中考试题分类一次函数与反比例函数的综合应用.doc
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一、选择题
1.（2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（）
（第15题图）
【答案】B
【思路分析】因双曲线y=在第二象限，则，故；由直线y=+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，可得+2=，，即，所以，综合得，对照数轴上的解集情况选B.
【方法规律】考查了不等式解集的数轴表示，注重了图形结合，将图象的交点问题转化为方程组有无解的问题，从而做到“数形结合”是解决问题的关键．
【易错点分析】解不等式组问题，要注意不等式在数轴上表示的时候关注方向，关注实心还是空心，哪一部分为重合部分。
【关键词】不等式，反比例函数与一次函数，数形结合
【推荐指数】★★★【题型】常规题
2.（2011贵州毕节，9，3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（）
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【思路分析】①当k＞0时，一次函数经过一二三象限，反比例函数在一三象限，没有答案；②当k＜0时，一次函数经过二三四象限，反比例函数在二四象限。
故选C。
【方法规律】主要考查一次函数、反比例函数图象的位置，解决这类问题需对k进行分类讨论。
【易错点分析】对于一次函数图象的位置搞不清楚，两种函数图象放一块时，不知如何入手.
【关键词】一次函数图象，反比例函数图象，分类讨论
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题
3.（2011浙江台州，9，4分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程＝的解为（）
A．－3，1B．－3，3C．－1，1D.3，－1
【答案】A
【思路分析】把M点的坐标代入，求得m＝3，所以得y＝，再把y＝－1代入y＝求得x＝－3，故关于x的方程＝的解为x＝－3，1
【方法规律】关于x的方程＝的解即是反比例图象与一次函数图象的交点的横坐标，故只要求出N点的横坐标，本题即可写出解。
【易错点分析】在方法中，可能会出现先求k、b，再代入方程中去求解错误
【关键词】反比例函数与一次函数的综合
【推荐指数】★☆☆☆☆
【题型】常规题
4.（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.
【答案】D
【思路分析】由已知得，和即分别为和，其中故选D.
【方法规律】考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质.
【易错点分析】对二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质不能全面理解.
【关键词】函数图象与性质.【推荐指数】★★★★☆
5．（2011四川乐山，10，3分）如图（6），直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。
则
A．8B．6C．4D．
图（6）
_
P
_
F
_
E
_
N
_
M
_
B
_
A
_
O
_
x
_
y
【答案】A
【思路分析】可设点P的坐标为（a，b），由图可得BE=a，AF=b，
a·b=2ab=2×4=8
【方法规律】若设反比例上一点坐标为（a，b），则ab=k
【易错点分析】这是一道很好的运动性问题，有点同学总认为要求出AF和BE
【关键词】反比例函数
【推荐指数】★★★★☆
【题型】新题，好题
二、填空题
1.（2011四川成都，25，4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：
当时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数k=_________.
【答案】.
【思路分析】设，∵∴．由题意知：
化简得∴∴∴或，由反比例函数的性质知，∴
【方法规律】利用已知条件构造一元二次方程求解，注意公式变形的原理．
【易错点分析】大部分同学往往由方程组试图求出交点P的坐标，这样麻烦且不易解出．
【关键词】反比例函数，一次函数．
【推荐指数】★★★★☆
【题型】新题，好题，难题，易错题．
2．（2011江苏南京，15，2分）设函数与的图象的交点坐标为（a，b），则的值为__________．
【答案】
【思路分析】将点（a,b）代人函数与，得，解方程得或，将解代人得．
【方法规律】当知道函数的交点坐标的时候，就是将点的坐标代入函数关系式，组成方程组进行求解．
【易错点分析】求解方程组的时候出错.
【关键词】一次函数，反比例函数
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，新题.
三、解答题
1.（2011安徽，21，12分）如图，函数的图象与函数（）的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．
（1）求函数的表达式和B点的坐标；
（2）观察图象，比较当时，与的大小.
