复变总结提纲和重点.docx
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复变总结提纲和重点
第一章（P）
*复习复数的概念、运算、几何表示、三角表示
*平面点集的有关概念
*复变函数的概念
*复变函数的极限与连续性
1.1复数
1.知识点的串联
共轭的概念是相互的，
共轭调和函数的概念不是相互的，（共轭也是一个相对的概念）
关于共轭复数的理解可以通过图像来帮助理解
2.共轭相加是实数，是实部的两倍
共轭相减是纯虚数，是减复数（相对于被减数）的虚部的2i倍
3.运算性质，
四则运算：
分别满足加法和乘法的交换律、加法和乘法的结合律，还有加乘共同的分配律
共轭运算：
有比较有意思的运算性质
（1）两次共轭是本身
（2）和的共轭等于共轭的和，乘的共轭等于共轭的乘，除的共轭等于共轭的除（分母不为0）注意：
除的共轭要注意，注意划线的长短，如果只有分子上一划，如果比较长的话比如超过了其括号等复数外的运算符号的线度，说明是整个分数的共轭，如果比较短只是包括复数部分的话就是只是分子的共轭）
（3）共轭相乘等于，实部虚部的平方和，也就是模的平方（这些用于一些不怎么直观的隐函数的运算，知道其运算的本质入手）（注意：
解题：
共轭相乘必为实数，故用于分母去复数等）
4.隐函数，复数方程的求解
用到了待定系数法
和复数相等的定义，定理等价条件，和实部虚部分别相等等价，也就是充要
5.由于思维定势的存在，所以对于一般的复数形式的平方，总觉得有三个项，就是由于平方公式的影响，然后合并和也会有两个项，但是由于复数的特殊性，就是i的平方等于-1这个特殊的性质，使得实数有了消失的可能。
总结了一下一般情况，也就是当一个复数的实部和虚部的绝对值相等的时候，它的平方后的式子中是没有实数的，就是纯虚数了，这个很好用。
至少知道这是一个能够使得式子会变得更加简单的方向，而不是怀疑这样子是不是会有两项，尤其是外面还有很多次方的时候，就不敢先平方一下了。
对于有关平方的地方，到了复数的范畴就要多想一下，就要防止思维定势。
要试着重新看一下，会怎么样，或者就是反着想。
6.复数不等于0时都有幅角0时幅角不确定
幅角的本质是角度
大于-pi小于等于pi的幅角称为幅角的主值
幅角的计算：
根据所给的复数一般式计算幅角
一四象限就是arctan（y/x）虚部比实部
第二象限加pi，第三象限减pi（注意：
要结合tansita的图像来理解）
过程就写幅角（z）=主幅角（z）+2kpi=arctan…..不要忘记所用的k的范围，还有幂级数的收敛的范围（后标）
7.对于复数的理解，有很多种方法，各有各的实际意义，要从多方面理解，尤其是结合图形
复数加减具有向量的性质
两复数的差的模表示其距离
三角不等式：
两边之和大于等于第三边（用平行四边形中的长对角边三角形理解）
两边之差（不管加不加绝对值）小于等于第三边（用平行四边形中的短边三角形理解）
8.再说一遍，看到一个复数（不管是一个复数还是复数的运算多项式等等，从整体的角度看就是一个复数）的模的平方（注意不是平方的模）就想到等于其共轭的相乘。
还有对于共轭的深刻理解和对多重共轭的理解和灵活运用。
共轭的相乘和复数的模的平方之间的灵活转换
9．复数的三角表示，复数不能为0
要注意形式，比如正负号还有cos和sin的位置不要互换了，否则就不是标准形式，不是标准形式就不能直接和别的形式之间直接进行转化，否则就会出错。
从这里也可以看出设立标准（形式）的意义，在于不同形式之间的方便转换，主要由两个关键部分组成，一个是标准形式，一个是标准转换，通过标准转换方法（公式）实现标准形式之间的转换
当cossin的形式不对，主要的是一个前面有正负号了，还有就是sin和cos的位置调了，正负好容易解决，cos角度取负不变，sin取反等。
。
位置调了就用半角公式转换。
10.复数的指数表示，rexp（isita）的形式
模直接实数表示，角度用指数表示
11.复数乘积的几何意义，模相乘，角相加
除法就是模相除，角相减，反正乘法可以推出除法。
顺时针转乘负角
