初三数学概率初步教案.doc
《初三数学概率初步教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学概率初步教案.doc（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
第二十五章概率初步教案
25.1随机事件与概率
（第1课时随机事件与概率）
课前准备：
硬币
在日常生活中，你听到过“概率”这个词吗？
在谈论哪些问题时会用到“概率”这个词？
（降水概率，中奖概率等）
大家知道人们最早开始思考概率问题是源于什么活动吗？
（赌博，表明了概率问题的实用性与趣味性）
人们买彩票也是抱着赌徒的投机心理，咱们首先来体验体验彩民的心理吧。
学号大抽奖：
在一个瓶子里装有44个形状、大小、质地完全相同的小球，分别写有在座每位同学的学号，在看不到盒中球的前提下随机摸出一个：
（1）你能被抽到吗？
为什么？
（演示几个号）
（2）如果瓶子里只有写着奇数学号的球，你能被抽到吗？
为什么？
（3）如果瓶子里只有写着偶数学号的球，（抽一个）在以上三种不同的条件下，你被抽中的可能性有什么变化？
（4）你认为这节课还可能抽到你吗？
（本课还会多次在屏幕右上角采取随机抽学号的方式进行提问。
）
问题1：
抽签排序
5名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序。
签筒中有5支形状、大小相同的纸签，小军首先抽签，他在看不到纸签上数字的情况下任意地取一根纸签。
（演示几次）
请考虑以下问题：
（1）抽到的序号有几种可能的结果？
（5种：
1，2，3，4，5）
（2）抽到的序号小于6吗？
（3）抽到的序号是0吗？
（4）抽到的序号是1吗？
小结：
在一定条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生
（2），称为必然事件，有的事件在每次试验中都不会发生（3）称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称为确定事件。
还有一类事件在每次试验中可能发生，也可能不发生，事先无法确定（4），称为随机事件。
提问：
总结随机事件的特征。
1.随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
强调：
定义中“在一定条件下”说明当条件改变时，随机事件发生的可能性也会相应地发生改变。
又比如：
小军抽到5号是随机事件。
请再说出问题1种的一个随机事件。
提问：
（1）如果小军抽到5号，并且纸签在抽出后不放回，那么在小军后面抽签的小兰抽到的序号有几种可能的结果？
（2）在此条件下，请说出小兰抽签时的一个必然事件；一个不可能事件；一个随机事件。
*（3）小兰抽到的序号在小军之前是？
小兰抽到5号是？
小兰抽到2号是？
再对其它一些具体的事件做出判断。
练习1：
下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
说明理由。
（1）篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中；
（2）掷一次六面体骰子，向上的一面是6点；
（3）度量三角形的内角和，结果是360°；
（4）放学回家路上在每一个路口都遇上绿灯；
（5）在标准大气压下，沸水的温度是100℃；
（6）今晚打开电视发现在播广告；
（7）将豆油滴在水中，豆油浮在水面上。
小结：
必然事件和不可能事件都是确定事件，可以借助生活经验或科学理论进行判断。
问题2：
袋中摸球
袋子中有4个彩球和2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同。
在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。
（1）这个球是彩色还是白色？
（2）摸出彩球和摸出白球的可能性一样大吗？
小结：
从这个问题中可以看出，随机事件发生的可能性有大有小。
那么怎样来描述一个随机事件的可能性呢？
这是我们接下来要讨论的问题。
活动：
抛掷一枚质地均匀的硬币，（投掷一次）
（1）结果有几种可能？
（2）投掷前能否确定是哪一面向上？
（3）哪种结果的可能性更大？
在抛掷一枚质地均匀的硬币时，尽管事先不能确定结果是正面向上还是反面向上，但直觉告诉我们这两个随机事件发生的可能性相同，各占一半。
猜想：
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上和反面向上的可能性相同，各占一半。
