中考总复习二：代数式.doc

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中考总复习二：

代数式

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

（一）代数式

l在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；

l能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；

l能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；

l会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.

（二）整式与分式

l了解整数指数幂的意义和基本性质；

l了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；

l会推导乘法公式：

，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；

l会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）；

l了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.

（三）二次根式

l了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.

学习策略：

l本专题是初中代数的重要内容之一，复习时应“淡化形式，注重实质”，避免“背黑体字”和“抠字眼”。

注重各种概念之间的区别与联系，进行类比、归纳记忆。

例如整式与分式应明确二者都是有理式，本质区别在于分母（或被除式）中是否有含字母的代数式。

注重对各种运算法则的探索过程及算理的理解，发展有条理的思考与表达，发展自己的推理能力。

保证基本的运算技能，避免繁杂的运算。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识框图

通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

知识点一：

代数式

（一）用符号把和连接起来的式子，我们把它们称为代数式．单个的数字或字母也可以看作代数式．

（二）列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来．

（三）用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．

知识点二：

整式

（一）单项式：

数与字母的的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数（分母）只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．

单项式中的叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有叫做这个单项式的次数.

（二）多项式：

几个单项式的代数叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的，不含字母的项叫做项；多项式里次数，叫做这个多项式的次数.

（三）整式：

和统称整式．

（四）同类项：

所含字母，并且字母的也分别的项，叫做同类项．

（五）整式的加减：

整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的，且字母部分.

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号.

整式加减的运算法则：

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

（六）整式的乘除

（1）幂的运算性质：

（2）单项式相乘：

两个单项式相乘，把、分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（3）单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的，再把所得的相加．用式子表达：

。

（4）多项式与多项式相乘：

一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的分别乘以另一个多项式的，再把所得的相加．用式子表达：

。

平方差公式：

完全平方公式：

在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都符号.

（5）单项式相除：

两个单项式相除，把与分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

（6）多项式除以单项式：

多项式除以单项式，先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商．

（七）因式分解：

把一个多项式化成几个的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．

因式分解的两种基本方法：

（1）公因式法：

（2）运用公式法：

平方差公式：

完全平方公式：

知识点三：

分式

（一）分式的意义：

一般地，如果A、B表示两个，并且B中含有，那么式子叫做分式．其中

分式无意义；分式有意义．分式的值为0A0且B0这两个条件缺一不可．

（二）最简分式：

如果一个分式的分子、分母没有，那么这样的分式叫做最简分式（也叫既约分式）．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分．

（三）分式的基本性质：

（四）分式的运算：

（1）分式的加减：

，．

（2）分式的乘除：

，．

（3）分式的乘方：

.

知识点四：

二次根式

（一）二次根式的概念：

式子叫做二次根式．是一个非负数.

（二）二次根式的性质：

（三）最简二次根式：

（1）被开方数不含；

（2）被开方数中不含能的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

（四）二次根式的运算：

（1）二次根式的乘除：

（2）二次根式的加减：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行.

类型一：

整式的有关概念及运算

（一）同类项

例1、

（1）（2010湖南衡阳）若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm．

考点：

同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.

（2）若单项式是同类项，则的值是（　）

A、-3B、-1C、D、3

考点：

同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.

总结升华：

判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：

（1）；

（2）.

（二）整式的运算及整式乘法公式的运用

例2、

（1）（2010湖北咸宁）下列运算正确的是（）

A．        B．        C．    D．

（2）下列各式中正确的是（　）

A.B.a2·a3=a6C.（-3a2）3=-9a6D.a5+a3=a8

考点：

整数指数幂运算.

例3、计算：

（a2+3）（a-2）-a（a2-2a-2）

解:

例4、利用乘法公式计算：

（1）（a+b+c）2

（2）（2a2-3b2+2）（2-2a2+3b2）

思路点拨：

利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.

解：

举一反三

【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.

解析：

【变式2】设，则=__________.

思路点拨：

本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.

解：

【变式3】用相同的方法可以求，等的值.

总结升华：

此题是反复运用完全平方公式，把，变形为关于的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.

【变式4】若a2+3a+1=0，求的值.

解：

类型二：

因式分解

例5、因式分解：

（1）（2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）

A．    B．     C．    D．

考点：

运用提取公因式法和公式法因式分解.

思路点拨：

提公因式法、公式法分解因式

解：

（2）①3a3-6a2+12a；②（a+b）2-1；③x2-12x+36；④（a2+b2）2-4a2b2

考点：

运用提取公因式法和公式法因式分解.

思路点拨：

把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.

解：

举一反三

【变式1】因式分解：

（1）；

（2）；（3）.

解：

总结升华：

类型三：

分式的意义及运算

（一）分式的意义及分式值为零

例6、

（1）（2010湖北荆州）分式的值为０，则（）

A.．ｘ＝－１B．ｘ＝１C．ｘ＝±１D．ｘ＝０

思路点拨：

当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.

解：

（2）（2010山东聊城）使分式无意义的x的值是（）

A．x=　　B．x=　　C．　D．

解：

（3）当x取何值时，分式有意义？

分式的值等于零？

思路点拨：

当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.

解：

总结升华：

（1）；

（2）；

（3）.

举一反三

【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b=.

考点：

分式无意义及分式值为0的条件.

解：

（二）分式的运算

例7、

（1）（2010重庆）先化简，再求值：

，

其中.

考点：

分式的混合运算.

解：

（2）计算.

考点：

分式的混合运算.

思路点拨：

此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得：

，再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：

解法1：

解法2：

举一反三

【变式1】先化简，再求值：

，其中满足.

解：

总结升华：

【变式2】先化简，再求值：

（）÷，其中x=2005

解：

【变式3】有这样一道题：

“计算：

的值，其中.”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？

解：

【变式4】已知x、y是方程组的解，求代数式的值.

考点：

一元二次方程组解法、分式的化简求值.

思路点拨：

一般地，在求代数式的值的问题中，可以先化简，再代入求值；也可以先代入，直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时，要选择简捷方法.此题所给分式运算，化简难度较大，应该求出方程组的解，直接把解代入，进行数的运算.解题过程如下：

解：

类型四：

二次根式的有关概念及运算

例8、

（1）（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（）

A．的平方根是±2 B．是无理数C．是有理数 D．是分数

考点：

二次根式的有关概念

（2）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

考点：

最简二次根式的定义.

思路点拨：

依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二者缺一不可.

解：

例9、化简：

（1）；

（2）；（3）.

思路点拨：

二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.

解：

举一反三：

【变式1】化简：

，其中.

解：

总结升华：

类型五：

代数式的综合应用

例10、

（1）（2010四川自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（）。

A．3 B．5 C．15 D．25

解：

（2）若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是（　）

A.2B.-17C.-7D.7

思路点拨：

此题考查的是整体代换的思想.

解：

例11、已知：

a，b为实数，下列各式中一定为正值的是（　）

A.a2-2a+2B.C.a2+b2D.（a-1）2+|b+2|

例12、现规定一种运算：

，其中、为实数，则等于（）

A.B.C.D.

探索规律

例13、观察下列顺序排列的等式：

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想第n个等式（n为正整数）应为_______.

解析：

综合应用

☆例14、已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）.

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形

举一反三

【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、宽分别为a、b，则图中阴影部分的面积为.（结果要求化简）

考点：

乘法公式的实际背景和几何意义.

解析：

☆例15、（扬州）为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：

首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.

（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；

（2）设第k所民办学校所得到的奖金为元

（1），试用k、n和b表示（不必证明）；

（3）比较和的大小（k=1，2，……，），并解释此结果.

解:

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