数值计算方法复习题文档格式.doc
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3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
在(A)中故迭代发散.
在(B)中,故迭代收敛.
在(C)中,,故迭代收敛.
在(D)中,类似证明,迭代收敛.
例3填空选择题:
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2,3个方程分别为。
解答1.选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为:
2x1+2x2+3x3=3,消元得到
是应填写的内容。
一、解答下列问题:
1)数值计算中,最基础的五个误差概念(术语)是,,
,.
2)分别用2.718281,2.718282作数的近似值,它们的有效位数分别有
位,位;
又取(三位有效数字),则
.
3)为减少乘除法运算次数,应将算式
改写成
4)为减少舍入误差的影响,应将算式改写成
5)递推公式
如果取作计算,则计算到时,误差有
这个计算公式数值稳定不稳定?
1)绝对误差,相对误差,有效数字,截断误差,舍入误差。
2)6,7,
3);
3)
4)或
二、解答下列线性代数方程组问题:
1)解线性代数方程组(非奇异)的关键思想是首先把方程组
约化为和,然后分别通过过程
或过程很容易求得方程组的解.
2)用“列主元Gauss消元法”将下列方程组:
化为上三角方程组的两个步骤
再用“回代过程”可计算解:
1)上三角方程组,下三角方程组,回代,前推
2),
四、设一元方程,欲求其正根,试问:
1)方程的正根有几个?
(个)
2)方程的正根的有根区间是
3)给出在有根区间收敛的不动点迭代公式:
4)给出求有根区间上的Newton迭代公式:
1)12)[1,2]
3),
4),
五、,当满足条件时,可作分解;
当满足
条件时,必有分解式,其中为对角线元素为正的下三角阵。
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.近似值的误差限为()。
A.0.5B.0.05
C.0.005D.0.0005.
3.若实方阵A满足()时,则存在唯一单位下三角阵和上三角阵,使。
A.B.某个
C.D.
例1.近似值的误差限为()。
A0.5B0.05C0.005D0.0005.
解因,它为具有3位有效数字的近似数,
其误差限为。
或,其误差限为
所以答案为B.
例2..已知,求的误差限和相对误差限。
解:
(绝对)误差限:
所以(绝对)误差限为,也可以取。
一般地,我们取误差限为某位数的半个单位,即取。
相对误差限:
所以,相对误差限
例3.已知求近似值的误差限,准确数字
或有效数字。
解由误差限为
因为,所以由定义知是具有4位有效数字的近似值,准确到位的近似数。
注意:
当只给出近似数时,则必为四舍五入得到的有效数,则可直接求出误差限和有效数字。
例4.已知近似数求的误差限和准确数位。
解因,
所以准确到位。
准确到位。
函数运算的误差概念,特别是其中的符号。
例1证明计算的切线法迭代公式为:
并用它求的近似值(求出即可)
解
(1)因计算等于求正根,,
代入切线法迭代公式得
(2)设,因
所以
在上
由,选
用上面导出的迭代公式计算得
例1用列主元消元法的方程组
每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。
解第1列主元为3,交换第1、2方程位置后消元得,
第2列主,元为交换第2、3方程位置后消元得
回代解得
例2.将矩阵A进行三角分解(Doolittle分解,Crout分解,LDU分解)
其中
说明:
一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。
即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解(或代入公式求得相应元素)。
在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。
解:
则矩阵的Doolittle分解为
因为对角阵,则
所以矩阵的LDU分解为
矩阵的Crout分解为
例3用紧凑格式求解方程组
消元过程是解方程组,和回代过程是解方程组。
(1)将矩阵进行三角分解,由上例得:
矩阵的三角分解为
(2)解方程组
(3)解方程组
所以
1.B.3.C.
在(D)中,类似证明,迭代收敛
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组:
1).设是真值的近似值,则有
位有效数字。
2).
倍。
3).求方程根的牛顿迭代格式是
。
1)3;
2);
1、
解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有_______收敛
2、
迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是___
3、
已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是___
1、局部平方收敛2、<
13、4
8、,为使A可分解为A=LLT,其中L为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围_
8、
2、,则A的LU分解为。
1、近似值关于真值有()位有效数字;
2、的相对误差为的相对误差的()倍;
1、2;
2、倍
5、计算方法主要研究()误差和()误差;
6、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
5、截断,舍入;
6、;
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。
10、A的各阶顺序主子式均不为零。
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()。
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是()产生的误差。
A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有()位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
1、B2、A3、B
5、用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是()。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
5、C6、A
1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字?
设有n位有效数字,由 ,知
令,
取,
故
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。
令得,得.
2、分别作为p的近似值有,,位有效数字。
2、4,3,3
4、解线性方程组的主元素消元法中,选择主元的目的是();
4、减少舍入误差
1、用1+近似表示所产生的误差是()误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截断
2、-324.7500是舍入得到的近似值,它有()位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
1D,2C
8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()。
A.对称阵B.各阶顺序主子式均大于零
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
8B
1、用1-近似表示cosx产生舍入误差。
()
1、´
6、-23.1250有六位有效数字,误差限£
。
()
7、矩阵A=具有严格对角占优。
()
6、´
,7、´
9、LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。
()
9、´
1、用牛顿(切线)法求的近似值。
取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。
是的正根,,牛顿迭代公式为
,即
取x0=1.7,列表如下:
1
2
3
1.73235
1.73205
2、,则A的LDLT分解中,。
在近似计算中,要注意以下原则:
(1)计算速度快
(2)避免大数“吃掉”小数,
(3)防止溢出(4)减少计算次数
列主元消元法解方程组是().
A.
(1)和
(2)B.
(2)和(3)C.(3)和(4)D.(4)和
(1)
B
4、
一个近似数的有效数位越多,误差限越小。
(
)
×
5、
舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。
(
1.用近似表示产生舍入误差。
()
Ⅹ