这种猜想是否正确呢？
下面我们用试验来检验。
试验要求：
（1）4人一组，每组两枚硬币，两张记录表（裁开使用）；
（2）同桌两人搭档，一人抛掷硬币，另一人记录每次的结果；
（3）每桌2人共完成25次，每组4人共完成50次，将两份结果汇总后到讲台汇报。
注意事项：
（1）硬币不要平抛，建议立抛；
（2）将书本垫在桌上，以免硬币弹落。
实验，汇报，汇总，计算，绘图。
（书P140）
提问：
正面向上的频率有什么特点？
历史上，有数学家做过成千上万次抛掷硬币的试验，从中我们可以看到他们对科学的严谨态度和求实精神。
结果如下：
实验者
抛掷次数n
正面频数m
正面频率m/n
棣莫弗
2048
1061
0.518
布丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
把表中的数据绘制成统计图。
提问：
观察试验结果，在这些试验中，正面向上的频率相等吗？
随着试验次数的增加，正面向上的频率有怎样的规律？
可以发现，在重复抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的频率在0.5附近波动。
并且随着试验次数的增加，一般情况下频率会稳定在0.5附近，波动幅度越来越小。
提问：
归纳试验结论？
在大量重复抛掷硬币的试验中，“正面向上”发生的频率稳定在常数0.5附近，那么就说抛掷硬币时“正面向上”的概率为0.5。
（换句话说，我们用常数0.5来表示正面向上发生的可能性大小。
）
记为：
P（正面向上）=0.5。
（这个符号表示：
在抛掷硬币时正面向上这个事件的概率是0.5。
）
推广到一般的随机事件A，可得概率的意义。
2.概率的意义：
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。
在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
记为：
P（A）=p.
0≤P（A）≤1
当A为必然事件时，P（A）＝1
当A为不可能事件时，P（A）＝0
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.
通过试验证实了猜想：
抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上和反面向上的可能性相同，各占一半。
同时，也从中得到了概率的意义。
从前面的研究得知，在各组试验中硬币正面向上的频率各不相同，但是由频率的稳定性得出的正面向上的概率是一个常数0.5。
如果再做一组抛掷30000次的试验，事先能确定正面向上的频率吗？
但是能根据概率估计出频率大概在？
提问：
从中你发现频率和概率有什么关系？
随机现象对于个别试验而言无法预知结果，频率也会随着试验次数的改变而变化；但在相同条件下进行大量重复试验时，却又呈现出一种规律性，因而概率是一个客观常数。
可以说，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
练习2：
在抛掷硬币的试验中，对于结论P（正面向上）=0.5，判断以下解释是否正确：
（1）对于每一次试验，有一半的可能是正面向上。
（2）抛2次则必有1次是正面向上。
（3）抛掷50次，如果大部分情况是正面向上的，则继续抛掷时反面向上的概率更大。
（4）抛掷10次有可能都是反面向上。
（5）如果连续抛掷了425次都是正面向上，则对于第426次抛掷，P（正面向上）＝P（反面向上）
想一想：
发生了的事情是否概率就大？
没发生的事情是否概率就小？
反之，概率大的事情是否一定发生？
概率小的事情是否一定不发生？
（比如：
降水概率）
练习3：
（机动）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
40
100
200
400
1000
射中9环以上次数
15
33
78
158
321
801
射中9环以上频率
（1）计算表中相应的“射中9环以上”的频率（精确到0.01）；（0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80）
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1）？
（0.8）
本课小结：
1.现实生活中存在大量的随机事件，可能发生也可能不发生，事先无法预料；
2.用概率来描述事件发生的可能性大小；但是概率大的事件不一定发生，概率小的事件不一定不发生；
