数学猜想及其培养途径.docx
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数学猜想及其培养途径
数学猜想及其培养途径
1前言
著名的物理学家牛顿说过：
没有大胆的猜想，就没有更大的发现.华罗庚先生写道：
“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式”.当代身负重望的美国数学家波利亚教授指出：
数学教学要“教发现，教猜想，教证明”.他认为，数学的创造过程是与任何其他知识的创造是一样的.在证明一个数学定理之前，你必须猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你必须先推测证明的思路，必须把你观测到的结果加以总结，然后加以类比.必须一次次的进行尝试.这些告诉我们，数学教科书中那些精辟的结论，深刻的定理，巧妙的证法，不是从天上掉下来的，而是数学家们运用各种各样的猜想得到的.这里说的猜想不是乱想，也不是所谓“做白日梦”式的幻想，而是在一定基础上“有目的的猜想”或“有意的猜想”.在教学中，即使猜想的结果看不出来，猜想仍然有助于培养学生的自信、勤奋、刻苦钻研、积极观察、善于总结等良好品质，但当前的教学很缺乏这种能力的培养.虽然现在的教育家、教材书力图体现数学思维的过程，但由于大部分老师的理解不到位，又通于开学等现实情况，部分教师往往影响教学质量的提高，要从根本上改变这种情况，需要进行多方面的综合治理，包括教学方法的改革，应大力提倡教师教猜想，学生学猜想.
2数学猜想的含义及基本特征
数学猜想
通常是指那些一时还不能判断其真假的数学命题.整个猜想由假设和结论两部分组成.它以正确的数学知识（公理、定理、数学公式等）为前提，在这个前提的基础上作出的猜测性的判断为结论.数学猜想具有科学性、假定性和创新性三个基本特征.
第一，科学性数学猜想并不是通常意义下的猜测，更不是盲目推测和主观臆断，而是以数学经验、数学事实为基础，以数学知识为依据，对数学对象的未知性质、数量和相互关系做出的推测和判断.形成数学猜想是综合运用个中形象思维与逻辑思维方法的结果，表现出深刻的想象力和洞察力.因此，数学猜想也称为科学的联想和想象，具有较强的科学性.
第二，假定性数学猜想虽然具有科学性，但毕竟是一种似真判断，具有推测的性质.它是否把握了真理、是否符合科学的实际，尚有待于证明和验证，这就是数学猜想的假定性.
第三，创新性创新是数学猜想的灵魂，没有创新可以说就没有数学猜想.数学猜想的创新性主要表现在提出新的见解、预见新的事实和揭示新的规律等方面.
3培养学生猜想能力的意义
在数学教学中加强对学生的数学猜想的训练，培养学生的数学猜想能力具有重要的价值．
第一，有利于培养学生的创新思维能力.作为一种理论思维方法，数学猜想在人们的思维发展中，尤其是创造性思维的发展中具有十分重要的作用.它是数学问题和数学创造的中介．在数学教学中，通过创设问题情境和采用问题解决等教学策略，引导学生运用观察、实验、归纳、类比、联想和想象等方法，建立起关于数学概念、数学命题、数学论证及解题思路的各种猜想，然后用严格的逻辑方法验证并取舍，不仅有助于学生牢固地掌握知识，而且有助于发展他们的思维能力，特别是创造性思维能力.
第二，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力.问题是数学的心脏，大量的实践证明，数学教学中许多命题的发现、解题思路的形成和解题方法的创造，都可以引导学生通过猜想得到.在数学教学中，引导学生通过联想、类比、归纳等方法，对待解问题的思路进行大胆探索、猜想，可以迅速获得最佳解题方案.因此，引导学生大胆猜想，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.
第三，有助于学生领会和掌握科学研究与发现的一般方法.教给学生科学研究与发现的一般方法是现代数学教学的重要目标之一，这就要求教师不仅仅要“授之以鱼”，而更重要的是要“授之以渔”.科学研究的一般模式是“提出问题-准备解决-作出猜想-检验证明”.事实上，在数学教学中，首先应当引导学生根据已有的知识经验，运用归纳、类比、想象等非逻辑思维方法去研究提出的问题，从而形成猜想；然后，利用分析、综合、演绎等逻辑思维方法验证所做出的猜测，进而解决问题.这就是一定意义上的科学研究与发展的过程.
