国际数学奥林匹克IMO竞赛试题第47届Word文档下载推荐.doc

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∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而

P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC边上的旁切圆心T共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线（∠BAC的平分线），且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．

等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．

2．正2006边形P的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．

设P被不在P的内部相交的2003条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．

解：

对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P的边数记作m（AB）．由于m（AB）+m（BC）+m（CA）=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．

考虑任一好三角形ABC（AB=AC）．A-B段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B段上P的边数为奇数，故A-B段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于=1003个．

设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1（1≤k≤1002）及A2k+1A2k+3（1≤k≤1001）所作的剖分图恰有1003个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．

3．求最小实数M，使得对一切实数a，b，c都成立不等式

．

设，则．

原不等式成为

中两个同号而与另一个反号．不妨设．则

，．于是由算术－几何平均不等式

＝

即时原不等式成立．

等号在，，即时达到，故所求的最小的．

4．求所有的整数对（），使得．

对于每组解（），显然，且也是解．时给出两组解．

设>

0，原式化为．与同为偶数且只有一个被4整除．故，且可令，其中为正的奇数，．代入化简得

若，．不满足上式．

故必，此时，解得．但不符合，只有，，．

因此共有4组整数解．

5．设为n次（n>

1）整系数多项式，k是一个正整数．考虑多项式

，其中P出现k次．证明，最多存在n个整数t，使得．

证：

若Q的每个整数不动点都是P的不动点，结论显然成立．

设有整数使得，．作递推数列．它以k为周期．差分数列的每一项整除后一项．由周期性及，所有为同一个正整数．令．

数列的周期为2．即是P的2-周期点．

设a是P的另一个2-周期点，（允许b=a）．则与互相整除，故，同理．展开绝对值号，若二者同取正号，推出，矛盾．

故必有一个取负号而得到．记，我们得到：

Q的每个整数不动点都是方程的根．由于P的次数n大于1，这个方程为n次．故得本题结论．

6．对于凸多边形P的每一边b，以b为一边在P内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P的面积的两倍．

过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也看作P的顶点（允许若干个相继顶点共线）．每两条面积平分线都交于P内．P可

看成一个2n边形，每条对角线是P的面积平分线（i=1，2，…，n，）．设与交于（），由面积关系得到，

，，故和

中必有一个不小于1，于是以为一边在P内作的面积最大的三角形的面积

．

对于每条有向线段，P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧．由于T在和的相反侧，故必有i使得T在和的相反侧，从而Ｔ在或中．即．于是

P中同一边上的各个之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．