3.注意体会频率与概率的区别和联系。
最后，我想用的一段话来总结本课：
“无限地连续进行试验，我们终能正确地计算任何事物的概率，并从偶然现象之中看到事物的秩序。
”——雅各布•伯努力（概率论奠基人之一）
这段话不仅从方法上阐释了概率的意义（正如掷硬币试验中我们的操作和数据处理），而且概括了频率与概率的关系（一个是偶然一个是必然）。
希望大家更要从精神上感受科学家们严谨求实的科学态度。
兴趣作业：
1.阅读思考：
生死签
相传古代有一小国，世代沿袭着一条奇特的法规：
凡是死囚都要在临刑前当众抽一次“生死签”，即在两张纸条上分别写着“生”和“死”，抽到“死”签的立即斩首，抽到“生”签则当众释放。
有一次，国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，于是勾结法官将两张纸条都写上“死”字……如果你是这名囚臣，事先预料到了国王的阴谋，你会怎么做？
请用本课学习的知识来解读这则故事。
【分析】
本来抽到“死”签是随机事件，国王勾结法官，企图将抽到“死”签这个随机事件变为必然事件，而囚臣利用抽签规则，将抽到“死”签由必然事件变成了不可能事件。
2.实验探究：
小刚做掷硬币的游戏，得到结论：
“掷两枚均匀的硬币，会出现三种情况：
两正，一正一反，两反。
所以出现一正一反的概率是1/3”。
他的判断对吗？
先通过试验探索结论，再想想这是为什么？
【分析】出现一正一反的概率是1/2。
（1）两枚硬币会出现四种情况：
正正，正反，反正，反反，每种概率一样，都是1/4，因此一正一反的概率是2/4=1/2。
（2）无论第一枚硬币是哪一面向上，第二枚硬币要么和它同向，要么和它反向，实验得知两个事件的概率一样，都是1/2。
3.探索思考：
彩票中的幸运号码
对于博彩，有这样两类观点：
一些人统计了每一期的中奖号码，认为中奖频率高的号码中奖的概率也高，因此倾向于选购这类高频号码；还有一些人同样统计了每一期的中奖号码，但是他们知道，每个号码被抽中的概率是一样的，所以认为中奖次数少的号码更容易中奖，因此他们倾向于购买这类低频号码。
对于这两类互相矛盾的观点，你怎样看？
【分析】
两种看法都不对。
每个号码中奖的概率是相同的，频率高的中奖号码并不代表中奖概率高；另外，已经发生的事件不会对未发生的事件造成影响。
（第2课时古典概型）
通过上节课的学习，我们知道了什么是随机事件，也了解了概率的意义。
我们用概率来刻画一个随机事件发生的可能性大小。
请看下面几个试验：
（1）从分别标有1，2，3，4，5，其它部分完全相同的5张卡片中随机的抽取一张。
结果有几种可能？
抽到1的概率有多大？
（2）掷一枚质地均匀的正方体骰子。
结果有几种可能？
向上的一面是6点的概率有多大？
（3）从一副扑克牌（54张）中随机抽出一张。
结果有几种可能？
抽到红桃2的概率有多大？
归纳：
上面的试验有什么共同点？
可以发现以上试验都有两个共同特点：
（1）每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
（2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
对于具有上述特点的试验，称为古典概型。
对于古典概型的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果中所占的比，分析出事件发生的概率。
例如，在上面的试验
（1）中，“抽到1号”这个事件包含1种可能的结果，在全部5种可能的结果中所占的比为1/5，于是：
P（抽到1号）=1/5.“抽到偶数号”这个事件包含2，4两种可能的结果，于是：
P（抽到偶数号）=2/5.
归纳：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率：
.
注意：
在大量重复试验中，当满足：
①可能出现的结果只有有限个，②各种结果出现的可能性相等，才能使用上面的方法来计算事件A的发生概率。
例1：
（书P130，例1）掷一个质地均匀的正方体骰子，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
解：
掷一个质地均匀的正方体骰子时，向上的一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种，这些点数出现的可能性相等。
（1）P（点数为2）=1/6；
（2）点数为奇数有1、3、5共3种可能，P（点数为奇数）=3/6=1/2；
（3）点数大于2且小于5有3、4共2中可能，P（点数大于2且小于5）=2/6=1/3.
