一次函数最值问题(1).doc
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一次函数最值问题
“一次函数最值问题”既是一次函数的具体应用,更是中考的热点.何时获得最大利润?
最大利润是多少?
这是一个现实生活中的最值问题.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过一次函数的增减性可使问题得以解决.现就中考试题中运用一次函数知识取得最大（小）值问题,精选几例析解如下,供同学们鉴赏：
例1（临沂市中考题）某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。
设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元.
⑴求y关于x的函数关系式？
⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？
并求出最大利润。
（注：
利润＝售价－成本）
分析:
（1）购进A、B两种品牌的饮料共500箱，购进A种饮
料x箱，则购进B种饮料（500-x）箱;根据A、B两种品牌饮料的进
价和售价及利润＝售价－成本,易得总利润y（元）关于x（箱）之间的
函数关系式.
（2）根据不等式知识求得x的取值范围,再根据一次函次性质求得总利润y（元）的最大值.
解:
⑴y＝（63－55）x＋（40－35）（500－x）
＝3x＋2500.即y＝3x＋2500（0≤x≤500），
⑵由题意，得55x＋35（500－x）≤20000，
解这个不等式，得x≤125，即x可取得的最大值为125.
对于函数y＝3x＋2500,当x取得最大值时,函数y也取得最大值.
因此当x＝125时,y最大值＝3×125＋2500＝2875（元）,
所以购进A、B两种饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润,为2875元.
评注:
①销售利润=售价－进价;②解不等式求得x的取值范围;③函数y＝3x＋2500,是增函数,即y随x的增大而增大,所以当x取得最大值时,函数y也取得最大值.
例2（潍坊市中考题）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化．绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．并且种植草皮面积不少于种植树木面积的．已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元．
（1）种植草皮的最小面积是多少？
（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？
最低费用为多少？
分析:
（1）根据种植草皮面积不少于种植树木面积的,通过解不等式可以求得种植草皮的最小面积;
（2）建立一次函数,根据一次函数的增减性,求得绿化总费用最低值.
解:
（1）设种植草皮面积为亩,则种植树木面积为（30-）亩,
由≥,解得≥18,即种植草皮的最小面积为18亩.
（2）
因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩．所以的取值范围为10≤x≤20.
所以当取最大值20时,函数
即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低,最低费用为280000元.
评注:
函数为减函数,当自变量取得最大值时,函数S有最小值,即费用最低,最低费用为280000元,
例3（泰安市中考题）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：
工作时间：
每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；
信息二：
生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件）
生产乙产品件数（件）
所用总时间（分）
10
10
350
30
20
850
信息三：
按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？
此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
分析:
（1）通过解方程组可以求得生产甲、乙两种产品1件各需多少时间.
（2）建立一次函数关系,根据一次函数的增减性,可使问题获解.
解：
（1）设生产一件甲种产品需分钟，生产一件乙种产品需分钟，由题意得：
即解这个方程组得：
即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟．
（2）设生产甲种产品共用了分钟，生产乙种产品需用分钟，则生产甲种产品件，生产乙种产品件．
又，得
由一次函数的增减性，当取最小值,即时取得最大值，
此时（元）
这时甲生产了（件），乙生产了（件）
即小王该月最多能得到1644元,此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件.
评注:
这是一道信息给予题,关键是理解题意,从中获取正确的信息.
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