初中函数与分析.doc

初中函数与分析.doc

《初中函数与分析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中函数与分析.doc（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

函数与分析

平面直角坐标系：

1.概念：

平面直角坐标系的概念是建立在数轴基础上的，在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，水平的数轴向右为正叫做x轴（横轴），铅直的数轴向上为正叫做y轴（纵轴）。

x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点，建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面。

2.坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成，

如图1，可以看成坐标平面的六个区域：

x轴，y轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

注意：

坐标轴上的点不属于任何一个象限。

3.点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|。

4.特殊位置的点的坐标的特征：

（1）坐标轴上的点：

①点P的坐标为（a，0）点P在x轴上；

②点P的坐标为（0，b）点P在y轴上；

（2）各象限内的点：

①点P在第一象限；②点P（a，b）在第二象限；

③点P（a，b）在第三象限；④点P（a，b）在第四象限；

5.具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；

（1）关于坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，如图4，有

（2）连线平行于坐标轴的两点，连线平行于x轴的两点的纵坐标相

同，连线平行于y轴的两点的横坐标相同。

在平面直角坐标系中点的平移，

（1）将点向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（或）；

（2）将点向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点。

其中，。

考点1：

坐标系内的点的特征

1.（2009年陕西省）如果点P（m，1-2m）在第四象限，那么m的取值范围是 （）

A． B． C． D．

2.（2009年杭州市）已知点P（，）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.（2009年新疆乌鲁木齐市）在平面直角坐标系中，点在第四象限，则实数的取值范围是．

4.（2009白银市）14.反比例函数的图象经过点P（，1），则这个函数的图象位于

第象限．

考点2：

平移

1.（2009仙桃）如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O（如图②），如果图①中⊙A上一点P的坐标为（m，n），那么平移后在图②中的对应点P’的坐标为（）．

A．（m＋2，n＋1）B．（m－2，n－1）C．（m－2，n＋1）D．（m＋2，n－1）

2.（2009威海）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段平移至，则的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

3.（2009湖北省荆门市）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到（，3），则点P的坐标是______．

考点3：

对称

1、（2009年郴州市）点关于轴对称的点的坐标为（　　）

A．B．C．D．

2.（2009年广西钦州）点P（－2，1）关于 y轴对称的点的坐标为（）

A．（－2，－1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，1）

3.（2009肇庆）11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是．

考点4：

旋转

1.（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，

将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得，则点的坐标为（）．

1

2

4

3

0

-1

-2

-3

1

2

3

A

B

第11题图

A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）

2.（2009年崇左）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋

转90°得，则点的坐标为（）．

A．B．C．D．

正、反比例函数：

正比例函数：

1．概念：

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫比例系数．

正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式．

2．性质：

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．

3．图像的确定：

根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．

反比例函数：

l.概念：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：

（1）k是常数，且k不为零；

（2）中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数。

（3）自变量x的取值范围是的一切实数；

（4）自变量y的取值范围是的一切实数。

2.图象：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题：

（1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

3.性质：

的变形形式为（常数）所以：

（1）其图象的位置是：

当时，x、y同号，图象在第一、三象限；

当时，x、y异号，图象在第二、四象限。

（2）若点（a,b）在反比例函数的图象上，则点（-a,-b）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，在每个象限内，y随x的增大而增大；

4.解析式的确定：

（1）反比例函数关系式的确定方法：

待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

①设所求的反比例函数为：

（）；

②根据已知条件，列出含k的方程；

③解出待定系数k的值；

④把k值代入函数关系式中。

5.实际应用：

反比例函数的应用须注意以下几点：

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

考点1：

正、反比例函数的概念、图像和性质

1．当m=时，函数是反比例函数，且图象在二、四象限.

2．直线y=（2－m）x，经过第一、三象限，则m的取值范围是.

3．若函数，当m=时此函数是正比例函数，且图象在第一、三象限，y随x的减小而.

4．已知M1（x1、y1）、M1（x1、y1）是正比例函数y=kx（k≠0）图象上两点，当x1﹤x2时，y1﹥y2，则k的取值范围是，图象经过象限.