12.复数的乘幂，对应复数函数中的幂函数
对应方根，n次方根有n个不同解，几何意义是这n个复数解释以原点为中心，模的n次方根的半径的圆的内接正n边形的n个顶点
求方根问题，用三角形式和指数形式这两种都包含角度的形式都可以做
13.复数形式的代数方程与平面几何图形
14.扩充复数域C+引进一个新的数无穷
相当于对应了扩充复平面引进了一个新的假想的点无穷远点
这里的无穷都没有加号因为对于复数域，不能比较大小，无穷和0是一样的，是没有方向的，没有幅角，因为是一个平面，方向有无数个
注意：
一个非0数除以0是无穷
一个有限数（只要有限，不等于无穷）被无穷除就是无穷
1.2区域
邻域去心邻域
内点开集（内点：
对点集内的任意一个点都存在完全在点集内的邻域）余集闭集
边界边界点如果一个点（！
！
！
注意这个点不一定是在E里面的点，而是对任意的平面上的点而言的，因为对于开集，显然这个点是不属于开集的）的任一邻域总含有属于E的点和不属于E的点，则称这个点为边界点E的全体边界点构成E的边界（开集加上它的边界就是闭集）
区域D满足的条件：
D是一个开集，D是连通的（D中的任何两点都可用完全含在D内的一条折线连起来，但是没说是单连通还是多连通区域，多连通也是可以的，满足的）
闭区域：
区域D与它的边界的（合集？
）简称闭域记作D上加上划线
（区域首先要是一个开集，还要连通，也就是说不连通的开集不属于区域）
有界区域：
区域D可以包含在一个以原点为中心、有限值为半径的圆内就称为有界区域。
否则无界区域。
共轭概念的理解。
概念对
在想一条直线算不算区域，但是它连开集的条件都不满足
平面曲线的复数表达式
如果x（t）和y（t）的导数在定义域连续，且导数的平方和不等于0，则称曲线是光滑曲线。
为什么，后面的条件？
？
？
复数来表达一个曲线方程的时候，考虑用一种向量的位置思想
逐段光滑：
由几段光滑曲线依次连接所组成的曲线，（在接头处呢？
？
）
闭曲线：
一个曲线若起点与终点重合，则称为闭曲线，起点终点处的函数值相等，复数函数值
简单曲线：
如果自变量t的任何两个不同的值，除了起点终点，总对应曲线上两个不同的点，则称为简单曲线。
（简单曲线在平面上的几何意义就是曲线不相交，除了两端处可能重合）
如果同时满足上面两个条件就是简单闭曲线。
单连通域：
D是复平面的一个区域，也就是说既是开集也是连通域。
如果在其中任作一条简单闭曲线，闭曲线的内部总属于D，则称D为单连通域，否则称为多连通域。
用连通域定义区域，再用区域定义单或多连通域，或者说区分单或多连通域
不对，单或多的连通域的本质是区域，也就是既是开集又是连通域，
然后是用简单闭曲线区分的。
这一章的所有定义还是知识点都是为了最后说一个单/多连通域服务的。
1.3复变函数及其极限与连续
1.3.1复变函数
复变函数复数集D，对任意z属于D，都有一个或几个复数w与之对应，w是z的复变函数（任意好解决，就把D取为不包含没有对应的w的z的区域就好了，那些点是没有意义的点）
单值函数一个z一个w
多值函数一个z多个w
复变函数相当于两个实函数uv（就可以考察两个实函数，有实函数的一些性质啊什么的）
复变函数的几何意义：
由z平面上的点集D到w平卖弄上的点集G=f（D）的一个映射
G中的w是D中的z的象z是w的原象
1.3.2复变函数的极限
极限：
w在z0的去心邻域内有定义，存在一个大于0的delta，在z0的delta去心邻域内有函数值减去一个常数小于任意一个正数
这个常数A称为z趋于z0时f的极限
（注意：
z趋于z0的方式是任意的，有无数个方向，而且不仅仅是方向？
Z趋于z0时f的极限存为A，意味着当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于z0时，f均以A为极限）
解题：
关于z的方向，可以用x和y的关系，之间的限制关系来体现，比如沿y=kx来趋于0，然后发现极限不是一个定值，是和变量k有关系的。
。
极限值随k的不同而不同，故极限不存在。
）
定理：