4数学猜想提出的一些途径
数学猜想对于提高学生的解题能力、培养学生勇于探索的精神和创造性思维都是大有裨益的，所以我们应该鼓励学生大胆猜想，并且结合有关教学内容，“教学生学会猜想”.在数学的实习中，应如何知道学生掌握数学猜想的有关策略，作出合乎科学规律的猜想呢？
主要有综合归纳法、类比法、直觉思维法、观察实验法、逆向思维法
.
4.1综合归纳法
归纳推理是指通过对特例或事物的一部分进行观察和综合进而发现和提出一般性结论或规律的过程，是通过揭露对象的部分属性，过渡到对象整体属性的思维过程.因为归纳推理与人们认识事物的进程较为一致，故而易为理解和接受.这里的归纳主要指不完全归纳，如哥德巴赫猜想就是这样提出的.在数学解题过程中，我们可通过所探讨问题的部分对象进行研究分析，找出蕴涵在部分对象之中的共同特征，然后加以归纳，猜想该问题的一般结论或解题方法.例如欧拉就使用归纳的方法，发现了凸多面体的欧拉公式：
即凸多面体的面、顶点、棱数满足：
.
又如求前n个自然数的立方和，引导学生得出：
猜想：
这个猜想可由数学归纳法证明是正确的.
4.2类比法
所谓类比，就是某种类型的相似性.类比作为一种科学研究的方法，长期以来有了很大的发展，它的作用早就被科学家们所认识到.通过类比从中得到合理的猜想，这样的例子在数学中是屡见不鲜的，如数学家欧拉处理瑞士著名数学家贝努利提出的无穷级数问题（求所有正整数平方的倒数之和）时，就是用类比法提出推测的.在数学解题过程中，我们可由题目结构相似或类似，类比而得到题目间解题方法可能的相同或类似，依次尝试解题的思路.例如，欧拉用类比的方法求出了：
4.3直觉思维法
直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态.创造心理学表明：
猜想的来源是直觉思维，离开了直觉思维就不可能提出猜想，在科学发现活动中，逻辑思维是基本的，创造者往往是在前人的知识所铺就的大道上行走的.然而，一旦逻辑通道阻塞了，产生了已有知识难以解释的矛盾，就需要借助于直觉思维进行识别和猜想.例如，罗巴切夫斯基创立的非欧几何及哈密尔顿创立的四元数等都是逻辑通道阻塞后，依靠直觉思维来突破难点的.人们在面临一个难题或者解决一个问题时，往往先对结果或解题途径作一种大致的估量与猜测，而不是先动手计算或论证，这是一种直觉思维的方法，它往往能表现出丰富的想象力和深邃的洞察力.
例如5个正整数，它们的和等于它们的积，求这5个正整数.
分析对于这样的问题，如果盲目猜想就会多走弯路.但是通常按运算经验，5个正整数的积一般总大于它们的和，要使两者相等，就必须缩小积的值，即多用几个较小的数，如1、2、3等.这就是最简单的直觉思维，它来自于经验.而这个想法在脑际迅速浮现与结合就造成了解题思维中的直觉引路的作用.事实上,
符合所求，且
及
亦符合要求.进一步分析以后，还可知道，在上述三式中，将任何一个因数增加1后，5个数的积必大于其和，因此，本题仅有三组解.
4.4观察实验法
欧拉曾经说过：
“数学这门科学，需要观察，也需要实验”.当今教育界流传这样一句话：
“教一个活动的最好方法是演示，学一个活动的最好方法是做”.这都说明了观察与实验在数学研究中的重要性，特别是它们在数学发现和认识过程中，其作用是不容忽视的.数学发现的一个重要手段就是观察与实验，为了探索问题的结论，我们常常可以根据问题的条件进行实验，通过量一量，比一比，试一试等实验活动，从中发现其变化规律，提出合理的猜想.例如，三角形内角和定理就可以通过实验直接观察而得.其中实验的过程，有时就是提出猜想和结论的过程.当然要确信猜想的真实性，还需进一步作出理论上的证明.
例如（斯坦纳问题）平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线将平面分成几部分？
这里提出了问题，结论是未知的，设n条直线将平面分为a部分.对任意的n，我们难以立即给出问题的答案，先考察几个实例看看有什么规律，如下图所示：
把上面的结果列成下表：
1
2
3
4
5
an
2
4
7
11
16
与n之间的关系似乎不太明显.进一步观察，注意
有：
1
2
3
4
5
an
2
4
7
11
16
an-an-1
1
2
3
4
5
我们得到如下规律：
.虽然上面的结果纯粹是建立在观察与实验的基础之上的，是否带有普遍意义，即对一切
结论是否成立？
还需要进行严格的论证，但是这个问题已经很简单了.由于
，
，
，
，将前面各式相加，得
又已知，
所以有：
．
所以问题得到了解决.