5．（2009年哈尔滨）点在反比例函数（）的图象上，则k的值是（　　）．

A．B．C．D．

考点4：

正、反比例函数的综合应用

1．（2009年鄂州）如图，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是（）

A．2 B、m-2 C、m D、4

O

9

（毫克）

12

（分钟）

图9

2．（2009河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数

关系式及相应的自变量取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克

以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，

至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

一次函数：

一次函数

考点1：

一次函数的概念和性质：

（1）若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．

（2）如果函数的图象与函数的图象和交于轴上的同一点,则等于（）

A.B.2:

3C.3:

（-2）D.（-3）:

（-2）

（3）有两条直线，，学生甲解出它们的交点坐标为（3，－2），学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为，求这两条直线解析式。

考点2：

用待定系数法确定一次函数表达式及其应用

（1）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：

鞋长

16

19

24

27

鞋码

22

28

38

44

（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？

（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；

（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？

考点3：

建立函数模型解决实际问题：

（1）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．

（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；

（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？

二次函数

1.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当时

开口向上

当时

开口向下

（轴）

（0,0）

（轴）

（0,）

（,0）

（,）

（）

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点

1）决定开口方向及开口大小，当时，开口向上；当时，开口向下；越大,开口越小

相等，抛物线的开口大小、形状相同

2）和共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线的对称轴是直线，

i.时，对称轴为轴

ii.（即、同号）时，对称轴在轴左侧

iii.（即、异号）时，对称轴在轴右侧（左同右异）

3）的大小决定抛物线与轴交点的位置

抛物线与轴有且只有一个交点（0，）

i.，抛物线经过原点

ii.,抛物线与轴交于正半轴

iii.,抛物线与轴交于负半轴

3.抛物线与轴两交点之间的距离

若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，由

考点1：

二次函数的平移：

（1）将抛物线向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是

（2）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点处，则点的坐标为．

考点2：

二次函数与坐标轴的交点：

（1）若二次函数的图像与轴有公共点,则实数的取值范围是__________.

（2）己知抛物线的顶点在轴上,则＝.

考点3：

二次函数的图像与性质：

（1）已知函数的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得

≤时，的取值范围是…（　　）

Ａ．； Ｂ．；

Ｃ． ； Ｄ．或．

（2）已知抛物线的开口向下，对称轴为直线，若点与是此抛物线上的两点，则________.（填“>”或“<”）

（3）若（－2,）,（－1,）,（,）为二次函数图

像上的三点,则的大小关系是（）

（A）;（B）;（C）;（D）.

（4）二次函数的变量与变量部分对应值如下表：

…

…

…

…

那么时，对应的函数值．

y

（5）二次函数＝的图像如图,己知＝,＝,则该抛物线的解析式.

（6）已知二次函数的图象如图所示，O

x

则点在第象限．

（7）如果二次函数的图像经过点（1，2），且在对称轴的右侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．

（8）已知抛物线，且当x>3时，y随x的增大而增大，当x<3时，y随x的增大而减小，请用配方法求抛物线的顶点坐标.

考点4：

二次函数的解析式：

（1）二次函数的图像经过三点（1,0）、（2,0）、（3,4）.

（1）求二次函数的函数解析式;

（2）求抛物线的对称轴方程和顶点坐标;

（3）求点关于对称轴的对称点的坐标.

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，求这条抛物线的函数解析式.

考点5：

二次函数的应用：

（1）“阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面米（即图中的长），离投掷点米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到米，参考数据）．

B

1.6m

ＣＣ

ＦＣ

（Ａ）

Ｏ

y

x

D

考点6：

二次函数的综合：

（1）如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A和点B分别在轴的正、负半轴上），．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于轴的直线与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），

CO

y

O

AO

BO

x

如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标．

（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点逆时针旋转后得到矩形，且点落在轴上的点，点的对应点为点，点的对应点为点.

（1）求、、三点的坐标；

（2）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；

A

B

C

D

E

F

x

y

O

（3）在轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形的面积等于矩形的面积？

（3）已知一次函数的图像经过点A（-2，3），并与x轴相交于点B，二次函数的图像经过点A和点B．

（1）分别求这两个函数的解析式；

（2）如果将二次函数的图像沿y轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．

11