例2：
（书P130，例2）如图是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。
指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）。
求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色。
练习1：
（P131，练习，2题）袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同。
从袋子中随机地摸出一个球，回答下列问题：
（1）摸出的球可能为什么颜色？
（2）每种情况出现的可能性相等吗？
（3）两者的概率分别为多少？
练习2：
从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽出一张，求下列事件的概率：
（1）抽到黑桃A；
（2）抽到红心；
（3）抽到10；
（4）抽到黑色牌。
练习3：
（P132，习题25.1，4题）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”。
掷骰子后，观察朝上一面的数字。
（1）出现“5”的概率是多少？
（2）出现“6”的概率是多少？
（3）出现奇数的概率是多少？
练习4：
（P132，习题25.1，5题）如图是一个可以自由转动的没涂颜色的转盘，被分成12个相同的扇形。
请你在转盘的适当地方涂上红、蓝两种颜色，使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色的概率分别为1/3，1/6.
机动练习：
P132，6～7题
思考题：
三张卡片的骗局
如图，在三张卡片的正反两面分别印有“黑-黑”、“白-黑”、“白-白”的圆点，其它部分完全相同，卡片的正反面除圆点外也完全相同。
两人进行一个游戏，从中随机抽出一张放于桌面上，猜朝下一面的颜色。
若你是其中一名游戏者，此时卡片朝上的一面是白点，你会如何猜测呢？
说说你的理由。
【分析】朝上一面是白点有三种情况，第2张正面、第3张正面、第三张反面，这3种情况出现的可能性相等，对应的朝下一面分别为黑、白、白，所以朝下一面是黑色的概率为1/3，是白色的概率为2/3。
因此，猜朝下为白色，胜算更大。
本课小结：
1.什么叫古典概型？
2.在古典概型中，如何计算事件发生的概率？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率：
.
注意这种算法的使用条件：
在重复试验中，结果
（1）有限，
（2）等可能性。
25.2用列举法求概率
学习目标：
了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。
能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率。
（第1课时用列举法求概率）
温故知新：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率：
.
上面的算法适用于可能的结果为有限个且可能性相等的试验，即古典概型。
在一些较为简单的古典概型，如抛一枚硬币、掷一枚骰子等，我们可以很快确定出m、n的取值，从而计算出相应事件的发生概率。
而当试验较复杂时，比如抛两次硬币、掷两枚骰子等，就较难确定m、n的取值了。
此时，我们可以通过列举试验结果的方法，找到所有等可能性的试验结果，分析出随机事件发生的概率。
例1：
（P134，例1）掷两枚硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面朝上；
（2）两枚硬币全部反面朝上；
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：
我们把两枚硬币分别视作硬币1和硬币2，它们所能产生的结果全部列举出来是：
正正，正反，反正，反反。
这4种结果出现的可能性相等。
（1）记事件A为：
两枚硬币全部正面朝上，则：
P（A）=1/4；
（2）记事件B为：
两枚硬币全部反面朝上，则：
P（B）=1/4；
（3）记事件C为：
一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上，则：
P（C）=2/4=1/2.
想一想：
若将例1的条件改为“掷一枚硬币两次”，结果一样吗？
为什么？
（改变条件后，可能出现的结果是：
正正，正反，反正，反反，可能性相等，与原题情况一致，所以结果一样。
）
练习1：
（P134，练习，2题）袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其它差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个。
求下列事件的概率：
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。
在例1和练习1中，可能出现的结果都只有4种，很容易将它们罗列出来。
如果可能的结果较多，很难直接写全，或写出来不变分析时，我们常常借助表格或图形来整理这些结果，让它们更简洁、直观，便于分析。
例2：
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子点数的和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2.
（可以让学生自己设计表格来解决问题，并且比较不同做法的优劣。
）
【分析】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数据较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
我们不妨把两个骰子分别记为第1个和第2个，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果。
第2个
6
（1,6）
（2,6）
（3,6）
（4,6）
（5,6）
（6,6）
5
（1,5）
（2,5）
（3,5）
（4,5）
（5,5）
（6,5）
4
（1,4）
（2,4）
（3,4）
（4,4）
（5,4）
（6,4）
3
（1,3）
（2,3）
（3,3）
（4,3）
（5,3）
（6,3）
2
（1,2）
（2,2）
（3,2）
（4,2）
（5,2）
（6,2）
1
（1,1）
（2,1）
（3,1）
（4,1）
（5,1）
（6,1）
1
2
3
4
5
6
第1个
解：
由表格可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6），所以：
P（A）=6/36=1/6；
（2）满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4个，即（3,6）,（4,5）,（5,4）,（6,3），所以：
P（B）=4/36=1/9；
（3）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所有：
P（C）=11/36.
