7趣味算式.docx
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7趣味算式
第七讲趣味算式
（一）
思考1：
两个三位数相减的差是894，这两个三位数每个数字的乘积是（）。
思考2：
12个1分站在等号的两边成为：
111111=111111，忽然跑来一个“人”，带着两个乘号“×”，挤进了等号的右边。
“1”们说：
“喂，别捣乱！
”他却说：
“没关系，我不影响你们。
”于是他把“×”插在几个1字的中间，自己也占了一个位置。
果然，两边仍相等：
111111=111×11×□1，请问这个多余的第三者□究竟是谁？
趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。
这类问题的题目类型多样，解题方法灵活，有利于提高逻辑思维能力和推理能力，也有利于提高计算能力。
解题时主要运用有关整数运算方面的知识，所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。
解答趣味算式题，首先要熟悉以下的一些基本知识
1．和、差、积、商的位数
（1）两个n位数的和，最多是n＋1位数，最少是n位数（n是自然数）。
如999＋999＝1998，100＋100＝200。
一个m位数与一个n位数的和（m＞n，m、n是自然数），最多是m＋1位数，最少是m位数，如999＋99＝1098，1000＋100＝1100。
（2）两个n位数的差（n是自然数），最多是n位数，如99－10＝89。
一个m位数与一个n位数的差（m＞n，m、n是自然数），最多是m位数，最少是一位数，如999－10＝989，1000－999＝1。
（3）两个n位数的积，最多是2n位数（n是自然数），最少数2n－l位数，如99×99＝9801，10×10＝100。
一个m位数与一个n位数的积，最多是m＋n位数，最少是m＋n－1位数（m、n是自然数），如999×99＝98901，100×10＝1000。
（4）两个n位数的商，当商是自然数时，它是一位数（n是自然数）。
一个m位数除以一个n位数，当商是自然数时，它最多是m＝n＋1位数，最少是m－n位数（m＞n，m、n是自然数），如9999÷11＝909，1001÷91＝11。
2．乘数与积的个位数字
如果已知两个数相乘积的个位数字，那么两个乘数的个位数字的可能情况见下表：
如果n个数的个位数字都相同，那么它们的积的个位数字的可能情况见下表：
3．奇偶性
我们知道2，4，6，8，10，12，…这些数是偶数，1，3，5，7，9，11，…这些数是奇数，奇、偶数在运算中有以下一些基本性质：
（1）n个偶数的和、差、积还是偶数，如8＋16＝24，38－20＝18，16×4＝64。
（2）两个奇数的和与差都是偶数，如7＋9＝16，13－7＝6。
（3）两个奇数的积还是奇数，如7×5＝35。
（4）一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数，如3＋4＝7，12－7＝5。
（5）一个奇数与一个偶数的积是偶数，如14×3＝42。
下面分类介绍趣味算式问题，先讲“添运算符号”问题。
按题目给定的条件和要求，添运算符号或括号，是数字趣题中较简单的一类问题。
解这类问题，没有一定的法则，需进行试添，试添可以从前往后顺推，也可以从后往前倒推，使问题逐步由繁到简，最终得到解决。
例1王老师批改作业时发现，李强同学的一个计算题的结果正确，但丢掉了括号，于是出现了如下错误等式：
9×8＋12÷6－2＝45
请你替李强同学添上括号，使等式成立。
分析与解：
因为没有括号的算式，要求先乘除后加减，所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑，比如对6－2添括号，计算得4，又因为6前面是除号，所以6前面的算式如果能得180，就可以求得本题的一个解，而9×（8＋12）正好等于180，于是得到本题的一个解：
9×（8＋12）÷（6－2）＝45
又因为（8＋12）÷（6－2）＝5，于是又得本题的一个解：
9×[（8＋12）÷（6－2）]＝45
例2在下面等式中的□内填上适当的运算符号，也可以添上适当的括号，使等式成立。
9□8□7□6□5□4□3□2□1＝60
分析与解：
因为题目给出的数字较多，所以要分段试填运算符号。
如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段，如果5□4□3□2□1中的□都填加号，则得15，那么9□8□7□6□中的□填运算符号后，只要它与15进行运算后得60，就能得到题目的一个解。
因为9＋8－7－6＝4，所以本题的一个解是
（9＋8－7－6）×（5＋4＋3＋2＋l）＝60
又如对前五个数进行试填，因为（9－8＋7－6）×5＝10，而后四个数4＋3－2＋1＝6，这样又可以得到题目的一个解：
（9－8＋7－6）×5×（4＋3－2＋1）＝60
本题还有其他解，请同学们自己找找。
例3在下列数字间，添上运算符号和括号，使等式成立。
4444＝1① 4444＝2② 4444＝3③
4444＝4④ 4444＝5⑤
（天津市“我爱数学”竞赛试题）
分析与解：
可以从后往前进行倒推，如①中的最后一个4前面先添一个“－”号或“÷”号，即
444－4＝1
于是问题转化为对444＝5进行试添运算符号，显然4÷4＋4＝5，于是得到①的一个解：
4÷4＋4－4＝1
