概率习题答案5.docx

概率习题答案5.docx

《概率习题答案5.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率习题答案5.docx（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

概率习题答案5

第五章数理统计的基础知识

 5.1数理统计的基本概念

习题一

已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布（λ未知）, X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则（）.

（A）1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；   （B）1n∑i=1nXi-E（X）是一个统计量；

（C）X1+X2是一个统计量；         （D）1n∑i=1nXi2-D（X）是一个统计量.

解答：

应选（C）.

由统计量的定义：

样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.（A）（B）（D）中均含未知参数.

习题2

观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位（单位：

cm）, 得到如下表中所列的数据.按区间[70,80）,[80,90）,⋯,[150,160）, 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表（包括频率和累积频率）, 并画出频率累积的直方图.

解答：

分组数据统计表

组序号

1

2

3

4

5

组限

组中值

组频率

组频率%

累计频率%

70∼8075333

80∼90859912

90∼10095131325

100∼110105161661

110∼120115262667

组序号

6

7

8

9

组限

组中值

组频率

组频率%

累计频率%

120∼130********7

130∼1401357794

140∼1501454498

150∼16015522100

频率直方图见图（a）,累积频率直方图见图（b）.

习题3

测得20个毛坯重量（单位：

g）,列成如下简表：

毛坯重量

185********5200202205206

 频数

 11111211

毛坯重量

207208210214215216218227

 频数

 21112121

将其按区间[183.5,192.5）,⋯,[219.5,228.5）组，列出分组统计表，并画出频率直方图.

解答：

分组统计表见表

 组序号

    12345

 组限

 组中值

 组频数

组频率/%

183.5,∼192.5192.5,∼201.5201.5,∼210.5210.5,∼219.5219.5,∼228.518819*********432861151040305

频率直方图见下图

习题4

某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：

月人均收入（百元）

5-66-77-88-99-1010-1111-12

合计

     户数

 183********414

200

求样本容量n,样本均值X¯，样本方差S2.

解答：

对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料（频率分布）, 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯和S2的近似值：

月人均收入（百元）

5-66-77-88-99-1010-1111-12

合计

   组中值ak

 5.56.57.58.59.510.511.5

 -

   户数fk

 183********414

200

        X¯=1n∑kakfk=1200（5.5×18+⋯+11.5×14）=7.945,

        S2≈1n-1∑k（ak-X¯）2fk=1n-1∑kak2fk-X¯2

          =1199（5.52×18+⋯+11.52×14）-7.9452

          ≈66.0402-63.123025=2.917175.

习题5

设总体X服从二项分布B（10,3100）,X1,X2,⋯,Xn为来自总体的简单随机样本，

X¯=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n（Xi-X¯）2

分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E（X¯）,E（S2）.

解答：

由X∼B（10,3100）, 得

E（X）=10×3100=310,D（X）=10×3100×97100=2911000,

所以

E（X¯）=E（X）=310,E（S2）=n-1nD（X）=291（n-1）1000n.

习题6

设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

日售出台数k

2

3

4

5

6

合计

  天数fk

20

30

10

25

15

100

求样本容量n,经验分布函数Fn（x）.

解答：

（1）样本容量n=100;

（2）经验分布函数

Fn（x）={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.

习题7

设总体X的分布函数为F（x）, 概率密度为f（x）,X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，记

X

（1）=min1≤i≤n（Xi）,X（n）=max1≤i≤n（Xi）,

试求X

（1）和X（n） 各自的分布函数和概率密度.

解答：

设X

（1）的分布函数和概率密度分别为F1（x）和f1（x）, X（n）的分布函数和概率密度分别为Fn（x）和fn（x）, 则

    Fn（X）=P{X（n）≤x}=P{X1≤x,⋯,X（n）≤x}

         =P{X1≤x}P{X2≤x}⋯P{Xn≤x}=[F（x）]n,

    fn（x）=F′n（x）=n[F（x）]n-1f（x）,

    F1（x）=P{X

（1）≤x}=1-P{X

（1）>x}=1-P{X1>x,X2>x,⋯,Xn>x}

        =1-P{X1>x}P{X2>x}⋯P{Xn>x}

        =1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]⋯[1-P{Xn≤x}]

        =1-[1-F（x）]n,

    F′1（x）=f1（x）=n[1-F（x）]n-1f（x）.