想一想：
（1）如果把题目中“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果一样吗？
为什么？
（2）在例1中，能否使用列表法列举所有可能的情况？
小结：
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果较多时，使用列表法可以将所有结果不重不漏地列举出来，而且列表呈现的数据比简单罗列更加简洁明了，便于分析。
然而，当试验涉及了两个以上的因素时，应该怎么处理呢？
例3：
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。
从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
（先让学生自己想办法列举试验结果，再比较方法的优劣。
）
【分析】当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球、抛3枚硬币等）时，列方形表就不方便了，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用树形图。
解：
根据题意，我们可以画出如下的“树形图”：
甲 A B
乙 C D E C D E
丙 H I H I H I H I H I H I
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12个，这些结果出现的可能性相等。
（1）只有1个元音字母的结果有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以：
P（1个元音）=5/12；
有2个元音字母的结果有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以：
P（2个元音）=4/12=1/3；
有3个元音字母的结果有1个，即AEI，所以：
P（3个元音）=1/12.
（2）全是辅音字母的结果共有2个，即BCH，BDH，所以：
P（3个辅音）=2/12=1/6.
想一想：
（1）在第
（1）问的基础上，第
（2）问还有别的算法吗？
（2）在例1和例2中，能否使用树形图来列举出所有可能的情况？
（3）什么时候使用“列表法”方便？
什么时候使用“树形图法”方便？
小结：
从适用性上来看，列表法一般适用于涉及两个因素的试验，而树形图法既可以用于两个因素、也可以用于涉及三个、甚至三个以上因素的试验。
然而，对于只涉及两个因素的试验，尤其当可能性较多时，列表法比树形图法的呈现形式更加简洁、清晰。
因此，通常对涉及两个因素的试验，使用列表法；对涉及三个（及三个以上）因素的试验，使用树形图法。
练习2：
（P137，练习，1题）在6张卡片上分别写有1~6的整数。
随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张。
那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
（14/36=7/18）
练习3：
（P137，练习，2题）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
（1）三辆汽车全部继续直行；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转；
（3）至少有两辆车向左转。
练习4：
一个不透明的袋中装有2黑2白共4个形状大小完全相同的小球。
求下列事件的概率：
（1）随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机摸出一个。
事件A：
两次都摸到白球；
事件B：
第一次摸到黑球，第二次摸到白球；
事件C：
两次摸到颜色不同的球；
（2）随机摸出2个小球。
事件D：
摸到同色的球；
事件E：
摸到1黑1白。
本课小结：
1.用列举法求概率适用于什么样的试验？
2.常用的列举方法有哪些？
3.列表法适用于什么样的试验？
树形图法呢？
思考题：
“雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离。
双兔傍地走，安能辨我是雄雌。
”——《木兰诗》
有一黑一白两只兔子——
（1）若已知其中有一只是雄性，求两只都是雄性的概率；
（2）若已知其中的白兔是雄性，求两只都是雄性的概率。
巩固练习：
1.小明是个小马虎，晚上将黑、白两双袜子放在床头，早上随手抓了两只穿上就上学去了。
求下列事件的概率：
（1）刚好穿了同一双袜子；
（2）左脚穿了黑袜子，右脚穿了白袜子。
2.抛三枚硬币，求下列事件的概率：
（1）出现两正一反；
（2）三枚硬币朝向一致。
（第2～3课时实际应用）
例1：
（P133，例1）如图是计算机中“扫雷”游戏的画面。
在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋葬着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。
升级会员 