湖北省13市州2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质.doc

湖北省13市州2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质.doc

《湖北省13市州2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省13市州2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质.doc（43页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

湖北13市州（14套）2012年中考数学试题分类解析汇编

专题6：

函数的图象与性质

一、选择题

1.（2012湖北黄石3分）已知反比例函数（为常数），当时，随的增大而增大，则一

次函数的图像不经过第几象限【】

A.一B.二C.三D.四

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系，反比例函数的性质。

【分析】∵反比例函数（b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，∴b＜0。

∵一次函数y=x+b中k=1＞0，b＜0，∴此函数的图象经过一、三、四限。

∴此函数的图象不经过第二象限。

故选B。

2.（2012湖北荆门3分）如图，点A是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为【】

A．2B．3C．4D．5

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a．

把y=a代入得，，则，即A的横坐标是；同理可得：

B的横坐标是：

。

∴AB=。

∴S□ABCD=×a=5。

故选D。

3.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：

①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【】

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】A。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】根据图象可得：

a＞0，c＞0，对称轴：

。

①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，

∴。

∴b+2a=0。

故命题①错误。

②∵a＞0，，∴b＜0。

又c＞0，∴abc＜0。

故命题②正确。

③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。

∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。

∴﹣4b+4c=﹣4a。

∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。

故命题③正确。

④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。

由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。

故命题④正确。

∴正确的命题为：

①②③三个。

故选A。

4.（2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】

A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

【答案】D。

【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。

1419956

【分析】∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：

a＞1。

∴抛物线的开口向上。

又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。

∴抛物线的顶点在第一象限。

故选D。

5.（2012湖北恩施3分）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为【】

A．﹣6B．﹣9C．0D．9

【答案】A。

【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点，∴x1•y1=x2•y2=3。

∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2

∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。

故选A。

6.（2012湖北荆州3分）如图，点A是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为【】

A．2B．3C．4D．5

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a．

把y=a代入得，，则，，即A的横坐标是；同理可得：

B的横坐标是：

。

∴AB=。

∴S□ABCD=×a=5。

故选D。

7.（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：

BC=（m一l）：

1（m>l）则△OAB的面积（用m表示）为【】

A.B.C.D.