习题8

设总体X服从指数分布e（λ）,X1,X2是容量为2的样本，求X

（1），X

（2）的概率密度.

解答：

f（x）={λe-λx,x>00,其它,  F（x）={1-e-λx,x>00,x≥0,

X

（2）的概率密度为

f

（2）（x）=2F（x）f（x）={2λe-λx（1-e-λx）,x>00,其它,

又X

（1）的概率密度为

f

（1）（x）=2[1-F（x）]f（x）={2λe-2λx,x>00,其它.

习题9

设电子元件的寿命时间X（单位：

h）服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：

（1）没有元件在800h之前失效的概率；

（2）没有元件最后超过3000h的概率.

解答：

（1）总体X的概率密度f（x）={（0.0015）e-0.0015x,x>00,其它,

分布函数F（x）={1-e-0.0015x,x>00,其它,

{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X

（1）>800}, 有

    P{X

（1）>800}=[P{X>800}]6=[1-F（800）]6

                 =exp（-0.0015×800×6）=exp（-7.2）≈0.000747.

（2）{没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X（6）<3000}

    P{X（6）<3000}=[P{X<3000}]6=[F（3000）]6

                =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6

                 ≈0.93517.

习题10

设总体X任意，期望为μ,方差为σ2, 若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ, 问样本容量n应取多大？

解答：

因当n很大时，X¯-N（μ,σ2n）, 于是

    P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ

                     ≈Φ（0.1σσ/n）-Φ（-0.1σσ/n）=2Φ（0.1n）-1≥0.95,

则Φ（0.1n）≥0.975, 查表得Φ（1.96）=0.975, 因Φ（x）非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16, 故样本容量至少取385才能满足要求.

5.2常用统计分布

习题1

对于给定的正数a（0

   （A）z1-a（n）=-za（n）;      （B）χ1-a2（n）=-χa2（n）; 

   （C）t1-a（n）=-ta（n）;      （D）F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.

解答：

应选（B）.

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以（A）和（C）是对的.（B）是错的.对于F分布，若F∼F（n1,n2）, 则

1-a=P{F>F1-a（n1,n2）}=P{1F<1F1-a（n1,n2）=1-P{1F>1F1-a（n1,n2）

由于1F∼F（n2,n1）, 所以

P{1F>1F1-a（n1,n2）=P{1F>Fa（n2,n1）=a,

即F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.故（D）也是对的.

习题2

（1）

2.设总体X∼N（0,1）,X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?

（1）X1-X2X32+X42; 

解答：

因为Xi∼N（0,1）,i=1,2,⋯,n, 所以：

X1-X2∼N（0,2）, X1-X22∼N（0,1）, X32+X42∼χ2

（2）,

故X1-X2X32+X42=（X1-X2）/2X32+X422∼t

（2）.

习题2

（2）

2.设总体X∼N（0,1）,X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?

（2）n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;

解答：

因为Xi∼N（0,1）,∑i=2nXi2∼χ2（n-1）, 所以

n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/（n-1）∼t（n-1）.

习题2（3）

2.设总体X∼N（0,1）,X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?

  （3）（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.

解答：

因为∑i=13Xi2∼χ2（3）,∑i=4nXi2∼χ2（n-3）, 所以：

（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/（n-3）∼F（3,n-3）.

习题3

设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N（0,22）的简单随机样本，且

Y=a（X1-2X2）2+b（3X3-4X4）2,

则a=?

b=?

时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？

解答：

解法一  Y=[a（X1-2X2）]2+[b（3X3-4X4）]2,

令Y1=a（X1-2X2）,Y2=b（3X3-4X4）, 则

Y=Y12+Y22,

为使Y∼χ2

（2）, 必有Y1∼N（0,1）,Y2∼N（0,1）, 因而

E（Y1）=0,D（Y1）=1, E（Y2）=0,D（Y2）=1,

注意到D（X1）=D（X2）=D（X3）=D（X4）=4, 由

    D（Y1）=D[a（X1-2X2）]=aD（X1-X2）=a（D（X1）+22D（X2））

          =a（4+4×4）=20a=1,

     D（Y2）=D[b（3X3-4X4）]=bD（3X3-4X4）

          =b（9D（X3）+16D（X4））=b（4×9+16×4）=100b=1,

分别得a=120,b=1100. 这时Y∼χ2

（2）, 自由度为n=2.