复变函数极限的存在等价于其实部和虚部两个二元实函数极限的存在性（和第四章的复数列的极限有些相似，因为复数列某种意义上来说也是一种复变函数的形式，形似有点类似，只是一种离散的）
复数的极限可以运算，但是要是有限复数
加减乘除都是直观的等价运算除注意分母不为0
1.3.3连续性
定义如果前面的那个极限等于f在z0处的函数值，也就是A等于f在z0处的函数值
就称f在z0处连续
如果f在趋于D内每一点均连续，就称f在D内连续
定理:
f在z0处连续等价于两个二元实变量函数在点（x0，y0）处连续
定理和定义都可以用来解题
定理：
两个函数都在z0处连续，那么他们的加减乘除后的式子也在z0连续（除注意分母不为0的地方连续）。
复合也连续。
有理分式函数分子分母为多项式函数在z平面上使分母不为0的点处连续
f=argz在复平面上的连续性在负实轴arg=pi上不连续在arg大于-pi小于pi内不连续
1.3.4复变函数的导数
定义：
函数w定义于D当deltaz趋于0时，{f（z0+deltaz）-f（z0）}/deltaz的极限存在就称f在z0处可导极限值称为f在z0处的导数有两种写法
注意：
deltaz趋于0的方式是任意的，也就是z0+deltaz趋于z0的方式是任意的，极限值的存在与deltaz趋于0的方式无关，（如果有关就不存在吧）应该是一个和方式无关的常数，否则就是一个关于方式的函数
w在D内处处可导，则称f在D内可导f’称为f的导函数（本质是一个函数，其值是导数）简称导数
微分
如果f在z0处可导
那么w的变化量deltaw=f（z0+delta）-f（z0）=Adeltaz+rou（deltaz）deltaz
dw=f’（z0）dz
于是可微等价于可导
w在D内处处可微，称f在D内可微
求导法则与实变函数求导法则相同
注意一下复合函数的求导（尤其注意，不要忘了多重复合函数的求导），还有反函数的求导（导数互为倒数）
本章基本要求
掌握复数的各种表示方法及其运算
理解复数函数的概念
了解复变函数的极限、连续、导数的概念
理解区域、单连域、多连域、简单曲线等概念
第一章（S）
1.2平面点集的一般概念
区域
内点的定义：
z属于平面点集E，如果存在一个z点的邻域，这个邻域所包含的点均属于E，则称z为E的内点
开集的定义：
若E内每个点都是内点，则E是开集
区域：
平面点集D是区域需要满足的条件
D是一个开集，
D是连通的，D内任何两点都可用完全属于D的折线连接起来。
第二章解析函数（P）
*解析函数的概念*复变函数可导与解析的判别法*初等函数的解析性
2.1解析函数
2.1.1解析函数概念
定义若w在z0及其某邻域内处处可导，则称w在z0解析
若f在区域D内每一点解析，则称f在为在D上的解析函数，或f在D内解析
若f在z0点不解析，则称z0为f的一个奇点（注意：
如果在一个点可导，在其邻域不可导，那么在这个点可导不解析，那么就是奇点。
注意是否奇点与可导没有直接关系，而是和解析有关系）
注意：
解析与可导的关系
（1）函数在一点解析与可导不等价
解析要在该点可导并在该点的某个邻域内可导，解析比可导条件强
（2）函数在区域内解析与可导等价
导数存在的点都可导，不存在的不可导
然后由区域内解析和可导的等价性
两个在D解析的函数的四则运算只要分母不为0都在D解析。
复合函数的解析性
反函数的解析性
解析函数不可能在一个点或者一个曲线上解析，所有解析点的集合必为开集
多项式在复平面上解析
有理分式函数在分母不为零时的区域内为解析函数
2.1.2函数解析的充要条件
定理：
f在一点处可导的充要条件是uv在该点可微且满足C-R方程
f’=ux+ivx
定理：
函数在D内解析的充要条件是uv在D内处处可微（具有一阶连续偏导数、一阶偏导数存在且连续），且满足方程C-R
f用极坐标表示，即令xy用r和sita表示
2.2初等解析函数
2.2.1指数函数
定义exp（z）=exp（x+iy）=exp（x）（cosy+isiny）为复数域上的指数函数
y=0，z为实数时，和实指数函数定义一致
当z=iy时，就是欧拉公式
一些性质：
模是exp（x）
主幅角是y
exp（z）在复平面内处处有定义，而且是单值的在整个复平面上解析，导数是其本身