4.5逆向思维法
逆向思维是指背离原来的认识并在直接对立的意义上去探索新的发展的可能性．数学史上无理数、虚数的引进在当时均是极大胆的猜想，曾经遭到激烈的批评和反对.非欧几何公理的提出是逆向思维的大胆猜测.
例如设
问是否存在等差数列
，使对一切自然数n，有以下等式成立?
即
分析这个问题可通过逆用公式的逆向思维来猜想解题途径.
由组合数公式
联想，对
进行改造，易得
先设
对其求一阶导数，得
再令
，又可得
于是
通过观察不难看出
，从而证明了这样的等差数列是存在的.
5在数学教学中培养学生的数学猜想能力
对学生而言，猜想到的结果一般前人都已证明，但对学生来说，都是全新的，其过程都能很好地对学生进行创造能力的培养和创新思维的拓展．因此，我们在平时的数学教学活动中，积极的引导学生猜想，加强这方面能力的培养，平时潜移默化，最终学生的创新思维得到了训练，学生的创造能力也会得到提高.
5.1激发学生数学猜想的策略
5.1.1凭借直觉观察激发数学猜想
人的直觉是借助智慧迅速领悟认识对象的能力，而直觉思维是一种没有完整的分析过程，依靠灵感或顿悟，快速作出判断的思维活动.但在课堂中，由于数学学科自身所具有较强的系统性、严密性和逻辑性，因此，教师在数学教学中，往往会偏重于对学生的逻辑思维能力的培养，不允许学生在学习过程中有大胆的猜测，忽视了对学生的直觉思维的培养，科学上有许多发现都是先凭借直觉作出猜想，而后去加以证明验证，如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想、欧拉猜想等.所以我们在实际教学过程中，应该鼓励学生大胆猜想，即通过对所研究的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等方面的细心观察和分析，由直觉思维提出合理的猜想.如“翻牌游戏中的数学道理”
：
桌面上有9张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意2张（包括已翻过的牌），使它们由一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，观察能否使所有的牌都反面向上？
通过实验观察，发现这是不可能的，并通过乘法符号法则加以说明.进而提出：
如果桌上有任意奇数张牌，猜想结果会怎样？
这样给学生得到一个从特殊到一般的思维提升的过程.
5.1.2借助数学实验启发猜想
实验是按照科学研究的目的、根据研究对象的自然和自身发展规律，人为地设置条件来引起或控制实验事物现象的发生或发展过程，并通过感官来认识对象和规律的方法.从整个科学技术发展史来看，没有哪个科学、哪个部门，不采用实验的研究方法.从培根设计的定性实验到伽利略从事的定量实验都采用了这种方法.没有实验就没有现代科学技术，更谈不上科学技术的发展，学习数学也是同样的道理.数学发现的一个重要的手段就是发现实验，为了得出问题的结论，我们往往可以先根据问题的条件进行实验，通过量一量，比一比，试一试，从中发现规律，提出猜想.例如，在平面几何入门教学中，可由实验直观帮助学生猜测、发现几何性质并提示出它们的证明途径.在教学“三角形内角和定理”时，我们就可以让学生用量角器量出画在纸上的三角形的三个角，并把测量的结果加起来，有些学生测出的三角形内角和小于180度，而另外一些学生测得的又大于180度，不过，大家的结果都接近，学生猜想这个结果是由测定的误差造成的.
5.1.3模仿科学发现的途径唤发猜想
知识和智慧是相伴的，在教知识的同时应当给人以智慧，让学生感受知识的形成发展的过程.知识不仅是人类世界的结论，还是人类认识世界的智慧的结晶，任何把智慧排斥在外的知识传授都是盲目的、片面的，不可能把人教聪明.最有魅力的教学就是学生自己发现问题从而提出猜想，学生的思维与知识产生共鸣，在这瞬间的结合中产生成功的喜悦感.
5.1.4结合归纳引发猜想
通过对所探讨问题的部分对象进行研究，归纳出蕴涵在部分对象中的共同特征或反映这种规律的一般结论，最后在归纳的基础上提出合理的猜想.如由
、
、
得出“
的正整数
次幂是
的后面有
个零”的结论；从函数
和
的图像关于直线
对称，函数
和
的图像关于直线
对称，得出“函数
的图像和它的反函数
的图像关于直线
对称”的结论.在教学中，我们要根据教材的这些特点，有意识地启发学生运用归纳的方法猜想出一般的结论.