A
B
O
C
x
y
【解】
（1）由题意，得解得∴;
又A点在函数上，所以，解得,所以;
解方程组得，．
所以点B的坐标为（1，2）．
（2）当x=1或x=2时，y1=y2；
当1＜x＜2时，y1＞y2；
当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2．
【思路分析】直线经过两点可用待定系数法求出解析式，问题
（2）可通过相等，再结合图像研究不等.
【方法规律】处理函数有关的不等问题的常见思路是通过相等来研究不等，是数形结合思想的具体体现.
【易错点分析】本题常见错误时问题
（2）的解答，即考虑全面导致解答不全面.
【关键词】一次函数，反比例函数【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题
2.（2011四川成都，19，10分）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q（4，）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与轴、轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．
【解】
（1）由反比例函数的图象经过点（，8），可知，所以反比例函数解析式为，∵点Q是反比例函数和直线的交点，∴，∴点Q的坐标是（4，1），∴，∴直线的解析式为.
（2）如图所示：
由直线的解析式可知与轴和轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥轴，垂足为C，过点Q作QD⊥轴，垂足为D，
∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP=×OA×OB-×OA×QD-×OB×PC
=×25-×5×1-×5×1=.
【思路分析】
（1）求反比例函数解析式时，只要知道图象上任一点坐标，代入即可；再把点Q（4，）代入求得的反比例函数解析式，得Q（4，1），把Q（4，1）代入直线可求出．
（2）先求出点P的坐标，观察图象知，从而可求得△OPQ的面积；也可这样求．
【方法规律】
（1）用待定系数法求函数解析式是中考中的高频考点．一般情况下，已知一个点的坐标可列方程求函数解析中一个字母系数的值，已知两点坐标可列方程组求出解析中两个字母系数的值．
（2）求面积时常转化为容易求出的三角形（或四边形）的面积的和或差．
【易错点分析】不能把要求的三角形面积正确进行转化．
【关键词】一次函数，反比例函数，面积
【推荐指数】★★★★★
【题型】常规题，好题，易错题．
3.（2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3．M）.
（1）求双曲线的解析式．
（2）根据图象直接写出不等式＞－x+l的解集．
【解】
（1）依题意：
解得：
，∴P（－2，3）.
把P（－2，3）代入，得.
∴双曲线的解析式为：
y=
（2）－2＜x＜0或x>3.
【思路分析】
（1）要确定双曲线的解析式，关键是确定图象上点P的坐标，而点P是直线与的交点，建立方程组即可求得交点坐标；
（2）要求不等式＞－x+l的解集，表现在图象上就是确定当在何范围内取值时，双曲线的图象在直线的上方．
【方法规律】
（1）确定反比例函数的解析式，只需确定其图象上一点，则.
（2）利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时，要充分利用数形结合思想进行分析判断，要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析，还应注意反比例函数中自变量的性质.
【易错点分析】解答第
（2）问时考虑问题不全面，漏掉了一种情况或忽视了，误把答案确定为或．
【关键词】反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式
【推荐指数】★★★★☆
【题型】综合题，好题
4.（2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．
【解】
（1）设直线AB的解析式为，将A（0，），B（2，0）代入解析式中，得，解得．∴直线AB的解析式为；将D（-1，a）代入得，∴点D坐标为（-1，），将D（-1，）代入中得，∴反比例函数的解析式为．
（2）解方程组得，，∴点C坐标为（3，），
过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，
，，∴，∴，
在Rt△AOB中，=，∴，
∴∠ACO=．
（3）如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴=∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′==60°，
∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵∠OAB=90°－∠ABO=30°，
∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′=OB′=2．
答：
当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．
【思路分析】
（1）用待定系数法先求直线AB的解析式，再求的值，最后用待定系数法求反比例函数的解析式．
（2） 先解方程组求得点C的坐标，再添加辅助线：
过B′作B′E⊥OA于E，利用正切函数值求的大小，最后求的大小，从而求得∠ACO的大小．
（3）利用互余关系先求旋转角，再求∠AOB′与∠OAB的度数，最后根据等角对等边求得AB′的长．
【方法规律】本题主要考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式，题目将数形结合法与待定系数法有机地结合在一起，较好地考查了学生分析问题和综合解决问题的能力，解决本题的关键在于求函数图象交点问题转化为方程组的解的问题，特别是本题利用点的坐标量化线段长度，通过求三角函数值求角的大小，利用旋转的性质和等角对等边求线段的长度，体现了几何问题代数化的思想，强化了代数与几何的融合．