exp（z）不等于0
2kpi*i为周期
Z趋于无穷时，exp（z）极限不存在因为沿着不同的方向有不同的极限
2.2.2对数函数
定义exp（w）=zz不等于0称w为对数函数记作w=Lnz
w=lnz的绝对值+iArgzz不为0，因为0没有幅角
w是多值函数
Argz取argz时，称为Lnz的主值记lnz
有Lnz=lnz+i2kpi对每个k，上式表示一个单值函数，称为Lnz的一个分支k=0时得主值
解题：
解对数方程，等等用取对数法或者一般复数xy形式待定系数法
注意：
定义域：
复对数函数的定义域是除了z=0外的全体复数，实对数函数的定义域是大于0
单值多值：
复对数函数是多值函数，实对数函数是单值函数
由幅角的性质可以得到复对数运算的性质
复数相乘的对数等于对数相加
复数相除的对数等于对数相减
由于式子两端都是多值函数，所以应该理解为两端能取的函数值的全体是相同的。
注意有两个运算式子不再成立，n次幂和n次方根不能提前面去
解析性：
主值在除去原点和负实轴的复平面上是解析的
且其导数是z分之一
Lnz各分支在除去原点及负实轴的平面内解析，有相同的导数值
2.2.3幂函数
w=za=eaLnza是任意复常数，z不等于0和无穷
a为正实数且z=0时为0
由于Lnz是多值函数，所以za一般也是多值函数（除了a为整数时）
a是正整数时是单值函数，且在复平面内处处解析
a是负整数时是单值函数，在除了z=0外处处解析
a为有理数p/qpq为互质正整数
有q个不同分支各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析
a为无理数或者复数时有无穷多个值
解题：
一些复数的复数次幂的解决
2.2.4三角函数与双曲函数
正弦函数与余弦函数均为单值函数
性质：
奇偶性：
cosz偶函数sinz奇函数
周期性：
2pi为最小正周期2kpi周期
解析性：
复平面内处处解析导数和实三角函数一样
三角恒等式还是一样
零点也一样，因为涉及到零点，就是和实轴的交点，就是和实轴的性质是一样的
有界无界：
其模是无界的，和实函数不一样，函数本身也是无界的，这是最大的不同
cosz和sinz的平方不总是非负的
双曲函数的公式
导数
和三角函数的关系
平方差
2.3解析函数与调和函数的关系
调和函数的定义：
实二元函数u，在区域D内有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程，则称y为区域D内的调和函数。
（注意几点，首先对象是二元实函数，不是复函数，满足方程必须有二阶连续偏导数？
）
定理：
在区域D内解析的函数，实部和虚部都是D内的调和函数。
（分别是）
（也就是说如果uv有一个不是调和函数那么f就不解析）
解析函数具有任意阶导数而且解析
共轭调和函数uv是D内的两个调和函数满足C-R方程，则称v是u的共轭调和函数
定理若f在D内解析，则v必为u的共轭调和函数
注意：
如果uv是区域D内的任意两个调和函数，那么不一定解析
第二型曲线积分？
看高数
还有一些积分的公式
最后算完了，如果写成f（z）=那么后面就应该把变量尽量化成z有关的，如果是u（x，y）什么的就是用xy表示等
arctan（y/x）=argz
第二章解析函数（S）
2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程
2.2初等函数及其解析性
重点
2.3解析函数与调和函数的关系
主要包括解析函数与调和函数的关系
以及如何由调和函数构造解析函数的方法
调和函数的定义：
二元函数u（x，y）,在区域D内有二阶连续偏导数，并且满足Laplace方程uxx+uyy=0。
则这个二元函数是区域D内的调和函数。
（两个注意点是，一个是要在D内有连续的二阶偏导，注意D的范围，一般是整个复平面，但是也不一定，一个是满足一个方程Laplace方程。
一般出现的题是判断是不是调和函数，注意连续的二阶偏导这个条件，一般比较容易忘记。
）