若在最后一个4前添“÷”号，即
444÷4＝1
问题又转化为对444＝4进行试添运算符号，显然4＋4－4＝4，于是又得到①的一个解：
（4＋4－4）÷4＝1
如果把四个4分成前后各两个数来考虑，则又可得下面的解：
（4＋4）÷（4＋4）＝1
（4×4）÷（4×4）＝1
（4÷4）÷（4÷4）＝1
②、③、④、⑤也有多种添法，请同学们自己动手试填。
例4把＋、－、×、÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立。
（5○13○7）○（17○9）＝12
分析与解：
按运算顺序，等式中两个括号内的数要先进行计算，最后进行两个括号之间的运算。
所以解本题，应先确定两个括号之间的符号。
在试填过程中发现，如果括号之间填“＋”号，其它三个○内填“－”、“×”、“÷”，则不论怎么填都不能使等式成立；如果在两个括号之间用“－”或“×”，也不能使等式成立。
当两个括号之间用“÷”时，因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的12倍，所以后面括号内的○应填“－”号，即17－9＝8；因为5＋13×7＝96，于是本题的解是
（5＋13×7）÷（17－9）＝12
例5在下面的十五个3之间添上＋、－、×、÷号，使下面的算式成立。
333333333333333＝1993
分析与解：
因为本题数字多，也不限制必须每两个数字间都要添运算符号，所以可将给的数字，先凑出一个接近1993的数，如3333÷3＋333×3＝2110就是一个接近1993的数，而且已经用了九个3，剩下六个3，因为2110－1993＝117，所以只要用剩的六个3凑出一个117的数就可以了。
因为33×3＝99，（3＋3）×3＝18，99＋18＝117，所以得到本题的一个解
3333÷3＋333×3－33×3－（3＋3）×3＝1993
本题也可以用另外的方法凑出接近1993的数，如333×3＋333×3＝1998，因为1998－1993＝5，所以只要用剩下的七个3凑出一个5即可，实际上3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝5，所以又得到本题的一个解
333×3＋333×3＋3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝1993
例6在算式1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝303的合适位置添上括号（），使等式成立。
分析与解：
这种题目只能用试验方法，找到题目的解。
因为添括号是为了改变运算顺序，所以要把先乘后加，用括号改为先加后乘，另外要考虑括号内应包含哪些数，也就是括号应添在哪个位置。
下面进行试算。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7＋8）×9＝303处，显然不行，因为左边运算结果比303大，另外括号内不论得什么数，也不可能是303除以9的商。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7）＋8×9＝303处，显然等于没有添括号。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303处试算的结果，等式正好成立，所以本题的解是
（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303
下面介绍如何解“填数字”问题。
这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字。
解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等。
解这类问题的关键，是找到解题的突破口。
例7把1－9这九个数字，分别填入下面算式的□内，使每个等式都成立。
□＋□＝□① □－□＝□② □×□＝□③
分析与解：
因为1－9这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从③式入手试填，试填发现有两种情况：
2×3＝6与2×4＝8符合题目要求。
因为1－9九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了①、②两式中，只能含有偶数个奇数，而③式中又不可能含3个奇数，所以③式只能是2×3＝6。
第二步，由剩余的六个数字组成①式，它们的可能情况是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，经试填发现，在1＋4＝5和1＋8＝9的条件下，无法组成②式，所以应舍去。
当1＋7＝8时，②式的组成是9－5＝4或9－4＝5，当4＋5＝9时，②式的组成是8－1＝7或8－7＝1，所以满足题目要求的解有
本题的分析、解题过程说明，以③式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。
例8有一个算式，式中画的“×”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。
（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）
