归纳与技巧随机抽样.docx
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归纳与技巧随机抽样
归纳与技巧：
随机抽样
基础知识归纳
一、简单随机抽样：
1．简单随机抽样的概念：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
二、系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本：
（1）先将总体的N个个体编号；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段，当
是整数时，取k＝
；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
三、分层抽样
1．分层抽样的概念：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．
2．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．
基础题必做
1．（教材习题改编）在某班的50名学生中，依次抽取学号为5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的10名学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ）
A．随机抽样 B．分层抽样
C．系统抽样D．以上都不是
解析：
选C 由系统抽样的特点可知C正确．
2．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（ ）
A．总体B．个体是每一个零件
C．总体的一个样本D．样本容量
解析：
选C 200个零件的长度是总体的一个样本．
3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为（ ）
A．50B．60
C．70D．80
解析：
选C 由n×
＝15得n＝70.
4．某学院有A，B，C三个专业共1200名学生．现采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A专业有420名学生，B专业有380名学生，则在C专业应抽取________名学生．
解析：
由已知条件可得每一名学生被抽取的概率为P＝
＝
，则应在C专业中抽取（1200－420－380）×
＝40名学生．
答案：
40
5．将某班的60名学生编号为：
01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．
解析：
依据系统抽样方法的定义知，将这60名学生依次按编号每12人作为一组，即01～12、13～24、…、49～60，当第一组抽得的号码是04时，剩下的四个号码依次是16,28,40,52（即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码）．
答案：
16,28,40,52
解题方法归纳
三种抽样方法的异同点：
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的机会均等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
简单随机抽样
典题导入
[例1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
[自主解答] A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．
[答案] D
解题方法归纳
1．简单随机抽样需满足：
（1）抽取的个体数有限；
（2）逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取．
2．简单随机抽样常有抽签法（适用总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较多的情况）．
以题试法
1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与样本容量无关
解析：
选C 由随机抽样的特点知某个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等.
系统抽样
典题导入
[例2] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7 B．9
C．10D．15
[自主解答] 由系统抽样的特点知：
抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
[答案] C
解题方法归纳
1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
2．使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体．
以题试法
2．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．
解析：
设第1组抽取的号码为b，则第n组抽取的号码为8（n－1）＋b，∴8×（16－1）＋b＝126，∴b＝6，故第1组抽取的号码为6.
答案：
6
分层抽样
典题导入
[例3]
（1）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
（2）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取____________所学校，中学中抽取____________所学校．
[自主解答]
（1）依题意，女运动员有98－56＝42（人）．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得
＝
，解得x＝12.
（2）150×
＝150×
＝18,75×
＝9.
[答案]
（1）12
（2）18 9
本例
（2）中条件变为“某地区有小学、中学、大学若干所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校，其中从150所小学中抽取18所”试求该地区共有多少所学校．
解：
设共有n所学校，
∴150×
＝18，
∴n＝250.
解题方法归纳
进行分层抽样时应注意以下几点
（1）分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：
层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
（4）抽样比＝
＝
.
以题试法
3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则二车间生产的产品数为（ ）
A．800 B．1000
C．1200D．1500
解析：
选C 因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×
＝1200.
1．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：
①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，从中抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个．则（ ）
A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是
，③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是
，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率各不相同
解析：
选A 由于随机抽样法、系统抽样法与分层抽样法均是等可能性抽样，因此不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是
.
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数法D．分层抽样法
解析：
选D 总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样．
3．将参加夏令营的600名学生编号为：
001,002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的编号为003.这600名学生分住在3个营区，从001到300住在第1营区，从301到495住在第2营区，从496到600住在第3营区，则3个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8B．25,16,9
C．25,17,8D．24,17,9
解析：
选C 由题意知，被抽中的学生的编号构成以3为首项，12为公差的等差数列{an}，其通项an＝12n－9（1≤n≤50，n∈N*）．令1≤12n－9≤300，得1≤n≤25，故第1营区被抽中的人数为25；令301≤12n－9≤495，得26≤n≤42，故第2营区被抽中的人数为17；令496≤12n－9≤600，得43≤n≤50，故第3营区被抽中的人数为8.
4．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A．1000名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本
D．样本容量是100
解析：
选D 所调查的是运动员的年龄，故A、B、C错误，样本容量是100.
5．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是（ ）
A．30,30,30B．30,45,15
C．20,30,10D．30,50,10
解析：
选B 抽取比例是
＝
，故三校分别抽取的学生人数为3600×
＝30,5400×
＝45,1800×
＝15.
6．某学校在校学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取（ ）
A．15个B．30人
C．40人D．45人
解析：
选D 由题意，全校参加跑步的人数占总人数的
，所以高三年级参加跑步的总人数为
×2000×
＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为
×450＝45.
7．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
解析：
由分层抽样得，此样本中男生人数为560×
＝160.
答案：
160
8．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
解析：
分层抽样的特点是按照各层占总体的比相等抽取样本，设抽取的女运动员有x人，则
＝
，解得x＝6.
答案：
6
9．某市有A、B、C三所学校，共有高三文科学生1500人，且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为n的样本，进行成绩分析，若从B校学生中抽取40人，则n＝________.
解析：
设A、B、C三所学校学生人数分别为x，y，z，由题知x，y，z成等差数列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生人数为
×500＝40，得n＝120.
答案：
120
10．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解：
总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为
，分层抽样的比例是
，抽取的工程师人数为
×6＝
，技术员人数为
×12＝
，技工人数为
×18＝
，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为（n＋1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为
，因为
必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
11．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
共计
160
320
480
1040
2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对某运动会筹备情况的了解，则应怎样抽样？
解：
（1）用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取．
（2）用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取．
（3）用系统抽样，对2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，得到容量为20的样本．
12．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？
写出抽样过程．
解：
∵21∶210＝1∶10，
∴
＝2，
＝4，
＝15.
∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家．
抽样过程：
（1）计算抽样比
＝
；
（2）计算各类百货商店抽取的个数：
＝2，
＝4，
＝15；
（3）用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；
（4）将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．
1．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
解析：
选B 间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.
2．最近网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三（6）班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．
解析：
由最小的两个编号为03,09可知，抽样间距为6，因此抽取人数的比例为
，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋（10－1）×6＝57.
答案：
57
3．调查某高中1000名学生的身高情况，得下表．已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏低男生的概率为0.15.
偏低
正常
偏高
女生
100
173
y
男生
x
177
z
（1）求x的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在偏高学生中抽多少名；
（3）已知y≥193，z≥193，求偏高学生中男生不少于女生的概率．
解：
（1）由题意可知，
＝0.15，故x＝150.
（2）由题意可知，偏高学生人数为y＋z＝1000－（100＋173＋150＋177）＝400.设应在偏高学生中抽m名，
则
＝
，故m＝20.
应在偏高学生中抽20名．
（3）由
（2）知y＋z＝400，且y≥193，z≥193，满足条件的（y，z）有（193,207），（194,206），…，（207,193），共有15组．
设事件A：
“偏高学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的（y，z）有（193,207），（194,206），…，（200,200），共有8组，所以P（A）＝
.
偏高学生中男生不少于女生的概率为
.
1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、
20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．4B．5
C．6D．7
解析：
选C 四类食品的每一种被抽到的概率为
＝
，则植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为（10＋20）×
＝6.
2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n＝________.
解析：
设分别抽取B、C型号产品m1，m2件，则由分层抽样的特点可知
＝
＝
，∴m1＝24，m2＝40，
∴n＝16＋m1＋m2＝80.
答案：
80
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