中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析.doc
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数学专题之【几何综合题】精品解析
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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析
【真题精讲】
【例1】如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．
（1）当时，求的值；
（2）试探究：
为何值时，为等腰三角形．
【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】
解：
（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．
∵，．
∴．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）
∴．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）
∴．解得．
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解
【解析】
（2）分三种情况讨论：
①当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）
∵，
∴，
∴，
解得．
②当时，如图③，过作于H．
则，
∴．
∴．
③当时，
则．
．
综上所述，当、或时，为等腰三角形．
【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．
（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）
【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。
由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
【解析】：
（1）结论：
CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
AB=AC，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．
由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90º，
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD．
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
（2）CF⊥BD．
（1）中结论成立．
理由是：
过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：
△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴，∴，
．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．
过A作交CB延长线于点G，则．CF⊥BD，
△AQD∽△DCP，∴，∴，
．
【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．
（1）求证：
梯形是等腰梯形；
（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；
（3）在
（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．
A
D
C
B
P
M
Q
60°
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？
其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?
当然是利用角度咯.于是就有了思路.
【解析】
（1）证明：
∵是等边三角形
∴
∵是中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴梯形是等腰梯形．
（2）解：
在等边中，
∴（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩）
∴
∴
∴
∵∴
∴∴（设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子）
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。
接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。
由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
（3）解：
为直角三角形
∵
∴当取最小值时，
∴是的中点，而
∴
∴
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?
接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．
（1）直接写出线段与的数量关系；
（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．
你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？
（不要求证明）
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。
事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
（1）
（2）
（1）中结论没有发生变化，即．
证明：
连接，过点作于，与的延长线交于点．
在与中，
∵，
∴．
∴．
在与中，
∵，
∴．
∴
在矩形中，
在与中，
∵，
∴．
∴．
∴
【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？
如果题目要求证明，应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：
在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。
（3）
（1）中的结论仍然成立．
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．
（1）当=1时，CF=______cm，
（2）当=2时，求sin∠DAB′的值；
（3）当=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．
C
A
D
B
【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。
这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。
同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。
一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。
尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。
【解析】
（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）
（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，
图1
∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴．
∵=2，∴CF=3．
∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．
又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．
设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
k2=（9-k）2+62，解得k=MA=．∴DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）
图2
∴sin∠DAB′=；
②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′E于点N，
同①可得NA=NE．
设NA=NE=m，则B′N=12-m．
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得
m2=（12-m）2+62，解得m=AN=．∴B′N=．
∴sin∠DAB′=．
（3）①当点E在BC上时，y=；
（所求△AB′E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）
②当点E在BC延长线上时，y=．
【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。
只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：
第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。
针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。
针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。
第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。
如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。
【发散思考】
【思考1】已知：
如图
（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．
（1）求证：
∽；
（2）如图
（2），当点为边的中点时，求证：
；
（3）设，请探究：
的周长是否与值有关？
若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．
【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。
思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。
第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。
【思考2】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，
且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，
（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=°；
（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．
【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。
事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？
留给大家思考一下~
【思考3】如图：
已知，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．
点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？
若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；
A
B
C
D
O
P
M
N
A
B
C
D
（备用图）
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。
在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。
本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。
第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。
第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF（如图1）
（1）在图1中画图探究：
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1 绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。
事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。
旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。
第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。
建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。
【思考题解析】
【思考1解析】
（1）证明：
∵，∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴∽．
第25题
（2）证明：
如图，过点作，交于点，
∵是的中点，容易证明．
在中，∵，∴．
∴．
∴．
（3）解：
的周长，．
设，则．
∵，∴．即．
∴．
由
（1）知∽，
∴．
∴的周长的周长．
∴的周长与值无关．
【思考2答案】
解：
（1）∠BPD=30°；
（2）如图8，连结CD．
解一：
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，
图8
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°．
∵BP=BA，
∴BP=BC．
∵BD=BD，
∴△PBD≌△CBD．
∴∠BPD=∠3．-----------------3分
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD，
∴△BCD≌△ACD．
∴．
∴∠BPD=30°．
解二：
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=AC．
∵DB=DA，
∴CD垂直平分AB．
∴．
∵BP=BA，
∴BP=BC．
∵点D在∠PBC的平分线上，
∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称．
∴∠BPD=∠3．
∴∠BPD=30°．
（3）∠BPD=30°或150°．
图形见图9、图10．
图9
图10
【思考3解析】
解：
（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3．
∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，
∴AD=EC=BC－BE=3．
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP
∵,∴BH=．
∴BP=．
（2）不存在BP=MN的情况-
假设BP=MN成立，
∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC-
设BO=x，则PO=x,由，得BH=,
∴BP=2BH=.
∴BQ=BP×cosB=，PQ=．
∴OQ=．
∵△PQO∽△DOC，∴即，得．
当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况.
（3）情况一：
⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分
情况二：
⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分
A
B
C
D
O
P
M
N
Q
H
【思考4解析】
解：
（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：
如图1，设直线与直线的交点为．
∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，
F
D
C
B
A
E
图1
G2
G1
P1
H
P2
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
可得．
由
（1）可得四边形为正方形．
D
G1
P1
H
C
B
A
E
F
图2
∴．
①如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴．
∴．
F
G1
P1
C
A
B
E
D
H
图3
②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，
∵，
∴．
∴．
③当点与点重合时，即时，不存在．
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
标是．
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