【易错点分析】不能找到解决问题的思路，不会适当添加辅助线来解决问题．
【关键词】一次函数，反比例函数，解直角三角形，等腰三角形判定，旋转性质【难度】★★★★☆ 【题型】常规题，难题，易错题，综合题
5.（2011山东临沂，24，10分）如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（－3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞的解集______________；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
【解】
（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，
∴m＝6，……………………………………………………………………………（1分）
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴n＝＝－2，……………………………………………………………………（2分）
∵点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上，
∴
∴
∴一次函数的解析式为y＝x＋1．…………………………………………………（4分）
（2）－3＜x＜0或x＞2；……………………………………………………………（7分）
（3）方法一：
设AB交x轴于点D，则D的坐标为（－1,0），
∴CD＝2，………………………………………………………………………（8分）
∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD
＝×2×2＋×2×3＝5．……………………………………………（10分）
方法二：
以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5，…………………（8分）
∴S△ABC＝×2×5＝5．………………………………………………（10分）
【思路分析】
（1）把点A（2，3）代入到y=中，m=6,即可确定反比例函数的解析式；把B（-3，n）代入所求得的反比例函数的解析式中，求出点n的值，把点A、B两点的坐标代入到y=kx＋b中，利用待定系数法就可以求出此直线的函数表达式；
（2）（如图）欲使kx+b＞只需直线在双曲线的上方，观察图形即可找出取值范围；（3）欲求△ABC的面积只需找到底和高，可以BC为底，作出BC边上的高线，进而求得三角形的面积.
【方法规律】读懂图象上每一条线段的含义是解答此题的关键。
而待定系数法是求函数解析式最常用的方法。
【关键词】一次函数，反比例函数，三角形面积，取值范围 【难度】★★★★☆ 【题型】综合题，好题
6.（2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4．过点A的一次函数与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．
（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图像，求出当时x的取值范围．
【解】
（1）设B（p，q），则，
又S△BDO==4，得，所以，所以
得A（4，2），得，所以
由得，所以
（2）或．
【思路分析】
（1）已知△BDO的面积为4，可知，在第一象限，因此k2＝8；把点A的坐标代入，得A（4，2）；由点A坐标可得；由点A、E坐标可得；
（2）由两个解析式、组成的方程组，可以求出另一个交点C的坐标（1，8），然后根据图象，找出y3的图象在y2的函数图象上方且y2的图象在y1的函数图象上方时的情况．
【方法规律】反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，该点与垂足、原点构成的三角形面积为；根据图象判断不等式的取值范围，应首先确定不等式所对应的函数，函数值大的图象在上方．
【易错点分析】不能准确观察图象，根据图象判断函数值的大小．
【关键词】反比例函数 【难度】★★★★☆ 【题型】变式题、压轴题
7．（2011重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．
（1）求该反比例函数和一次函数；
（2）求△AOC的面积．
【解】
（1）过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝，OA＝5，
∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝＝＝，
∴AD＝4，DO＝=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为（－3，4），
将A的坐标为（－3，4）代入y＝，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝－2，点B的坐标为（6，－2），∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过A、B两点，
∴，∴．
∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．
（2）在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3，
∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3，又DA=4，
∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．
【思路分析】
（1）利用坐标的意义先求出点的坐标，代入y＝求得m的值，进而求出B的坐标，最后求出一次函数解析式．
（2）先求点C的坐标，再根据面积的定义求△AOC的面积．
【方法规律】用待定系数法求函数解析式是最常见的方法之一．本题数形结合，运用待定系数法求得其函数解析式，利用坐标的意义求线段长度，从而求得三角形的面积．
【易错点分析】不会利用数学结合的方法分析，求不出点A的坐标．
【关键词】反比例函数，一次函数 【难度】★★★★☆【题型】常规题，易错题，综合题
