圆锥曲线中的一类对称问题郝明泉Word文档格式.doc
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已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同的两点关于这条直线对称。
法一:
利用判别式及韦达定理来求解
两点关于直线对称,对称中体现的两要点:
垂直和两点连线中点在对称直线上,因此使用这种方法求解时,必须同时确保:
⑴垂直;
⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:
椭圆上存在两点关于直线对称
设直线为:
(确保垂直).
则直线与椭圆有两个不同的交点
(确保存在)
即:
①
两点的中点的横坐标为纵坐标为
则点在直线上,.(确保平分)
把上式代入①中,得:
法二:
点差法
点差法是解决中点弦问题的一种常见方法,对称问题符合点差法的应用条件,过程如下
设椭圆上关于对称的两点分别为,弦的中点为,代入椭圆方程后作差,得
①
由点在直线上,得②
由①②解得
因为点在椭圆的内部
所以
解得
法三:
利用根的分布求解
上存在不同的两点关于直线对称,等价于上存在被垂直平分的弦,即等价于的适合条件的弦所在的直线方程,与曲线的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解,因此可利用一元二次方程根的分布来求解,过程如下。
解:
由解法二,知中点的坐标为,
所以直线的方程为
代入椭圆方程整理得
此方程在上有两个不等实根
令,则
解得
法四:
利用平行弦中点轨迹
寻求有关弦中点轨迹,通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系,利用数形结合寻求参量范围。
设椭圆上关于对称的两点分别为,弦的中点为,将坐标代入椭圆方程后作差,得
所以以为斜率的平行弦的中点轨迹是直线在椭圆内的一段,不包括端点。
将与椭圆联立得两交点
所以问题可以转化为直线与线段有交点。
易得的取值范围是
以上方法在处理其它圆锥曲线时同样适用,但在处理非封闭曲线时,应注意对是否存在的验证。
以上是笔者对这类问题的一点拙见,方法总结未必全面,希望能给各位读者带来帮助,也希望各位读者批评指正。