分析与解法1：
为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。
所以商数为989。
第一个数字只能是9，④式的第一个数字只能是8，所以b＝1，C＝2；
分析与解法2：
本题也可以直接求得除数。
位数字为8。
因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数，可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位，所以b＝1，或b＝0，又因为很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。
通过试乘，除数取113时，则113×8＝904，积的首位数字大于8，不符合要求，而除数取111时，则111×9＝999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112。
如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。
例3下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立。
分析与解：
显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。
因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示1。
因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1，所以只能是“山”表示9。
因为被乘数的百位数字“好”，与乘数9相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。
因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘，积的个位数字是0，而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时，向十位进8，所以“河”表示8。
所以本题的解是
例4下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立。
分析与解：
从加数与和的个位数字入手。
因为Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5时，加数的十位数字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同时判定E＝5。
因为加数的百位数字相加，必须向千位进1或2，且千位还必须向万位进1，所以表示0＝9，同时判定I＝1。
因为加数百位数字的和要向千位进2，所以它在22至28之间，可判定T＝7或T＝8。
若T＝7，则R＝8，X＝3，这时，只剩数字2、4、6还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出现矛盾，即T不能是7。
当T＝8时，则R＝6或R＝7，而R＝6时，X＝3，乃出现矛盾，所以只能取R＝7，这时，X＝4，所剩数字为2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是
（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。
其中三个加数与和，正好是英文的四个数词40、10、10、60）
下列加法竖式，是一个和例4类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。
例5下列算式中的O代表奇数，X代表偶数。
请你用适当的数字代替O和X，使算式成立。
分析与解：
从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数OXX与乘数个位数字X相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。
因为188×8＝1504，其千位数字是1；所以被乘数O××中的百位数字O要大于1；因为用O乘以乘数××的十位数字X得数不大于8，所以被乘数O××中的O只能是3，而乘数××中的十位数字×只能是2。
在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字2，应该得×O×。
从试乘中得知，被乘数3××只能取306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数4或6，都不能得到×O××，而乘以8时，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得积OO××的要求，所以本题只有唯一解
例6下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立。
迎迎×春春＝杯迎迎杯①数数×学学＝数赛赛数②
春春×春春＝迎迎赛赛③
那么，迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝？
（1988年北京市迎春杯数学竞赛试题）
分析与解：