解法二因Xi∼N（0,22）且相互独立，知

X1-2X2=X1+（-2）X2∼N（0,20）, 3X3-4X4=3X3+（-4）X4∼N（0,100）,

故X1-2X220∼N（0,1）,3X3-4X4100∼N（0,1）, 为使

Y=（X1-2X21/a）2+（3X3-4X41/b）2∼χ2

（2）,

必有X1-2X21/a∼N（0,1）,3X3-4X41/b∼N（0,1）,

与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是

1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100.

习题4

设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N（0,32）. X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量

T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92

服从自由度为9的t分布.

解答：

首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态.

令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9, 则

X′i∼N（0,1）,Y′i∼N（0,1）;

再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9, 则X′∼N（0,9）,X′3∼N（0,1）,

Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92, Y′2∼χ2（9）.

因此

T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t（9）,

注意到X′,Y′2相互独立.

习题5

设总体X∼N（0,4）, 而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量

Y=X12+X22+⋯+X1022（X112+X122+⋯+X152）

服从什么分布？

参数为多少？

解答：

因为Xi2∼N（0,1）, 故Xi24∼χ2

（1）,i=1,2,⋯,15,

而X1,X2,⋯,X15独立，故

X12+X22+⋯+X1024∼χ2（10）,X112+X122+⋯+X1524∼χ2（5）,

所以

X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022（X112+X122+⋯+X152）=Y

习题6

证明：

若随机变量X服从F（n1,n2）的分布，则

（1）Y=1X服从F（n2,n1）分布；

（2）并由此证明F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.

解答：

（1）因随机变量X服从F（n1,n2）, 故可设X=U/n1V/n2, 其中U服从χ2（n1）,V服从χ2（n2）, 且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知

Y=1x=V/n2U/n1,

服从F（n2,n1）.

（2）由上侧α分位数和定义知

P{X≥F1-α（n1,n2）}=1-α,P{1X≤1F1-α（n1,n2）=1-α,

即P{Y≤1F1-α（n1,n2）=1-α,1-P{Y>1F1-α（n1,n2）=1-α, 故

P{Y>1F1-α（n1,n2）=α,

而P{Y≥Fα（n2,n1）}=α.

又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α（n1,n2）=α, 从而

Fα（n2,n1）=1F1-α（n1,n2）,

即F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.

习题7

查表求标准正态分布的上侧分位数：

u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.

解答：

u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.

习题8

查表求χ2分布的上侧分位数：

χ0.952（5）, χ0.052（5）, χ0.992（10）与χ0.012（10）.

解答：

1.145, 11.071, 2.558, 23.209.

习题9

查表求F分布的上侧分位数：

F0.95（4,6）,F0.975（3,7）与F0.99（5,5）.

解答：

0.1623,0.0684,0.0912.

习题10

查表求t分布的下侧分位数：

t0.05（3）,t0.01（5）,t0.10（7）与t0.005（10）.

解答：

2.353,3.365,1.415,3.169.

 5.3抽样分布

习题1

已知离散型均匀总体X,其分布律为

X

  246

pi

1/31/31/3

取大小为n=54的样本，求：

（1）样本平均数X¯落于4.1到4.4之间的概率；

（2）样本均值X¯超过4.5的概率.

解答：

μ=E（X）=13×（2+4+6）=4,

σ2=E（X2）-[E（X）]2=13×（22+42+66）-42=83,

所以

μX¯=μ=4, σX¯2=σ2n=8/354=481, σX¯=29.

令Z=X¯-42/9, 则n充分大时，Z∼近似N（0,1）.

（1）P{4.1

                   ≈Φ（1.8）-Φ（0.45）=0.9641-0.6736=0.2905.

（2）P{X¯>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}

              ≈1-Φ（2.25）=1-0.9878=0.0122.

习题2

设总体X服从正态分布N（10,32）,X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设

         X¯=16∑i=16Xi.

（1）写出X¯所服从的分布；

（2）求X¯>11的概率.

解答：

（1）X¯∼N（10,326）, 即X¯∼N（10,32）.

（2）P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ（11-1032）

             ≈1-Φ（0,8165）≈1-Φ（0.82）=0.2061.