【答案】B。

【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。

【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,

设A（ｘA，ｙA），B（ｘB，ｙB），C（c¸0）。

∵AB：

BC=（m一l）：

1（m>l），∴AC：

BC=m：

1。

又∵△ADC∽△BEC，∴AD：

BE=DC：

EC=AC：

BC=m：

1。

又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC=c－ｘA，EC=c－ｘB，

∴ｙA：

ｙB=m：

1，即ｙA=mｙB。

∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，

∴，。

∴，。

将又由AC：

BC=m：

1得（c－ｘA）：

（c－ｘB）=m：

1，即

，解得。

∴

。

故选B。

8.（2012湖北孝感3分）若正比例函数y＝－2x与反比例函数的图象的一个交点坐标为（－1，2），

则另一个交点的坐标为【】

A．（2，－1）B．（1，－2）C．（－2，－1）D．（－2，1）

【答案】B。

【考点】反比例函数图象的对称性。

【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可：

∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称。

∵一个交点的坐标是（－1，2），∴另一个交点的坐标是（1，－2）。

故选B。

9.（2012湖北鄂州3分）直线与反比例函数的图象（x<0）交于点A，与x轴相交于点

B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为【】

A.－2 B.－4 C.－6 D.－8

【答案】B。

【考点】反比例函数与一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，解方程和方程组。

【分析】在中，令y=0，得x=－2。

在中，令x=－2，得。

∴B（－2，0），C（－2，）。

∴BC的中点坐标为（－2，）。

联立和，得，即，解得

∵x<0，∴。

∴。

∴A（，）。

∵AB=AC，∴A点纵坐标等于BC中点的纵坐标，即，整理得。

∴k=0（舍去）或k=－4。

故选B。

二、填空题

1.（2012湖北武汉3分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，

点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE

的面积为3，则k的值为▲．

【答案】。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线的性质。

【分析】如图，连接DC，

∵AE=3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1。

∴△ADC的面积为4。

∵点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，

∴设A点坐标为（）。

∵OC＝2AB，∴OC=2。

∵点D为OB的中点，∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，∴梯形BOCA的面积为8。

∴梯形BIEA的面积=，解得。

2.（2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：

①它的图象与轴有两个公共点；

②如果当≤1时随的增大而减小，则；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；

④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．

其中正确的说法是▲．（把你认为正确说法的序号都填上）

【答案】①④。

【考点】二次函数的性质，一元二次方程的判别式，平移的性质。

【分析】由得，

∴方程有两不相等的实数根，即二次函数的图象与轴有两个公共点。

故说法①正确。

∵的对称轴为，而当≤1时随的增大而减小，

∴。

故说法②错误。

∵，

∴将它的图象向左平移3个单位后得。

∵经过原点，∴，解得。

故说法③错误。

∵由时的函数值与时的函数值相等，得，

解得，

∴当时的函数值为。

故说法④正确。

综上所述，正确的说法是①④。

3.（2012湖北荆州3分）新定义：

[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为　▲　．

【答案】x=3。

【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。

【分析】根据新定义得：

y=x＋m－2，

∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：

m=2。

则关于x的方程即为，解得：

x=3。

检验：

把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。

4.（2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，

快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：

①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；

②甲、乙两地之间的距离为120千米；

③图中点B的坐标为（，75）；

④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．

以上4个结论中正确的是▲（填序号）

5.（2012湖北十堰3分）如图，直线y=6x，y=x分别与双曲线在第一象限内交于点A，B，若S△OAB=8，则k=　▲　．

【答案】6。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，

设点A（x1，），B（x2，），

由解得，∴A（，）。

由解得，∴B（，）。

∵

∴k=6。

6.（2012湖北孝感3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如

图所示．下列说法正确的是▲（填正确结论的序号）．

①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．

【答案】①②③。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】由二次函数的图象可得：

a＞0，b＜0，c＞0，对称轴x=1，则再结合图象判断正确的选项即可：

由a＞0，b＜0，c＞0得abc＜0，故结论①正确。

∵由二次函数的图象可得x=2.5时，y=0，对称轴x=1，∴x=－0.5时，y=0。

∴x=－1时，y＜0，即a－b＋c＜0。

故结论②正确。

∵二次函数的图象的对称轴为x=1，即，∴。

代入②a－b＋c＜0得3a＋c＜0。

故结论③正确。

∵由二次函数的图象和②可得，当－0.5＜x＜2.5时，y＞0；当x＜－0.5或x＞2.5时，y＜0。

∴当－1＜x＜3时，y＞0不正确。

故结论④错误。

综上所述，说法正确的是①②③。

7.（2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：

m）与滑行时间x（单位：

s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　▲　m才能停下来．

【答案】600。

【考点】二次函数的应用。

1028458

【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。

∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。

∴，即飞机着陆后滑行600米才能停止。

三、解答题

1.（2012湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和

矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的

距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h（单位：

m）随时间t（单位：

h）的变化满足函数

关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：

在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

【答案】解：

（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），∴64a+11=8，解得。

∴抛物线的解析式y=x2+11。

（2）画出的图象：

水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h≥6，

当h=6时，，解得t1=35，t2=3。

∴35－3=32（小时）。

答：

需32小时禁止船只通行。

【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】

（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解。

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。

2.（2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：

的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a

交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：

DE＝4∶3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴

于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

图1图2

【答案】解：

（1）∵当x=0时，y＝－2。

∴A（0，－2）。

设直线AB的解析式为，则，解得。

∴直线AB的解析式为。

∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，

∴，解得（舍去）。

∴C（4，6）。

（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，

∴，∴DE=。

∵FG：

DE＝4∶3，∴FG=2。

∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，

∴。

∴FG=。

解得。

（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。

设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为。

∴。

∴。

∴。

∴P（0，）。

∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，

∴，解得（舍去）。

∴N（）。

∴NQ=，MQ=。

∴NQ=MQ。

∴∠NMQ=450。

∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。

∴MO=TO，HT=HN。

∴OT=－t，。

∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。

∴，解得（舍去）。

∴。

∴。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。

【分析】

（1）由点A在抛物线C1上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。

（2）由FG：

DE＝4∶3求得FG=2。

把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式

FG=，解之即可得a的值。

（3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式，求得t和m的关系。

求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。

从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。

3.（2012湖北黄石8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.

商品房售价方案如下：

第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；

反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者

制定了两种购房方案：

方案一：

购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.

方案二：

购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管

理费为a元）

（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；

（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？

（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？

请用具体的数据阐明你的看法。

【答案】解：

（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：

3000－（8－x）×20=20x＋2840；

当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：

3000+（x－8）·40=40x＋2680。

∴。

（2）由

（1）知：

∵当2≤x≤8时，小张首付款为

（20x＋2840）·120·30%=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元

∴2～8层可任选。

∵当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋2680）元

由36（40x＋2680）≤120000，解得：

x≤。

∵x为正整数，∴9≤x≤16。

综上所述，小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：

y1=（40·16＋2680）·120·92%－60a（元）

若按老王的想法则要交房款为：

y2=（40·16＋2680）·120·91%（元）

∵y1－y2=3984－60a，

当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4。

此时老王想法正确；

当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4。

此时老王想法不正确。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。

【分析】

（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000－（8－x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000＋（x－8）•40元。

（2）由

（1）知：

当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，

当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。

（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则要交房款为y2，然后根据即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1－y2≤0时，解得a≥66.4，即可得出答案。

4.（2012湖北荆门10分）荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；

（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？

最低费用是多少？

【答案】解：

（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式为。

（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．

由题意得：

，解得x≥50。

由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．

∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大。

∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）。

答：

该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元。

【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。

【分析】

（1）根据所需总金额y（元）是进货量x与进价的乘积，即可写出函数解析式。

（2）根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式，解不等式即可求得x的范围．费用可以表示成x的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值。

5.（2012湖北荆门10分）已知：

y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．

①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

【答案】解：

（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．

△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。

综上所述，k的取值范围是k≤2。

（2）①∵x1≠x2，由

（1）知k＜2且k≠1。

由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），

将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：

2k（x1+x2）=4x1x2。

又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，

解得：

k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。

∴所求k值为﹣1。

②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，

由图象知：

当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。

∴y的最大值为，最小值为﹣3。

【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。

【分析】

（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。

（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。

②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。

6.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分）如图，一次函数y1=﹣x﹣1