因为③中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，赛＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。
再分析②，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4三个数，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能满足这个要求，所以，数＝5；而且“学”必须是奇数，从1、3、9三个奇数中试乘结果知，学＝9，即；55×99＝5445。
所以
迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39
例7有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。
年年×岁岁＝花相似①
岁岁÷年年＝人÷不同②
上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出这两道算式。
分析与解：
由②得
“岁岁”＜“年年”；而由两个相同数字组成的两位数是11，22，33，…，99，显然“岁岁”不能是11，因为如果是11，乘积的个位数应该是“年”，这不符合题目要求。
如果“岁岁”是33，因为“岁岁”＜“年年”，“年年”最小也应该是44，但是44×33＝1452，与①中积是三位数矛盾，而55×22＝1210，也与①中积是三位数矛盾，所以“年年”只能是33或44。
取“年年”为33，则33×22＝726，仍不符合题目要求（想想为什么？
），所以“年年”只能是44，故所求的两道算式是：
44×22＝968
22÷44＝5÷10
习题七-1
1．在下列的等式中，添上合适的括号，使等式都成立。
（1）4＋28÷4－2×3－1＝1
（2）4＋28÷4－2×3－1＝4
2．在下列等式的□处，填上加号或乘号，并添上适当的括号，使等式成立。
1□2□3□4□5＝100
3．在下列等式中的四个4之间添上运算符号，并在适当位置上添上括号，使等式成立。
4444＝1 4444＝4 4444＝5
4．在五个3之间，分别用不同方法添上运算符号和括号，使等式成立。
33333＝133333＝9 33333＝9 33333＝3
5．在十六个2的适当地方，添上运算符号或括号，使计算结果等于已知数。
2222222222222222＝1993
6．在123456789的某些数字中间分别添上加号或减号，使所得式子的值等于100。
7．添上运算符号和括号，使12345＝1
8．在下面算式的合适的地方，添上（）和[]，使所得结果等于已知数。
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1395
9．将算式的四个○，分别填上＋、－、×、÷四个运算符号，并在□中填上一个数字，使算式成立。
9○13○7＝10014○2○5＝□
10．将合适的＋、－、×、÷、（）、[]符号填进算式，使算式结果都等于1。
123＝1 1234＝1 12345＝1
123456＝1 1234567＝1
12345678＝1 123456789＝1
参考答案：
（只给出一解）
1．
（1）（4＋28）÷4－2×3－1＝1
（2）（4＋28）÷4－2×（3－1）＝4
2．（1×2＋3）×4×5＝100
3．（4＋4－4）÷4＝1
4＋（4－4）÷4＝4
（4×4＋4）÷4＝5
4．（3＋3＋3）÷（3×3＝1
（3＋3＋3）－（3－3）＝9
（3－3）×3＋3×3＝9
3＋3＋3－（3＋3）＝3
5．2222÷2＋222×2×2－2÷2－2÷2－2－2＝1993
6．1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100
7．［（1＋2）×3－4］÷5＝1
8．［（1＋2）×（3＋4）×5＋6×7＋8］×9＝1395
9．9137＝100
10．（1＋2）÷3＝1，
1×2＋3－4＝1，
［（1＋2）÷3＋4］÷5＝1，
1×2×3－4＋5－6＝1，
1×2＋3＋4＋5－6－7＝1，
（1×2×3－4－5－6＋7）÷8＝1，
［（1＋2）÷3＋4］÷5＋6－（7＋8－9）＝1。
习题七-2
1．将1－9这九个数字，填入下列各题的□内，使等式成立。
（3）□□×□＝□□□＝□×□□
2．补全下列各残缺的算式：
3．下式中的A，应代表什么数字？
4．下面算式中的a、b、c，应代表什么数字？
5．把下面式子里的“奇”和“偶”，分别换成奇数和偶数，使等式成立。
6．把下面式子里的“质”换成质数，使等式成立。
7．下面题中的a、b、c、d表示互不相同的数字。
试求出使两个算式都成立的a、b、c、d所表示的数字。
8．下面乘式中的“趣味数字”四个字代表四个互不相同的数字，每个“□”中可以填0－9中的任何一个数字，但最高位不能填0，试确定算式中的每个数字。
9．题中三个英语单词CROSS、ROADS、DANGER的词意是“通过”、“十字路口”、“危险”，用这三个单词正好能写成下面的加法算式。
已知O代表数字2，S代表数字3，并且要求不同字母代表不同数字，问O、S之外的字母代表什么数字时算式成立？
参考答案：
（只给出一解）
1． 2．
3．A＝74．a＝7，b＝8，c＝6。
5．6． 7．
8．9．
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