习题3

设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯=1n∑i=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求E（X¯）,D（X¯）.

（1）X服从0-1分布b（1,p）;       

（2）*X服从二项分布b（m,p）; 

（3）X服从泊松分布P（λ）;          （4）X服从均匀分布U[a,b];

（5）X服从指数分布e（λ）.

解答：

（1）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=Pk（1-P）1-k（k=0,1）.

E（X）=p,D（X）=p（1-p）.

所以

E（X¯）=E（1n∑i=1nXi）=1n∑i=1nE（Xi）=1n⋅np=p,

D（X¯）=D（1n∑i=1nXi）=1n2∑i=1nD（X1）=1n2⋅np（1-p）=1np（1-p）.

（2）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=CmkPk（1-p）m-k（k=0,1,2,⋯,m）.

同

（1）可得

E（X¯）=mp,D（X¯）=1nmp（1-p）.

（3）由题意，X的分布律为：

P{X=k}=λkk!

e-λ（λ>0,k=0,1,2,⋯）.

E（X）=λ,D（X）=λ.

同

（1）可得

E（X¯）=λ,D（X¯）=1nλ.

（4）由E（X）=a+b2,D（X）=（b-a）212, 同

（1）可得

E（X¯）=a+b2,D（X¯）=（b-a）212n.

（5）由E（X）=1λ,D（X）=1λ2, 同

（1）可得

D（X¯）=1λ,D（X¯）=1nλ2.

习题4

 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：

（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；

（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。

解答：

（1）由题意知X¯∼N（5,1n）,n=9，则标准化变量

                 Z=X¯-51/9=X¯-51/3∼N（0,1）.

而     P{4.4

                        =P{-1.8

                         =0.7257-0.0359=0.6898

（2）P{X¯<6}=P{X¯-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ（3）=0.9987.

习题5

设X1,X2,⋯,X16及Y1,Y2,⋯,Y25分别是两个独立总体N（0,16）和N（1,9）的样本，以X¯和Y¯分别表示两个样本均值，求P{∣X¯-Y¯∣>1}.

解答：

X¯∼N（0,1616），Y¯∼N（1,925），X¯-Y¯∼N（-1,1+925），即

　　　　　　　　　　X¯-Y¯∼N（-1,3425）．

标准化变量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5∼N（0,1），所以

　　　P{∣X¯-Y¯∣>1}=1-P{∣X¯-Y¯∣≤1}=1-P{-1≤X¯-Y¯≤1}

　　　　　　　　　=1-P{0≤X¯-Y¯+134/5≤234/5

　　　　　　　　　≈1-Φ（1.715）+Φ（0）

　　　　　　　　　=1-0.9569+0.5=0.5431．

习题6

假设总体X服从正态分布N（20,32）, 样本X1,⋯,X25来自总体X, 计算

P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.

解答：

令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi, 由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N（20,32）, 因此有Y1与Y2相互独立，且Y1∼N（320,122）, Y2∼N（180,92）,

Y1-Y2∼N（140,152）,

    P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},

                           =P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ（2.8）=0.997.

 习题7

从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差.

解答：

设总体X∼N（μ,σ2）, 样本均值为X¯,则有

X¯-μσ/n=X¯-μσ/4∼N（0,1）.

因为

P{∣X¯-μ∣>2}=P{∣X¯-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ（8σ）]=0.01,

所以Φ（8σ）=0.995.

查标准正态分布表，得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11.

习题8

设在总体N（μ,σ2）中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.

（1）求P{S2/σ2≤2.041}, 其中S2为样本方差；         

（2）求D（S2）.

解答：

（1）因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知

（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）.

这里n=16, 于是

    P{S2/σ2≤2.041}=P（15S2σ2≤15×2.041）

                  =1-P{15S2σ2>30.615（查χ2分布表可得）

                  =1-0.01=0.99.

（2）因为（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）, 又知

D（（n-1）S2σ2）=2（n-1）,

所以

D（S2）=σ4（n-1）2D（（n-1）S2σ2）=σ4（n-1）2⋅2（n-1）=2n-1σ4=215σ4

                               （因为n=16）.

习题9

设总体X∼N（μ,16）,X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1, 求常数a.

解答：

因为（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）,n=10,σ=4, 所以

P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.

查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684, 所以a≈26.105.

习题10

设X1,X2,⋯,