套真题模拟全国各地中考数学套真题套模拟试题分类汇编第章猜想规律与探索.doc
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2011全国各地中考数学100套真题分类汇编第39章
猜想、规律与探索
一选择题
1.（2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：
图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）[来源:
学,科,网Z,X,X,K]
A.28B.56C.60D.124
【答案】C[来源:
学+科+网Z+X+X+K]
3.（2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是▲．
【答案】
4.（2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.（用含n的代数式表示）
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
第18题图
【答案】或
5.（2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
①1×3-22=3-4=-1
②2×4-32=8-9=-1
③3×5-42=15-16=-1
④[来源:
Zxxk.Com]
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为
（2）中所写出的式子一定成立吗？
并说明理由．
【答案】解：
⑴；
⑵答案不唯一.如；
⑶
.
6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；
（2）用含n的代数式表示：
第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；
（3）求第n行各数之和．
【解】
（1）64，8，15；
（2），，；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
二填空题
1.（2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个。
【答案】15
2.（2011广东东莞，10，4分）如图
（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图
（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面积为.
【答案】[来源:
学科网ZXXK]
3.（2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：
【答案】
4.（2011广东湛江20,4分）已知：
观察前面的计算过程，寻找计算规律计算（直接写出计算结果），并比较（填“”或“”或“=”）
【答案】[来源:
学科网]
三解答题
1.（2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
＋＋＋…＋.
【答案】
（1） 1分
（2）证明：
－＝－＝＝. 3分
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝. ………………5分
2.（2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：
如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：
AM=MN。
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。
证明：
在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2.
又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。
∴∠MCN=∠3+∠4=120°。
………………①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。
∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。
∴∠5=10°-∠6=120°。
………………②
由①②得∠MCN=∠5.
在△AEM和△MCN中，
∵__________,____________,___________,
∴△AEM≌△MCN（ASA）。
∴AM=MN.
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？
（直接给出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：
当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？
（直接写出答案，不需要证明）
【答案】解：
（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；[来源:
学科网ZXXK]
（2）结论成立；
（3）。
3.（2011四川成都，23,4分）设,,,…,
设，则S=_________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【答案】．
==
=
∴S=+++…+.
接下去利用拆项法即可求和．
4.（2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?
下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+（n—1）×n=n（n+1）（n—1）时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=1+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）[来源:
Z#xx#k.Com]
12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+
=（1+2+3+4）+（）
……
（2）归纳结论：
12+22+32+…+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…+[1+（n—1）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n一1）×n
=（）+[][来源:
学科网]
=+
=×
（3）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是．
【答案】（1+3）×4
4+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…+（n-1）×n[来源:
学。
科。
网]
n（n+1）（n—1）
n（n+1）（2n+1）
5.（2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；
（2）用含n的代数式表示：
第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；
（3）求第n行各数之和．
【解】
（1）64，8，15；
（2），，；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.[来源:
学|科|网]
6.（2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。
如图，这个三角形的构造法则：
两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。
例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
…………………………（a+b）1
…………………………（a+b）2
…………………………（a+b）3
……………………
（1）根据上面的规律，写出的展开式。
（2）利用上面的规律计算：
【答案】解：
⑴
⑵原式=
=
=1[来源:
Z*xx*k.Com]
注：
不用以上规律计算不给分.
7.（2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：
线段与线段有怎样的关系？
并对你的猜想加以证明。
[来源:
学科网]
B
C
D
E
F
A
20题图
【答案】猜想：
。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，∥
∴
在和
∴≌
∴，
∴∥
即。
一、选择题
13
15
17
19
9
11
3
5
7
1、（2011年北京四中中考模拟20），和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，也能按此规律进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中最大的是（）
A、41B、39
C、31D、29
答案A
2、（2011年北京四中模拟26）
观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，……。
通过观察，用作所发现的规律确定212的个位数字是（）
A．2B.4C.6D.8
3．（2011年浙江省杭州市模拟）如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积（）
A.32B.54C.76D.86
（第1题图）
…
①②③④
4.（2011浙江杭州模拟7）图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1的值为（）
A． B．
C．D．
答案:
C[来源:
学科网ZXXK]
[来源:
学+科+网Z+X+X+K]
5（2011浙江省杭州市10模）公务员行政能力测试中有一类图形规律题，可以运用我们初中数学中的图形变换再结
合变化规律来解决，下面一题问号格内的图形应该是（▲）
（（第2题）
答案:
B
6.（2011浙江省杭州市10模）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，
以表示这两点间的距离，则的值是▲
答案:
7、（2011年浙江杭州二模）（2011年浙江杭州三模）对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（）
A． B．C．D．
答案：
D
8、（2011年浙江杭州七模）图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1的值为（）
（第2题图）
…
①②③
A． B．
C．D．
答案：
C
二、填空题
1、（2011年黄冈中考调研六）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，，，，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数
答案
2、（北京四中模拟）一组按规律排列的数：
2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是，
第个数是（为正整数）．
答案：
3、（2011杭州模拟26）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于.
