实数大小比较的常用方法Word文档格式.doc
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∵＜＜2，∴＜＜。
例（常德市）设a＝20，b＝（－3）2，c＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解 因为a＝20＝1，b＝（－3）2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；
以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。
对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。
能快速地取得令人满意的结果。
比较实数大小的八种方法
张德军
生活中，我们经常会遇到下面的问题：
比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。
一、法则法
比较实数大小的法则是：
正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。
例1比较与的大小。
析解：
由于，且，所以。
说明：
利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。
二、平方法
用平方法比较实数大小的依据是：
对任意正实数a、b有：
。
例2比较与的大小。
由于，而，所以。
本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。
三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小的理论依据是：
在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。
如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：
四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是：
对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。
例4比较与的大小。
由于，故，所以
五、倒数法
用倒数法比较实数的大小的依据是：
例5比较与的大小
因为，
又因为，
所以
对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。
六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是：
对任意实数a、b有：
例6比较与的大小。
设，
则
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：
对任意正数a、b有：
例7比较与的大小。
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：
把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
例8比较与198的大小。
由于
取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得：
两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。
编辑本段1.数轴比较法
数轴的基本性质：
实数与数轴上的点一一对应。
利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。
设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。
如图，点A表示数a，点B表示数b。
因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>
b.
数轴
编辑本段2.作差比较法
若a-b>
0，则a>
b；
若a-b=0，则a=b；
若a-b<
0，则a<
b。
编辑本段3.作商比较法
设b>
0，有
若a/b>
1，则a>
若a/b=1，则a=b；
若a/b<
1，则a<
当b<
0，a<
0时：
若a/b>
1,则a<
若a/b<
b
编辑本段4.倒数比较法
若a>
b>
0，则1/a<
1/b；
若a<
b<
0，则1/a>
0<
b，则1/a<
1/b。
比较实数大小的技巧
周启东
任意两个实数之间，都存在着“顺序”关系，所以可以比较它们的大小。
实数的大小比较是实数内容中常见的题型之一。
要想解题时得心应手，就应掌握比较大小的若干技巧。
实数的大小比较，一般采用以下几种方法。
一、比较被开方数法
一般地，当a>
0，b>
0时，如果a>
b，那么。
也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。
反之也成立。
例1、比较大小：
（1）；
（2）。
解析：
若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
（1）因为，且，所以，因此，。
（2）因为，且，所以，所以。
因此，。
二、添加根号法
若a>
0，则。
在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。
例2、比较的大小。
因为，又因为，于是，即。
三、乘方法（平方法或立方法）
如果a>
0，若，那么a>
若，那么a>
例3、比较大小：
（1）因为，而12<
18，所以。
（2）因为，而
，所以。
四、取近似值法（估算法）
在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。
不过取近似值时，要使它们的精确度相同。
再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。
如果没有计算器，则可用估算法。
先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例4、比较大小：
（1）因为所以。
又因为，所以。
（2）因为，所以，所以。
五、作差法
作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。
当时，得到a>
当时，得到a<
当时，得到a=b。
例5、比较的大小。
因为，所以。
六、作商法
作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。
当时，a<
当时，a>
当时，a=b。
例6、比较的大小。
七、放缩法（中间值法）
如果a<
c，c<
b，那么a<
若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。
例7、比较的大小。
所以，即。
八、不等式性质法
例8、比较大小：
因为，所以，因此。
九、特殊值法
