浙江省衢州市2016年中考数学试卷(含答案).doc

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2016年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1．在，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（　　）

A． B．﹣1 C．﹣3 D．0

2．据统计，2015年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约319万人次，与2014年同比增长16.43%，数据319万用科学记数法表示为（　　）

A．3.19×105 B．3.19×106 C．0.319×107 D．319×106

3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是（　　）

A．a3﹣a2=a B．a2•a3=a6 C．（3a）3=9a3 D．（a2）2=a4

5．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（　　）

A．45° B．55° C．65° D．75°

6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（　　）

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

x

…

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

…

y

…

﹣3

﹣2

﹣3

﹣6

﹣11

…

则该函数图象的对称轴是（　　）

A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0

8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

　ABCD

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．当x=6时，分式的值等于　　　　　　．

12．二次根式中字母x的取值范围是　　　　　　．

13．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

时间（小时）

5

6

7

8

人数

10

15

20

5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是　　　　　　小时．

14．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　　　　　　．

15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为　　　　　　m2．

16．如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于　　　　　　．

（2）当变化的正方形ABCD与

（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是　　　　　　．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）

17．计算：

|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．

18．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？

请说明理由．

19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．

（1）求这个月晴天的天数．

（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；

（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？

（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？

21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线．

（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．

22．已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示

（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1的根（精确到0.1）．

（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

23．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？

请说明理由．

（2）性质探究：

试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．

猜想结论：

（要求用文字语言叙述）　　　　　　

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：

如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

24．如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：

y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．

（1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．

（2）当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？

若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．在，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（　　）

A． 　　　B．﹣1 　　　C．﹣3 　　　D．0

解：

∵﹣3＜﹣1＜0＜，∴最小的实数是﹣3，故选C．

2．据统计，2015年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约319万人次，与2014年同比增长16.43%，数据319万用科学记数法表示为（　　）

A．3.19×105 　B．3.19×106 　C．0.319×107 　D．319×106

解：

319万=3190000=3.19×106．故选B．

3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

解：

从上面看，圆锥看见的是：

圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．

故答案为：

C．

4．下列计算正确的是（　　）

A．a3﹣a2=a 　B．a2•a3=a6 C．（3a）3=9a3 　D．（a2）2=a4

解：

A、a3，a2不能合并，故A错误；B、a2•a3=a5，故B错误；

C、（3a）3=27a3，故C错误；D、（a2）2=a4，故D正确．

故选：

D．

5．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（　　）

A．45° 　　　B．55° 　　C．65° 　　　　D．75°

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD=135°，

∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°．故选A．

6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（　　）

A．众数 　　　B．方差　　　 C．平均数 　　D．中位数

解：

因为7名学生参加决赛的成绩肯定是7名学生中最高的，

而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名．

故选：

D．

7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

x

…

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

…

y

…

﹣3

﹣2

﹣3

﹣6

﹣11

…

则该函数图象的对称轴是（　　）

A．直线x=﹣3 　B．直线x=﹣2 　C．直线x=﹣1 　D．直线x=0

解：

∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：

B．

8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥1 　　　B．k＞1 　　C．k≥﹣1 　　D．k＞﹣1

解：

∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，

∴△=（﹣2）2+4k＞0，解得k＞﹣1．故选：

D．

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（　　）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

解：

连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，

∴sin∠E=sin30°=．故选A．

10．如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

ABCD

解：

如图，作CM⊥AB于M．∵CA=CB，AB=20，CM⊥AB，

∴AM=BM=15，CM==20

∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠CMB=90°，

∵∠B=∠B，∴△DEB∽△CMB，

∴==，∴==，

∴DE=，EB=，

∴四边形ACED的周长为y=25+（25﹣）++30﹣x=﹣x+80．

∵0＜x＜30，∴图象是D．故选D．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11．当x=6时，分式的值等于　﹣1　．