8．（2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P′在反比例函数（）的图象上．
（1）求点P′的坐标；
（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围．
（第19题）
x
y
O
P
【答案】
（1）将P（－2，a）代入得a＝－2×（－2）＝4，∴P′（2，4）．
（2）将P′（2，4）代入得4＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为．
自变量x的取值范围x<0或x>4．
【思路分析】由直线求出P点坐标，由对称求得P’的坐标，再求得反比例函数表达式．
【方法规律】本题利用了：
1、两点关于轴对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．2、用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
【易错点分析】在求自变量x的取值范围，学生易出现漏答案的现象。
【关键词】一次函数反比例函数轴对称取值范围
【推荐指数】★★★☆☆
【题型】常规题，好题，易错题，操作题
9．（2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：
四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝（0°＜＜90°），
①试用含的代数式表示∠HAE；
②求证：
HE＝HG；
③四边形EFGH是什么四边形？
并说明理由．
（第23题图2）
（第23题图3）
（第23题图1）
【答案】
（1）四边形EFGH是正方形．
（2）①∠HAE＝90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a；
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，
∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE＝AB，DG＝CD，
在□ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，
∴∠DHA＝∠CDG＝45°，∴∠HDG＝∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE＝HG．
③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：
GH＝GF，FG＝FE，∵HE＝HG（已证），∴GH＝GF＝FG＝FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG＝∠AHE，又∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．
【思路分析】
（1）通过观察图形可以得出答案，
（2）①利用“两直线平行，同旁内角互补”，两个等腰直角三角形，即可算出∠HAE。
②通过证明△HAE≌△HDG，即可证明HE＝HG。
③通过②的方法，可证GH＝GF＝FG＝FE，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形
【方法规律】利用等腰直角三角形的特征，还有三角形全等的性质。
一般这类题目是由最基础的图形到复杂的图形的一个过程，但证明方法，可能是可以类推的。
【易错点分析】对于复杂的图形，学生不能抽丝拨茧般的理出基本图形。
【关键词】等腰直角三角形正方形平行四边形三角形全等
【推荐指数】★★☆☆☆
【题型】常规题，新题，操作题，阅读题
10．（2011浙江省嘉兴，24，14分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？
（第24题图2）
（第24题图1）
【答案】
（1）①C（1，2），Q（2，0）．
②由题意得：
P（t，0），C（t，－ｔ＋3），Q（3－t，0），
分两种情形讨论：
情形一：
当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5．
情形二：
当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OＡ＝OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3），∴t＝2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
（2）①由题意得：
C（t，－＋3），∴以C为顶点的抛物线解析式是，
由，解得x1＝t，x2＝t；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，
∵AO＝4，AB＝5，DE＝t－（ｔ－）＝．∴CD＝．
②∵CD＝，CD边上的高＝．∴S△COD＝．∴S△COD为定值；
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．
因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴，OP＝，即t＝，∴当t为秒时，h的值最大．
【思路分析】
（1）①直线AB：
，只需把代入即可求出C点，利用，就可以算出Q点坐标。
②△AQC与△AOB相似，要分两种情况来考虑，∠AQC＝∠AOB＝90°和∠ACQ＝∠AOB＝90°。
（2）①过点D作DE⊥CP于点E，用t表示C点坐标，利用两函数求交点求出D点，由△DEC∽△AOB，利用对应边即可求出CD的长度。
②由CD、CD上的高都为定值，可求出S△COD为定值，则当OC最短最短时，OC边上的高h的值最大。
即求出结果。
【方法规律】本题主要考查了动点问题，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系及分类讨论的思想是解题的关键．
【易错点分析】在求△AQC与△AOB相似时，学生易出现没有分类讨论的现象，在求最值时，可能找不到解题的关键。
【关键词】动点问题相似三角形二次函数一次
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