选列主元的高斯消去法实验报告2文档格式.docx
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对于非奇异矩阵A，求解线性方程组Ax=b可以使用gauss消去法进行。
但是，gauss消去法要求系数矩阵A的顺序主子式非奇异。
为此做出改进：
每次消元之前，首先选出第i列（i<
=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数
不仅不被系数矩阵A的顺序主子式非奇异的限制，还这样就能有效的防止误差的传播与放大。
算法：
（1）对增广矩阵[ab]进行第i次消元，首先选取列主元a（i,k）=Max|a（I,i:
n）,交换第i行与第k行；
（2）以列主元进行消元，计算公式为
a（k,i）=a（k,i）/a（i,i）;
（k=i+1:
n）
a（k,j）=a（k,j）-a（k,i）*a（i,j）;
（j=i:
（3）回代法计算结果，计算公式为：
x（n）=b（n）/a（n,n）;
x（p）=[b（p）-∑a（p,j）x（j）]/a（p,p）（j=p+1:
注：
gauss（a,b）为选取列主元gauss消去法，gauss2（a,b）为gauss消去法。
三，实验MATLAB程序代码
实验的MATLAB程序代码如下
四，实验结果与分析
1，两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果分析
实验结果（如图一）对于顺序主子式奇异的系数矩阵，使用gauss消去法（gauss2（a,b））不能解出，而使用选列主元的gauss消去法（gauss（a,b））能够解出。
主要是选列主元的gauss消去法每次都选出最大的列主元，从而保证了每次用作除数的a（I,i）≠0.
图一：
两种算法对系数矩阵的顺序主子式奇异线性方程的效果
2，两种算法对舍入误差的放大效应分析
用随机生成函数random（'
Normal'
1,7,10,10）生成10*10矩阵，分别gauss消去法和选列主元的高斯消去法解出，并用公式erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|估计其误差，结果如下图。
图二：
两种算法对舍入误差的放大效应分析
可以看到，对同一个方程组，选列主元的高斯消去法得到的结果中范数norm（r=a*ans'
-b,inf）=6.6613e-016<
高斯消去法得到的结果中范数norm（r=a*ans'
-b,inf）=7.6605e-015,两者相差一个数量级，由公式erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|可知，对应的误差也就相差一个数量级。
选列主元的高斯消去法因为每次消元之前，首先选出第i列（i<
=k）中最大的作为列主元，这样，就能保证消元乘数小于1，因此选列主元的高斯消去法能有效的防止误差的传播与放大。
3，对于恶性矩阵：
希尔伯特矩阵，选列主元的高斯消去法的表现:
由以下代码生成希尔伯特矩阵：
fori=1:
n
forj=1:
a（i,j）=1/（i+j-1）;
end
end
取方程组Hx=ones（n,1）；
当n=5,结果为：
norm（a*ans'
-b,inf）=8.7311e-011；
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=（4.7661e+005*1.4211e-014）/2.2361=3.0290*-09；
可见误差比较小；
结果还可以接受。
当n=10,结果为：
-b,inf）=8.7311e-011；
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=（1.6025e+013*8.7311e-011）/3.1623=4.4720*+02；
此时，误差已经大到无法接受。
对于这样的情况，需要用以下方法改进：
（1）算出残余矩阵r=b-a*x;
（2）解出a*y=r;
（3）X’=x+y;
但是这种改进只对病态不是很严重的矩阵有帮助，对病态严重的矩阵，比如对于H10,我们有：
改进后，解得：
x=（x+y）=1.0e+006*[-0.00000.0010-0.02380.2402-1.26113.7834-6.72607.0006-3.93790.9237],
对应误差为
erx=||x-x*|||x|≤conda*|r||b|=（1.6025e+013*8.0036e-011）/3.1623=4.0558*+02,
可见改进并无很好效果。
五，实验心得
（1）通过具体的实验，我真正明白了gauss消去法的原理，而且明白了选列主元的gauss消去法对于减小系数矩阵的要求和减少舍入误差的传播方面的优点。
（2）由于MATLAB我是才开始接触，因此在编程的时候碰到了许多问题，花了不少时间，但是也让我对MATLAB的使用有了进一步的了解。
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