解：

当x=6时，==﹣1．故答案为：

﹣1．

12．二次根式中字母x的取值范围是　x≥3　．

解：

当x﹣3≥0时，二次根式有意义，则x≥3；故答案为：

x≥3．

13．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

时间（小时）

5

6

7

8

人数

10

15

20

5

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是　6.4　小时．

解：

=6.4．故答案为：

6.4．

14．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　4或﹣2　．

解：

根据题意画图如下：

以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），

则x=4或﹣2；故答案为：

4或﹣2．

15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为　432　m2．

解：

如图，设设总占地面积为S（m2），CD的长度为x（m），

由题意知：

AB=CD=EF=GH=x，

∴BH=48﹣4x，

∵0＜BH≤50，CD＞0，

∴0＜x＜12，

∴S=AB•BH=x（48﹣x）=﹣（x﹣24）2+576

∴x＜24时，S随x的增大而增大，

∴x=12时，S可取得最大值，最大值为S=432

16．如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于　　．

（2）当变化的正方形ABCD与

（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是　≤x≤18　．

解：

（1）如图，过点A′作AE⊥y轴于点E，过点B′⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．

∵四边形A′B′C′D′为正方形，

∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，

∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．

∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，

∴∠ED′A′=∠OC′D′．

在△A′ED′和△D′OC′中，

，

∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．

∴OD′=EA′，OC′=ED′．

同理△B′FC′≌△C′OD′．

设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，

即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．

∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上，

∴，解得：

或（舍去）．

在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，

∴C′D′==．

故答案为：

．

（2）设直线A′B′解析式为y=k1x+b1，直线C′D′解析式为y=k2+b2，

∵点A′（1，2），点B′（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），

∴有和，

解得：

和．

∴直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1．

设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．

当A点在直线C′D′上时，有2m=﹣m+1，解得：

m=，

此时点A的坐标为（，），

∴k=×=；

当点D在直线A′B′上时，有n=3，

此时点A的坐标为（3，6），

∴k=3×6=18．

综上可知：

当变化的正方形ABCD与

（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤18．

故答案为：

≤x≤18．

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）

17．计算：

|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．

解：

|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0=3+3﹣1+1=6．

18．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？

请说明理由．

解：

（1）如图所示，EF为所求直线；

（2）四边形BEDF为菱形，理由为：

证明：

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四边形BEDF为菱形．

19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．

（1）求这个月晴天的天数．

（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

解：

（1）设这个月有x天晴天，由题意得

30x+5（30﹣x）=550，解得x=16，

故这个月有16个晴天．

（2）需要y年才可以收回成本，由题意得

•（0.52+0.45）•12y≥40000，解得y≥8.6，

∵y是整数，∴至少需要9年才能收回成本．

20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；

（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？

（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？

解：

（1）总人数=15÷25%=60（人）．A类人数=60﹣24﹣15﹣9=12（人）．

∵12÷60=0.2=20%，∴m=20．

条形统计图如图；

（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率==；

（3）∵800×25%=200，200÷20=10，

∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．

21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线．

（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．

（1）证明：

∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，

∴∠AFB=∠ADC，∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，

∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：

连接OD，

∵CD⊥AB，∴PD=CD=，

∵OP=1，∴OD=2，

∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，

∴△APD∽△ABF，

∴=，

∴=，

∴BF=．

22．已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示

（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1的根（精确到0.1）．

（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

解：

（1）∵令y=0得：

x2+x=0，解得：

x1=0，x2=﹣1，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）．

作直线y=1，交抛物线与A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根．

根据图形可知方程的解为x1≈﹣1.6，x2≈0.6．

（2）∵将x=0代入y=x+得y=，将x=1代入得：

y=2，

∴直线y=x+经过点（0，），（1，2）．

直线y=x+的图象如图所示：

由函数图象可知：

当x＜﹣1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．

（3）先向上平移个单位，再向左平移个单位，平移后的顶点坐标为P（﹣1，1）．

平移后的表达式为y=（x+1）2+1，即y=x2+2x+2．

点P在y=x+的函数图象上．

理由：

∵把x=﹣1代入得y=1，

∴点P的坐标符合直线的解析式．

∴点P在直线y=x+的函数图象上．

23．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？

请说明理由．

（2）性质探究：

试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．

猜想结论：

（要求用文字语言叙述）　垂美四边形两组对边的平方和相等　

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：

如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

解：

（1）四边形ABCD是垂美四边形．

证明：

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：

垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：

AD2+BC2=AB2+CD2

证明：

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由

（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4，BE=5，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=．

24．如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：

y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．

（1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．

（2）当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？

若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵△CBD≌△C′BD，

∴