答案：
4、（2011杭州模拟26）若【x】表示不超过x的最大整数（如【∏】=3，【】=-3等），则【】+【】+…+【】=.
答案：
2000
[来源:
学科网]
5、（2011年浙江杭州三模）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（―1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是。
答案：
（26，50）
[来源:
Z。
xx。
k.Com]
三、解答题
1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：
△ABC中，AB＝10
⑴如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；
⑵如图②，若点A1、A2把AC边三等分，过A1、A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2，求A1B1＋A2B2的值；[来源:
学&科&网]
⑶如图③，若点A1、A2、…、A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2、…、B10。
根据你所发现的规律，直接写出A1B1＋A2B2＋…＋A10B10的结果。
解：
⑴DE=5⑵A1B1＋A2B2=10 ⑶A1B1＋A2B2＋…＋A10B10=50
2、（2011年北京四中中考模拟19）（本小题满分6分）
观察下面的点阵图，探究其中的规律。
摆第1个“小屋子”需要5个点，
摆第2个“小屋子”需要个点，
摆第3个“小屋子”需要个点？
（1）、摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？
（2）、写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数，S与n的关系式。
解：
11，17，59；S=6n-1；
2、（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22）15、阅读下列方法：
为了找出序列3、8、15、24、35、48、……的规律，我们有一种“因式分解法”。
如下表：
项
1
2
3
4
5
6
……
n
值
3
8
15
24
35
48
……
分解因式：
1×31×81×151×241×351×48
2×43×52×125×72×24
4×63×16
4×12
6×8[来源:
学科网]
因此，我们得到第n项是n（n+2）,请你利用上述方法，说出序列：
0、5、12、21、32、45、……的第n项是。
答案：
（n-1）（n+3）
3.（2011浙江省杭州市10模）一种长方形餐桌的四周可以坐人用餐
（带阴影的小长方形表示个人的位置）．
现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来．
（1）问四周可以坐多少人用餐？
（用的代数式表示）
（2）若有人用餐，至少需要多少张这样的餐桌
第3题图
解:
①4n+2,②4n+2≥28,n≥6.5,n=7
B组
一、选择题
1．（2011杭州市模拟）
B
C
A
E1
E2
E3
D4
D1
D2
D3
（第10题图）
如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，…．则
A．= B．=[来源:
学科网ZXXK]
C．= D．=
答案：
D
1
12
111
101
21
20
19
18
17
16
15
14
13
5
4
9
8
7
6
2
3
2．（2011浙江杭州义蓬一中一模）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为，，）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，，，，，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为的微生物会出现在（）[来源:
学科网][来源:
Zxxk.Com]
A．第天 B．第天 C．第天 D．第天
答案：
C
3．（2011浙江杭州育才初中模拟）用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（）（初一天天伴习题改编）[来源:
Z。
xx。
k.Com]
P
O
B
A
第2题图
（A）4种（B）3种（C）2种（D）1种
答案：
B
4.（浙江杭州进化2011一模）如图，四个电子宠物排座位：
一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后，再左右两列交换位置，第三次是在第二次交换位置后，再上下两排交换位置，第四次是在第三次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直继续交换位置，第2008次交换位置后，小鼠所在的座号是（）.
1
2
3
4
…
鼠
鼠
鼠
猴
兔
兔
猫
兔
猫
猫
猴
猴
？
？
？
？
A．1B．2C．3D．4
答案:
A
5、（2011年黄冈市浠水县）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是（）
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
A．140 B．120C．99 D．86
答案：
B
6、（北京四中2011中考模拟14）将正偶数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行2468
第二行16141210
第三行18202224
第四行32302826
。
。
。
。
。
。
。
。
。
根据上面规律，2004应在（）
A、125行,3列B、125行,2列C、251行,2列D、251行,3列
答案：
D
7、（2011杭州模拟20）希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
（A）289（B）1024
（C）1225（D）1378
（第1题）
答案：
C
8.（2011年广东省澄海实验学校模拟）根据图中箭头的指向的规律，从2007到2008再到2009，箭头的
方向是以下图示中的（）
9
0
1
2
5
6
10
8
7
4
3
…
D
C
A
B
答案：
C
9.（2011深圳市模四）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，线段DnDn+1（n为整数）等于（）
A、B、C、D、
第2题图
11题图
答案：
D
二、填空题
1．（2011年杭州三月月考）定义新运算“”，规则：
，如，。
若的两根为，则＝▲．
答案：
2．（2011年重庆江津区七校联考一模）观察下列各式：
……请你将猜想到
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