在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。
例9、已知x<
y<
0，设，则M、N、P、Q的大小关系是（）。
A、M<
Q<
P<
NB、M<
NC、Q<
N<
MD、N<
M
根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。
不难得到：
M。
因此，应选D。
十、数轴比较法
数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。
例10、已知a、b是实数，且。
试比较a，b，－a，－b的大小关系。
因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。
又因为a与与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。
所以的大小关系是。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
两个正数，绝对值大的数较大；
两个负数，绝对值大的数反而较小。
例11、已知a、b是实数，且a<
b，c≠0，试比较的大小。
因为a<
0,b>
0，则ab<
0。
又c≠0，则，所以，为负数。
而b>
0，，所以，为正数。
所以。
十二、根式定义法
该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。
例12、比较的大小。
根据平方根的定义可知。
所以，故。
而。
十三、倒数法
倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数、，再根据当时，a<
b，来比较a与b的大小。
例13、设，则a、b、c的大小关系是（）。
A、a>
cB、a>
c>
bC、c>
aD、b>
a
当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。
首先，，
，
因为，所以，则b>
c。
又因为，所以，则a>
由此可得：
a>
故选A。
十四、分子有理化法
例14、比较的大小。
因为，故，所以。
总之，具体使用什么方法来进行比较，应当根据题目所给的实数的类型或形式灵活选用。
实数大小的比较方法
安徽省长丰县钱集中学杨明星
在实数范围内比较两个数的大小，看起来比较简单。
但也有一些题目会让大家比较棘手。
我在多年的教育教学中发现，比较两个实数的大小可用一些特殊的方法做起来比较容易。
下面介绍几种比较两个实数大小的方法，供大家参考。
一、求差法
例1：
分析：
由于本题的分母相同，所以只要比较1与-2的大小。
解∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。
（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
若a、b为实数，a-b﹥0则a﹥b；
a-b=0则a=b；
a-b﹤0则a﹤b。
以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2：
有两个数A=、B=比较A、B的大小。
本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。
通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。
分子含有公因数：
111，分母含有公因数：
1111。
因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
解∵A÷
B=÷
=×
=＜1，
∴＜1，
∴A＜B。
（有实数a、b且b≠0,当＞1时，a＞b.＝1时，a=b.＜1时，a＜b.）以后我们做题遇到两数相除时可以和1比较出大小，或约分后可以和1比较出大小时，可用这样的方法。
三、倒数法
对于二次根式，我们可以很容易看出+＞+。
因此只要把二次根式的差转化为和就可以了。
解∵＝
＝。
＝
又∵＞，
∴＞，
∴－＜－。
两个同分子分数比较大小，分母大的分数的值反而小。
我们以后在解题时遇到求两个二次根式差的此类问题时可用倒数的方法。
四、平方法
本题我们通过观察可以发现题目中的被开方数存在这样的规律：
2+6=8，3+5=8.所以想到用平方来解决问题。
解∵=2++6=8+。
=3++5=8+。
＜，
∴＜，
∴＜。
以后当我们遇到能通过平方使问题化繁为简时，我们就采用上述方法。
五、“相同”法
本题的两个数都是幂的形式，只要把它们化为同底数的幂或同指数的幂就可以比较出大小了。
解∵==，
==。
做题时若遇到比较两个幂的形式的数的大小时，就把它们化为同底数的幂或同指数的幂形式。
六、中间值法
例6、比较与的大小。
本题出现一个平方根，一个立方根，初看并不容易解决。
进一步观察可以发现它们都和3存在一定的联系。
因为3=和3=。
解∵＜,与
又∵=3=
∴＜
当我们遇到两个数无法直接比较时，寻找一个与他们都有联系的数，利用传递性来解决问题。
七、规律法
当n＜3时＜；
当n≥3时＞（n为正整数）。
解∵2009＞3
∴＞。
八、拆项法
例8：
若A=－，B=－比较A、B的大小。
本题如果显然不是很好的方法，也不易比较。
但是我们通过观察可以发现这4个分数都与1比较接近，因此可以把每个分数拆成两个数的差。
解∵A=－=-
=1－－1＋
=－
=。
B=－=-
∵2009×
2010＞2008×
2009。
∴＜
∴A＜B。
从以上几例可以看出，实数的大小比较应根据题目的类型特点灵活运用。
希望大家能够从以上例题的学习中有所收获。
更希望大家在解题时能注意知识的积累。
实数比较大小的基本方法与技巧
发布者：
高元就发布时间：
2011-7-1811:
30:
06
在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。
怎样比较实数与实数之间的大小呢?
比较两个实数的大小通常有以下几种方法：
求差法——设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<
0时，a<
当a-b=0时，a=b；
当a-b>
0时，a>
b.”来比较a与b的大小.
例1.比较大小：
（1）与；
（2）1-与1-
（1）∵－=<
0,∴<
.
（2）∵（1-）-（1-）=->
0,∴1->
1-
二、求商法
求商法——设a，b为任意正两个实数，先求出a与b的商，再根据“当<
1时，a<
当=1时，a=b；
当>
1时，a>
例2．比较大小：
（1）∵÷
=-1<
1，∴<
.
三、倒数法
倒数法——设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当<
时，a>
时，a<
例3．比较与的大小.
∵=,=,
又∵<
∴<
∴>
估算法——设a，b为任意两个正实数，先估算出a,b两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较.
