摆线公式等Word文件下载.docx
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一条由滚动的圆所生成的摆线
在数学中，摆线
（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
它是roulette曲线的一个例子。
摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
[隐藏]
∙1
历史
∙2
方程
∙3
面积
∙4
弧长
∙5
其它相关联的曲线
∙6
应用
∙7
参考
∙8
外部连结
历史[编辑]
摆线的研究最初开始于NicholasofCusa，之后梅森（MarinMersenne）
也有针对摆线的研究。
1599年伽利略为摆线命名。
1634年G.P.deRoberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。
1658年克里斯多佛·
雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。
在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（TheHelenofGeometers）。
[1].
方程[编辑]
由半径为2的圆所生成的摆线
过原点半径为r的摆线参数方程为
在这里实参数t是在弧度之下，圆滚动的角度。
对每一个给出的t，圆心的坐标为（rt,r）。
通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为
摆线的第一道拱由参数t在（0,2π）区间内的点组成。
摆线也满足下面的微分方程。
面积[编辑]
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：
微分，
于是可以求得
弧长[编辑]
弧形的长度可以由下面的式子计算出：
其它相关联的曲线[编辑]
一些曲线同摆线紧密相关。
当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtatecycloid）和长摆线（prolatecycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。
trochoid则是上述三种曲线的统称。
更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到
外摆线（epicycloid）
（沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid）（沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid）（定点可以在圆内的任一点包括边界。
）
小圆边缘沿大圆转动：
圆外螺线/外摆线
·
圆内螺线/内摆线
小圆短径外转：
外旋轮线
小圆长径内转：
内旋轮线
小圆边缘沿直线转动：
摆线
外摆线[编辑]
不同的外摆线
外摆线
是所有形式为
的曲线，其中
n
为正实数。
轨迹定义[编辑]
n=4的外摆线轨迹
假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的
倍的圆在上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线。
心脏线[编辑]
心脏线
心脏线是外摆线的一种，其
为2。
它亦可以极坐标的形式表示：
r
=1+cos
θ
这样的心脏线的周界为8，围得的面积为
。
心脏线亦为蚶线的一种。
在
曼德博集合
正中间的图形便是一个心脏线。
心脏线的英文名称“Cardioid”是deCastillon在
1741年
的《PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSociety》发表的；
意为“像心脏的”。
肾脏线[编辑]
肾脏线亦是外摆线的一种，其
为3。
圆内螺线[编辑]
内摆线（圆内螺线）是所有形式为
倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条内摆线（圆内螺线）。
三尖瓣线和星形线[编辑]
三尖瓣线（Deltoid，字自“Delta”Δ）是内摆线（圆内螺线）一种，其
为2（或1/2）。
[1]
星形线是内摆线（圆内螺线）一种，其
外旋轮线[编辑]
R
=3,
=1和
d
=1/2的外旋轮线
外旋轮线（Epitrochoid
-
IPA
[ɛpɪˈtrɒkɔɪd,-ˈtrəʊ-]）是追踪附着在围绕半径为
的固定的圆外侧滚转的半径
的圆上的一个点而得到的转迹线，这个点距离外部滚动的圆的中心的距离是
d。
外旋轮线的参数方程是
特殊情况包括
R=r
的蜗牛线和
d=r
的外摆线。
经典的玩具万花尺追踪外旋轮线和内旋轮线。
转子活塞发动机的定子是外旋轮线。
内旋轮线[编辑]
红色曲线是
=5.0,
=5的内旋轮线
内旋轮线（hypotrochoid）是追踪附着在围绕半径为
的固定的圆内侧滚转的半径为
的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是
内旋轮线的参数方程是:
=
的内摆线和
=2r
的椭圆。
经典的玩具万花尺追踪出内旋轮线和外旋轮线。
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