江苏省常州市2015年中考数学试卷(解析版).doc

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2015年江苏省常州市中考数学试卷

一、选择题（每小题2分，共16分）

1．﹣3的绝对值是（　　）

　 A．3 B． ﹣3 C． D．

考点：

绝对值．.

分析：

根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．

解答：

解：

|﹣3|=﹣（﹣3）=3．

故选：

A．

点评：

考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（2分）（2015•常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）

　 A．x＞2 B． x＜2 C． x≠﹣2 D． x≠2

考点：

分式有意义的条件．.

专题：

计算题．

分析：

根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．

解答：

解：

要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，

故选D．

点评：

此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：

分母不为0．

3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）

　 A． B． C． D．

考点：

轴对称图形．.

分析：

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．

解答：

解：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：

B．

点评：

本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4．（2分）（2015•常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）

　 A．70° B． 60° C． 50° D． 40°

考点：

平行线的性质；垂线．.

专题：

计算题．

分析：

由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．

解答：

解：

∵BC⊥AE，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∠B=40°，

∴∠A=90°﹣∠B=50°，

∵CD∥AB，

∴∠ECD=∠A=50°，

故选C．

点评：

此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

5．（2分）（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）

　 A．AO=OD B． AO⊥OD C． AO=OC D． AO⊥AB

考点：

平行四边形的性质．.

分析：

根据平行四边形的性质：

对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．

解答：

解：

对角线不一定相等，A错误；

对角线不一定互相垂直，B错误；

对角线互相平分，C正确；

对角线与边不一定垂直，D错误．

故选：

C．

点评：

本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．

6．（2分）（2015•常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）

　 A．a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞c＞b

考点：

实数大小比较．.

专题：

计算题．

分析：

将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．

解答：

解：

∵a==，b==，c==，且＜＜，

∴＞＞，即a＞b＞c，

故选A．

点评：

此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．

7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）

　 A．m=﹣1 B． m=3 C． m≤﹣1 D． m≥﹣1

考点：

二次函数的性质．.

分析：

根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．

解答：

解：

抛物线的对称轴为直线x=﹣，

∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，

∴﹣≤1，

解得m≥﹣1．

故选D．

点评：

本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．

8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　）

　 A．cm2 B． 8cm2 C． cm2 D． 16cm2

考点：

翻折变换（折叠问题）．.

分析：

当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．

解答：

解：

如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，

∵∠BAC=90°∠ACB=45°

∴AB=AC=4cm，

∴S△ABC=×4×4=8cm2．

故选：

B．

点评：

本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．

二、填空题（每小题2分，共20分）

9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=　1　．

考点：

负整数指数幂；零指数幂．.

分析：

分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：

解：

（π﹣1）0+2﹣1

=1+

=1．

故答案为：

1．

点评：

本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为　6.96×105　．

考点：

科学记数法—表示较大的数．.

专题：

应用题．

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696000有6位整数，n=6﹣1=5．

解答：

解：

696000=6.96×105．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．（2分）（2015•常州）分解因式：

2x2﹣2y2=　2（x+y）（x﹣y）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．.

分析：

先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．

解答：

解：

2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．

故答案为：

2（x+y）（x﹣y）．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　27π　．

考点：

扇形面积的计算．.

分析：

利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．

解答：

解：

设扇形的半径为r．

则=6π，

解得r=9，

∴扇形的面积==27π．

故答案为：

27π．

点评：

此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：

扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．

13．（2分）（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：

DB=1：

2，DE=2，则BC的长是　6　．

考点：

相似三角形的判定与性质．.

分析：

由平行可得对应线段成比例，即AD：

AB=DE：

BC，再把数值代入可求得BC．

解答：

解：

∵DE∥BC，

∴，

∵AD：

DB=1：

2，DE=2，

∴，

解得BC=6．

故答案为：

6．

点评：

本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．

14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是　　．

考点：

一元一次方程的解．.

专题：

计算题．

分析：

把x=2代入方程计算即可求出a的值．

解答：

解：

把x=2代入方程得：

3a=a+2，

解得：

a=．

故答案为：

．

点评：

此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　（1，﹣2）　．

考点：

二次函数的性质．.

分析：

此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．

解答：

解：

∵y=﹣x2+2x﹣3

=﹣（x2﹣2x+1）﹣2

=﹣（x﹣1）2﹣2，

故顶点的坐标是（1，﹣2）．

故答案为（1，﹣2）．

点评：

本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．

16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　（400，800）　．

考点：

勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．.