5.1.5运用类比促发猜想
类比是数学发现的又一重要的方法，其是由数学对象
联想到与它类似的某个数学对象
，根据数学对象
具有某种性质的事实，判断数学对象
也具有某种类似的性质，这种思维方法称为类比.通过类比从中提出合理的猜想.如用小学所学除法法则猜测有理数的除法法则；由等腰三角形定义猜测等腰梯形的定义；由等腰三角形两底角相等猜测等腰梯形“两角”相等；由等腰三角形的轴对称性猜测到等腰梯形的轴对称性等.
5.1.6根据生活实践经验诱发猜想
数学中的许多问题与现实生活中的很多现象有相似之处，由于受到生活中的有关的客观事物、模型或方法的启示，可依据它们与数学对象或问题之间的相似性，通过合理猜想，构造有关的数学模型，使问题获得解决.如在现实生活中找某人，应找某人的特点，而不能找人的共性.模仿此例，在平行四边形的判定时，可以猜想平行四边形具有的而一般四边形不具有的性质就是其判定.
另外，要培养学生的猜想能力，还得注意培养学生的问题意识，因为只有能发现问题、提出问题，才能有目的的去猜想、去验证.
5.2培养学生猜想能力的教学设计
在数学教学过程中，精心设计问题系列，引导学生在一个简化的理想形式下亲身经历探索与发现过程，激发他们参与创造性思维的热情，使他们品尝到自己发明创造时的乐趣，逐渐形成乐于探索勇于实践的个性品质.以下提供了一种培养学生数学猜想的教学设计图：
图1培养学生数学猜想的教学设计图
5.3培养学生数学猜想能力的教学实例
下面我们以欧拉定理为例说明该教学设计的过程：
（1）提出问题
一个多面体有许多个面、顶点和棱，那么面数、顶点数和棱数是否存在某种关系？
（2）试验观察
给出几种特殊的多面体模型或图形（图形略），让学生对这些模型或图形进行试验观察，可得到如表1所列的结果.
表1试验观察结果
多面体
面（F）
顶点（V）
棱（E）
三棱柱
5
6
9
立方体
6
8
12
五棱柱
7
10
15
三棱锥
4
4
6
方棱锥
5
5
8
5棱锥
6
6
10
8面体
8
6
12
20面体
20
12
30
（3）形成猜想
归纳附表1的数字规律，不难得出猜想1：
任何多面体的面、顶点和棱的数目，满足关系式F+V=E+2.
（4）有无反例
引导学生构造“轮胎状”的框架型多面体（可想象取一根很长的三角形的杆，把它分割成四段，对准这些段的末端，把它们装配成一个框架型多面体），该多面体的水平棱数有4
3=12，所以总数是E=12+12=24.再计算面和顶点，得F=4
3=12，V=4
3=12，F+V=24.而E+2=26.因此F+V
E+2.这个轮胎状的框架型多面体例子否定了刚刚的猜想1.
（5）修改猜想
当猜想找到反例时，我们可以考虑通过一些限制条件，把猜想更新为另一种形式.不难发现附表1中的多面体都是“球状”的凸多面体，而否定猜想1的却是非凸面体—“胎状”的框架型多面体，由此可修改猜想1得到猜想2：
任何凸多面体的面、顶点和棱的数目，满足关系式F+V=E+2.
（6）证明
上述猜想是由一些特殊事例，通过归纳推理得到的.猜想是否正确还需进一步的证明.事实上猜想2是正确的，它即为著名的欧拉定理.其证明方法很多，这里不再给出猜想2的证明过程.
（7）结论
欧拉定理：
任何凸多面体的面、顶点和棱的数目，满足关系式F+V=E+2.
6结论
第一，数学猜想具有一定的科学性，又有某种假定性，是科学性与假定性的辩证统一，它不仅需要扎实的数学知识，丰富的教学经验，良好的数学修养和熟练的教学技能，而且还要掌握行之有效的科学方法.
第二，在教学中要注意不能只引导学生进行终极目标的猜想，也要让学生认识一些容易猜错的问题，锻炼良好的思维品质，培养思维的严谨性，并在活动中积极与同学们进行合作与交流，增长见识，增强猜想能力.
第三，教师如能适当地将猜想贯穿在数学解题教学中，无疑会激发学生学习数学的兴趣，产生探索问题的强烈欲望，达到领会数学思想方法，提高发现问题和解决问题的能力的目的，其意义和作用都是不可低估的.
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