塞瓦定理.doc

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塞瓦定理

【定理内容】

设是内任意一点，、、分别交对边于、、，

则.

[评]等价叙述：

的三边、、上有点、、，则、、三线共点的充要条件是，这点称为三角形的塞瓦点。

【背景简介】

【证法欣赏】

证法1：

（利用梅涅劳斯定理证明）

∵被直线所截，

∴①

同理，②

②÷①得：

.

【证法欣赏】

证法2：

（利用面积关系证明）

∵

∴由等比性质得

③

同理：

④，⑤，

③×④×⑤得：

.

【证法欣赏】

证法3：

（利用平行线分线段成比例证明）

过作交、延长线于、，

∵，

∴，⑥

，⑦

⑧，

由⑧得：

⑨

⑥×⑦×⑨得：

.

【逆定理】

塞瓦定理的逆定理也成立，即

如果有三点、、分别在的三边、、上，且满足，那么、、三线交于一点。

[注]利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点

如证明三角形三条高线必交于一点；三角形三条中线交于一点等。

【定理应用】

塞瓦定理的应用定理：

设平行于的边的直线与两边、的交点分别是、，和交于，则一定过边的中点.

[证1]（塞瓦定理）

设与的交点为，

由塞瓦定理得：

，

∵，∴

∴，即，

∴一定过边的中点。

[证2]（平行线分线段成比例）

∵，

∴，，

，

∴，即，

∴一定过边的中点。

【定理应用】

塞瓦定理逆定理的应用定理：

设的内切圆和边、、分别相切于点、、，则、、交于一点。

证：

由切线长定理得，

，，，

∴，

根据塞瓦定理的逆定理，有

、、交于一点。

中学数学中的著名定理~2~