
说明：
要回答这道题，可以先到一个表来比较一下。
通过比较，容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时，做成的纸盒容积最大。
从上面表中一下子可以看出结果。
还可以设被剪去的小正方形边长（纸盒的高）为h，那么，纸盒底面边长为24-2h。
它的容积为
因为24-2h+24-2h+4h=48（定数），根据《数学之友》（7）第23页所介绍的结论，当24-2h=4h时，（24-2h）×（24-2h）×4h乘积最大。
也就是说，当h=4时，V最大。
3.答：
（1）应选甲铁皮料。
（2）剪法如图17。
说明：
题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品，这就要求所选的铁皮料中包含的（a）（b）两种毛坯同样多；又因为不能浪费材料，所以，只要算一算（数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形），看甲（或乙）材料中小正方形的总数能不能被（10+7=17）整除。
在回答第
（2）个问题时，可以把（a）（b）两块毛坯拼成图18，再根据上面所算出的结果，从中心处向四个方向剪开，就得到4个图18的形状。
仔细观察图17，容易发现图中的对称美，这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。
4.答：
可以把“1”改为“0”，也可以把“4”改为“3”，还可以把“1”改为“9”，把“2”改为“1”。
说明：
本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。
因为225=25×9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被9整除。
被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。
有2+1+4+7+5=19=18+1=27-8，不难排出上面四种答案。
5.答：
（1）把9块中的三块各分为两部分：
说明：
这个分糖的问题很有趣。
先得算一算，9块糖平分给4个孩子，
因为题中有一句话限制了分的方法，这就是“每块糖至多只能切成两部分”。
注意这条“限制”。
六年级数学竞赛模拟试卷
（一）
1.计算。
（1）甲、乙两数之和加上甲数是220，加上乙数是170，求甲、乙两数之和。
（2）小明在计算有余数的除法时，把被除数115错写成151，结果商比正确的结果大了3，但余数恰好相同，写出这个除法算式。
2.填空。
（1）在下面的（）内填上适当的数字，使得三个数的平均数是140。
（），（）8，（）27
（2）按规律填数5，20，45，80，125，_____________，245。
3.一个台阶图的每一层都由黑色和白色的正方形交错组成。
且每一层的两端都是黑色的正方形（如图），那么第2000层中白色的正方形的数目是多少？
4.在一个停车场上，汽车，摩托车共停了48辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，这些车共有172个轮子，问，停车场上，两种车各多少辆？
5.将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同。
分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
6.
书架有甲、乙、丙三层，共放了192本书，先从甲层拿出与乙层同样多的书放进乙层，再从乙层拿出与丙层同样多的书放进丙层，最后从丙层拿出与甲层同样多的书放进甲层。
这时，甲、乙、丙三层的书同样多。
求原来三层各有多少本书？
7.某乡有10个养鸡场，每个鸡场所养鸡的数量都不相同，且不到万只，凑巧的是各鸡场的只数各位上的数字相加的和都等于34，求这10个养鸡场共养了多少只鸡。
8.在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？
5432
6789
13121110
14151617
21201918
_______________________________________
9.
两个孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒钟可走3级梯级，女孩每秒钟可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒，问扶梯有多少级梯级？
10.
有一个五位奇数，将这个五位奇数中的所有2都换成5，所有5也都换成2，其它数保持不变，得到一个新的五位数，若新五位数的一半比原五位数大1，那么原五位数是多少？
试题一答案
1.
（1）甲、乙两数之和加上甲数是220，加上乙数是170，求甲、乙两数之和。
据题意
2甲＋2乙＝220
（1）
甲＋2乙＝170
（2）
（1）式＋
（2）式得到
3甲＋3乙＝390
所以，甲、乙两数之和为
390÷3＝130
（2）小明在计算有余数的除法时，把被除数115错写成151，结果商比正确的结果大了3，但余数恰好相同，写出这个除法算式。
因为商增加了3，可求得除数
（151－115）÷3＝36÷3
＝12
所以，所求的除式为：
115÷12＝9……7
2.
（1）在下面的（）内填上适当的数字，使得三个数的平均数是140。
（5），（8）8，（3）27
三数的平均数是140，则三数之和：
140×3＝420
第三个数应为327
420－327＝93
显然，第一个数是5，第二个数是88。
（2）按规律填数
5，20，45，80，125，180，245。
20＝5＋15
45＝20＋25
80＝45＋35
125＝80＋45
所以下一个数应为：
125＋55＝180
3.一个台阶图的每一层都由黑色和白色的正方形交错组成。
且每一层的两端都是黑色的正方形（如图），那么第2000层中白色的正方形的数目是多少？
观察图形可知，每层的白色正方形的个数等于层数减1，所以，第2000层中应有1999个白色正方形。
4.在一个停车场上，汽车，摩托车共停了48辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，这些车共有172个轮子，问，停车场上，两种车各多少辆？
假设48辆车都是汽车
应有车轮数为
48×4＝192
所以，摩托车的数量为
（48×4－172）÷（4－1）
＝20（辆）
汽车有48－20＝28（辆）
5.将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同。
分得苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
所有人的苹果个数应当尽量接近，10个小朋友先分别得到：
1，2，3……10个苹果，剩下的苹果除以10得
［100－（1＋2＋3＋……＋10）］÷10
＝45÷10＝4……5
所以，再给每个小朋友增加4个苹果，后5个小朋友每人再增加1个苹果，10个小朋友的苹果个数应分别为：
5，6，7，8，9，11，12，13，14，15。
所以，得到苹果最多的小朋友至少得15个。
6.
书架有甲、乙、丙三层，共放了192本书，先从甲层拿出与乙层同样多的书放进乙层，再从乙层拿出与丙层同样多的书放进丙层，最后从丙层拿出与甲层同样多的书放进甲层。
这时，甲、乙、丙三层的书同样多。
求原来三层各有多少本书？
列表，用倒推法（从下往上填）甲乙丙
初始状态885648
甲给乙后3211248
乙给丙后326496
丙给甲后646464
甲、乙、丙三层原有书分别为：
88本、56本、48本。
7.某乡有10个养鸡场，每个鸡场所养鸡的数量都不相同，且不到万只，凑巧的是各鸡场的只数各位上的数字相加的和都等于34，求这10个养鸡场共养了多少只鸡。
各位数字之和为34，小于10000的数只能是四位数。
所以，各鸡场养鸡的只数，是只能由9，9，9，7或9，9，8，8组成的四位数，据题意各不相同，知10个数分别为：
7997，9799，9979，9997，8899，8989，8998，9889，9898，9988。
它们的和为：
94435（只）。
8.在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？
5432
6789
13121110
14151617
21201918
__________________________________________________
因为每行有4个数，所以前99行共有：
99×4＝396（个）数
又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：
396＋1＋1＝398
9.
两个孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒钟可
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