例4．比较大小：
（1）与；
（2）+3与4
（1）∵3<
<
4,∴-3<
1,∴<
（2）∵-4<
-5,∴-1<
+3<
-2；
又∵-6<
-7,∴-2<
4<
-3.∴+3>
4.
五、平方法
平方法——比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a＞0，b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。
例5.比较与的大小.
∵（）2=45，（）2=75,又∵45<
75,∴<
六、移动因式法
移动因式法——当a>
0,b>
0时，若要比较形如与的两数的大小，可先把根号外的正因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
例6.比较与的大小.
∵==，==,又∵45<
75,∴<
七、近似值法
在比较含有无理数的两个数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，不过取它们的近似值时，要保持精确度相同，再通过比较有理数的大小，即比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。
例7.比较大小：
（1）л与；
（2）л与；
（3）与-4.
（1）∵л≈3.142，∵≈3.162，∴л<
.
（2）∵л≈3.1416，∵≈3.1629，∴л<
.
（3）∵≈-0.4714，-4≈-0.6834，∵-0.4714>
-0.6834,∴>
-4.
两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。
口诀法比较有理数大小
有理数大小的比较是我们中学阶段必须掌握的知识点，方法比较多，七年级阶段主要有以下几种：
数轴显示法、数性比较法、逐差法、同负绝对值法、倒数法、逐商法、凑整余数法、同母（子）法、赋值法、中间值法等。
可简记为：
比较数大小，数轴显真招；
正数比0大，负数比0小；
也可互相减，与0来比高；
同负绝对值，值大数反小；
同号放倒他，扶正反过来好；
姓同来相除，与1来比较；
分数接近整，凑余比较它；
分母或子像，比较另一样；
代几特殊值，初步能确定；
还是判不了，就把中人找。
现针对上述几种方法各举一例，供同学们参考。
1、数轴显示法（比较数大小，数轴显真招）
如图，把0，a,b,-a,-b按顺序由小到大排列
互为相反数（非0）的两点在原点异侧到原点的距离相等。
在数轴上画出表示-a,-b的点，在数轴上从左到右，数由小到大。
答：
-b﹤a﹤0﹤-a﹤b
2、数性比较法（正数比0大，负数比0小）
比较-（+）和|−|的大小
-（+）=-﹤0|−|=﹥0则-（+）﹤|−|
3、逐差法（也可互相减，与0来比高）
例3、比较14/27与5/9的大小
14/27-5/9=−1/27﹤0所以14/27﹤5/9
注意：
不管是正数还是负数，大数减去小数始终为正；
小数减去大数始终为负。
4、同负绝对值法（同负绝对值，值大数反小）
例4、比较-14/27与-5/9的大小
（1）求绝对值｜-14/27｜=14/27，｜-5/9｜=5/9=15/27
（2）比较绝对值14/27﹤15/27
（3）比较原来两负数-14/27﹥-5/9（注意不等号的方向）
5、倒数法（同号放倒他，扶正反过来好）
例5、已知a﹥1,b﹥2,试比较与的大小
=+=2+因为a﹥1，所以2+﹤3
=+=3+因为b﹥2，所以3+﹥3
因为﹤所以﹥
6、逐商法（姓同来相除，与1来比较）
（1）若同正，两数的商大于1，则分子大于分母；
商小于1，则分母大于分子。
比较与的大小
÷
=﹤1
所以﹤
（2）若同负，两数的商大于1，则分子小于分母；
商小于1，则分母小于分子。
例7、比较−与−的大小
−÷
（−）=−×
（-）=﹤1
因为−、−均为负数，所以−﹥−
7、凑整余数法（分数接近整，凑余比较它）
例8、比较−与−的大小
解;
−=−1+−=−1+
因为﹥所以−﹥−
8、同母（子）法（分母或子像，比较另一样）
9、赋值法（代几特殊值，初步能确定）比较的式子中含有字母，条件给出的是字母范围，且是选择题或填空题，我们可以在给定的范围内取几个特殊值代入即可初步能确定。
例9、已知a﹥1,b﹥2,则______（填﹥、﹤或=）
为填空题，可用赋值法。
取a=2，b=3代入，﹥所以填入“﹥〉”。
10、中间值法（还是判不了，就把中人找）
例10、比较−3.55和−的大小
解:
−3.55﹤−3.5−﹥−即−﹥−3.5
所以−3.55﹤−3.5﹤−即−3.55﹤−
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