北京市高级中等学校招生考试数学试题及参考答案.doc
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2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
考
生
须
知：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题．
2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（机读卷共32分）
考
生
须
知：
1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题．
2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1．的绝对值等于（）
A． B． C． D．
2．截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21600用科学记数法表示应为（）
A． B． C． D．
3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：
元）：
50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）
A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50
5．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）
A． B． C． D．
7．若，则的值为（）
A． B． C． D．
8．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上．一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
O
P
M
O
M
P
A．
O
M
P
B．
O
M
P
C．
O
M
P
D．
2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
第Ⅱ卷（非机读卷共88分）
考生
须知：
1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．
2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔．
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
C
A
E
D
B
9．在函数中，自变量的取值范围是．
10．分解因式：
．
11．如图，在中，分别是的中点，
若，则cm．
12．一组按规律排列的式子：
，，，，…（），其中第7个式子是，第个式子是（为正整数）．
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算：
．
解：
14．（本小题满分5分）
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
1
2
3
0
解：
15．（本小题满分5分）
已知：
如图，为上一点，点分别在两侧．，，．
A
C
E
D
B
求证：
．
证明：
16．（本小题满分5分）
如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
y
x
O
M
1
1
解：
17．（本小题满分5分）
已知，求的值．
解：
四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
A
B
C
D
如图，在梯形中，，，，，，求的长．
解：
19．（本小题满分5分）
已知：
如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
D
C
O
A
B
E
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
解：
（1）
（2）
五、解答题（本题满分6分）
20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数／个
人数／位
“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
“限塑令”实施后，使用各种
购物袋的人数分布统计图
其它
5%
收费塑料购物袋
_______％
自备袋
46%
押金式环保袋24%
图2
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表
处理方式
直接丢弃
直接做垃圾袋
再次购物使用
其它
选该项的人数占
总人数的百分比
5%
35%
49%
11%
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．
解：
（1）
（2）
六、解答题（共2道小题，共9分）
21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
解：
22．（本小题满分4分）
A
G
C
F
E
B
D
图2
已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
A
G
C
F
E
B
D
图1
（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；
（2）实验探究：
设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
解：
（1）重叠三角形的面积为；
（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为；的取值范围为．
七、解答题（本题满分7分）
23．已知：
关于的一元二次方程．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在
（2）的条件下，结合函数的图象回答：
当自变量的取值范围满足什么条件时，．
（1）证明：
（2）解：
1
2
3
4
4
3
2
1
x
y
O
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
（3）解：
八、解答题（本题满分7分）
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
（3）连结，求与两角和的度数．
解：
（1）
（2）
（3）
九、解答题（本题满分8分）
25．请阅读下列材料：
问题：
如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：
延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在
（1）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
解：
（1）线段与的位置关系是；．
（2）
2008年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．
2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．
3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
第Ⅰ卷（机读卷共32分）
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
C
B
B
B
D
第Ⅱ卷（非机读卷共88分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
题号
9
10
11
12
答案
4
三、解答题（共5道小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
解：
4分
． 5分
14．（本小题满分5分）
解：
去括号，得． 1分
移项，得． 2分
合并，得． 3分
系数化为1，得． 4分
1
2
3
0
不等式的解集在数轴上表示如下：
5分
15．（本小题满分5分）
证明：
，
． 2分
在和中，
． 4分
． 5分
16．（本小题满分5分）
解：
由图象可知，点在直线上， 1分
．
解得． 2分
直线的解析式为． 3分
令，可得．
直线与轴的交点坐标为． 4分
令，可得．
直线与轴的交点坐标为． 5分
17．（本小题满分5分）
解：
2分
． 3分
当时，． 4分
原式． 5分
四、解答题（共2道小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
解法一：
如图1，分别过点作于点，
A
B
C
D
F
E
图1
于点． 1分
．
又，
四边形是矩形．
． 2分
，，，
．
．
，
4分
在中，，
． 5分
解法二：
如图2，过点作，分别交于点． 1分
，
A
B
C
D
F
E
图2
．
，
．
在中，，，，
2分
在中，，，，
．
． 4分
在中，，
． 5分
19．（本小题满分5分）
解：
（1）直线与相切． 1分
证明：
如图1，连结．
，
．
D
C
O
A
B
E
图1
，．
又，
．
．
直线与相切． 2分
（2）解法一：
如图1，连结．
是的直径，．
，
． 3分
，，
． 4分
，． 5分
解法二：
如图2，过点作于点．．
D
C
O
A
B
H
图2
，
． 3分
，，
． 4分
，
． 5分
五、解答题（本题满分6分）
解：
（1）补全图1见下图． 1分
40
35
30
25
20
15
10
5
0
图1
1
2
3
4
5
6
7
4
3
11
26
37
9
塑料袋数／个
人数／位
“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图
10
（个）．
这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． 3分
．
估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． 4分
（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为． 5分
根据图表回答正确给1分，例如：
由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． 6分
六、解答题（共2道小题，共9分）
21．解：
设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米． 1分
依题意，得． 3分
解得． 4分
答：
这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． 5分
22．解：
（1）重叠三角形的面积为． 1分
（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为； 2分
的取值范围为． 4分
七、解答题（本题满分7分）
23．
（1）证明：
是关于的一元二次方程，
．
当时，，即．
方程有两个不相等的实数根． 2分
（2）解：
由求根公式，得．
或． 3分
，
．
，
，． 4分
．
1
2
3
4
4
3
2
1
x
y
O
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
即为所求． 5分
（3）解：
在同一平面直角坐标系中分别画出
与的图象．
6分
由图象可得，当时，． 7分
八、解答题（本题满分7分）
24．解：
（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，
．
设直线的解析式为．
在直线上，
．
解得．
直线的解析式为． 1分
抛物线过点，
解得
抛物线的解析式为． 2分
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
P
E
B
D
A
C
F
图1
（2）由．
可得．
，，，．
可得是等腰直角三角形．
，．
如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，
．
过点作于点．
．
可得，．
在与中，，，
．
，．
解得．
点在抛物线的对称轴上，
点的坐标为或． 5分
（3）解法一：
如图2，作点关于轴的对称点，则．
连结，
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-1
B
D
A
C
F
图2
可得，．
由勾股定理可得，．
又，
．
是等腰直角三角形，，
．
．
．
1
O
y
x
2
3
4
4
3
2
1
-1
-2
-2
-1
B
D
A
C
F
图3
即与两角和的度数为． 7分
解法二：
如图3，连结．
同解法一可得，．
在中，，，
．
在和中，
，，．
．
．
．
，
．
即与两角和的度数为． 7分
九、解答题（本题满分8分）
25．解：
（1）线段与的位置关系是；
． 2分
（2）猜想：
（1）中的结论没有发生变化．
证明：
如图，延长交于点，连结．
是线段的中点，
．
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知．
．
，
．
，．
四边形是菱形，
，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
． 6分
（3）． 8分
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