分析：

根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．

解答：

解：

连接AC，

由题意可得：

AB=300m，BC=400m，

在△AOD和△ACB中

∵，

∴△AOD≌△ACB（SAS），

∴∠CAB=∠OAD，

∵B、O在一条直线上，

∴C，A，D也在一条直线上，

∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，

∴C点坐标为：

（400，800）．

故答案为：

（400，800）．

点评：

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．

17．（2分）（2015•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

4=2+2；　　　　　12=5+7；

6=3+3；　　　　　14=3+11=7+7；

8=3+5；　　　　　16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5　　　18=5+13=7+11；

…

通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．

考点：

规律型：

数字的变化类．.

分析：

根据以上等式得出规律进行解答即可．

解答：

解：

此规律用文字语言表达为：

所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，

故答案为：

所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和

点评：

此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．

18．（2分）（2015•常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．

考点：

全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．.

分析：

过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．

解答：

解：

过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，

∵点C为弧BD的中点，

∴=，

∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠D=∠CBE，

在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF，

∴BE=DF，

在△AEC和△AFC中

∴△AEC≌△AFC，

∴AE=AF，

设BE=DF=x，

∵AB=3，AD=5，

∴AE=AF=x+3，

∴5=x+3+x，

解得：

x=1，

即AE=4，

∴AC==，

故答案为：

．

点评：

本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

三、解答题（共10小题，共84分）

19．（6分）（2015•常州）先化简，再求值：

（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．

考点：

整式的混合运算—化简求值．.

专题：

计算题．

分析：

原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，

当x=2时，原式=8+1=9．

点评：

此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：

（1）；　　　　　

（2）．

考点：

解分式方程；解一元一次不等式组．.

专题：

计算题．

分析：

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．

解答：

解：

（1）去分母得：

x=6x﹣2+1，

解得：

x=，

经检验x=是分式方程的解；

（2），

由①得：

x＞﹣2，

由②得：

x＜3，

则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．

点评：

此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：

（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？

（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；

（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．

考点：

频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．.

分析：

（1）利用0.5小时的人数为：

100人，所占比例为：

20%，即可求出样本容量；

（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；

（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．

解答：

解：

（1）由题意可得：

0.5小时的人数为：

100人，所占比例为：

20%，

∴本次调查共抽样了500名学生；

（2）1.5小时的人数为：

500×2.4=120（人）

如图所示：

（3）根据题意得：

，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．

点评：

此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．

22．（8分）（2015•常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．

（1）求甲第一个出场的概率；

（2）求甲比乙先出场的概率．

考点：

列表法与树状图法．.

专题：

计算题．

分析：

（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；

（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．

解答：

解：

（1）画树状图如下：

所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，

则P（甲第一个出场）==；

（2）甲比乙先出场的情况有3种，

则P（甲比乙先出场）==．

点评：

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分）（2015•常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．

（1）求证：

AE=AF；

（2）求∠EAF的度数．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．.

分析：

（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，

∵△BCE和△CDF都是正三角形，

∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，

∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，

在△ABE和△FDA中，，

∴△ABE≌△FDA（SAS），

∴AE=AF；

（2）解：

∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠FAD，

∵∠ABE=60°+60°=120°，

∴∠AEB+∠BAE=60°，

∴∠FAD+∠BAE=60°，

∴∠EAF=120°﹣60°=60°．

点评：

本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：

不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．

（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；

（2）如果小张这天外出的消费还包括：

中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？

为什么？

考点：

一次函数的应用．.

分析：

（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：

不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；

（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．

解答：

解：

（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，

∴m=9，

∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，

∴（5﹣3）n+9=12.6，

解得：

n=1.8．

∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：

y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．

（2）小张剩下坐车的钱数为：

75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），

乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：

1.8×7+3.6=16.2（元）

∵13.4＜16.2，

故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．

点评：

本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键

25．（8分）（2015•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．

（1）若AD=2，求AB；

（2）若AB+CD=2+2，求AB．

考点：

勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．.

分析：

（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；

（2）设DE=x，利用

（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．

解答：

解：

（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，

∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，

∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，

∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，

△ADE与△BCF为等腰直角三角形，

∵AD=2，

∴AE=DE==，

∵∠ABC=105°，

∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，

∴BE===，

∴AB=；

（2）设DE=x，则AE=x，BE===，

∴BD==2x，

∵∠BDF=60°，

∴∠DBF=30°，

∴DF==x，

∴BF===，

∴CF=，

∵AB=AE+BE=，

CD=DF+CF=x，

AB+CD=2+2，

∴AB=+1

点评：

本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．

26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空

如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

理由：

连接AH，EH．

∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．

∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　△HDE　．

∴，即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2=　AD×DC　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．

（3）解决问题

三角形的“化方”思路是：

先把三角形转化为等积的　矩形　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：

把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．

如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

考点：

相似形综合题．.

分析：

（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．

（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．

（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S