解析函数的导数仍为解析函数，因此解析函数的实部虚部uv，具有任意阶连续偏导数。
定理：
若函数f（z）=u（x,y）+iv（x,y）在区域D内解析，则u，v均为区域D内的调和函数。
（由uv满足C-R方程，可以得出uv分别满足L啊place方程，则调和）
共轭调和函数的定义：
两个区域D内的调和函数uv，且满足C-R方程，则v是u的共轭调和函数
定理：
函数f（z）在区域D内解析等价于v是u的共轭调和函数（即vu都是调和函数，又由共轭，故满足C-R方程）
注意：
若uv是调和函数，但是f（z）不一定解析，因为不一定满足C-R方程。
重点提醒：
求解析函数
解题方法:
由上，如果知道一个调和函数u或v，则可以利用C-R方程，求得v或u，从而得到一个解析函数f（z）
题型一：
要求一个解析函数f（z），给其实部u。
解题方法：
需要的是两个函数uv，这两个函数如果是共轭调和函数，那么f（z）就是解析。
首先用Laplace方程验证u是调和函数。
（假设u不是调和函数，由于如果f是解析，那么满足C-R,由于C-R可以推出是调和，那么逆否命题也是成立的，即如果不是调和函数就满足C-R，就不是解析函数）
第二步利用C-R方程，用已知u的一阶偏导积分求v的方法。
求出v即可。
这个解法比较简单，计算量稍大，但是几乎对所有题都通用。
但是有的时候可能实在太复杂，求导求不出
第二种方法：
利用求导公式，即f（z）的一阶导数与一阶偏导的关系的式子，只需要知道一个u即可得出，然后就是一个关于x和y的式子，再利用一些方法，把x和y的式子变成只有变量z和复常数等常数的式子，然后按照普通的函数的积分回去。
还有就是注意要有C，如果一开始给的是实部，那么最后要加iC，如果一开始给的是虚部函数，那么最后就加一个C。
这个解法比较灵活，但是有一些要求，有的时候化不出只有z的形式？
多做题积累方法。
题型二：
已知一个调和函数，要求解析函数，给了一个初值（用于确定C）。
已知是调和函数，那么就不用验证调和了，直接用C-R方程求另一个调和函数（共轭）
第二种方法：
利用曲线积分
问题相当于已知了一个调和函数，要求其共轭调和函数，它们之间的纽带是C-R方程。
已知的一个调和函数的两个一阶偏导知道了，那么另一个的也知道了。
那么其全微分就知道了。
dv=vxdx+vydy=-uydx+uxdy
当D是单连通区域，那么对dv的在C上的积分就与积分路径无关
变上限积分v（x,y）就等于对dv从（x0，y0）积到（x，y）加上C
要求知道一定点（x0，y0），即其经过的一点，不一定要知道那一个点的函数值，如果知道函数值，就可以进一步求C
要用到第二类曲线积分
第三章复变函数的积分（P）
3.1复变函数积分的概念
3.1.1积分的定义
有向曲线：
若一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称为有向曲线
曲线的方向：
开口弧段从起点到终点为正向C+反向为负向C-
封闭曲线逆时针方向为正向，顺时针方向为负向
3.1.2积分存在的条件
定理w在光滑曲线C上连续，则f沿曲线C的积分存在
3.1.3积分的基本性质
f连续而C光滑时积分一定存在
把积分计算化为两个实二元函数的曲线积分计算
3.1.4积分的基本计算
用参数方程法
化为一元的
圆用复数的指数形式表示
3.2柯西积分定理
3.1.1柯西积分定理
关于f在什么什么时候积分仅与积分路径的起点和终点有关而与积分路径无关
当uv具有一阶连续偏导数，并且满足C-R方程时与路径无关
柯西积分定理：
若f在单连通域D内处处解析，那么f沿D内任意一条闭曲线C的积分为0
注意
（1）C属于D时成立
（2）C是D的边界
时，f在D内解析，在边界上解析或者连续也成立
推论：
f在单连通域D内处处解析，则积分只与起点和终点有关和路径C无关
注意：
应用柯西定理一定要注意的条件f解析，D单连通
f有奇点时不能直接用该定理
3.2.2变上限积分与原函数
变上限积分
f在单连通域D内连续且对任意D中区域任意简单闭曲线上积分为0（也就是f在D内解析）
则F在D内解析其导数等于f
原函数f在D内连续，存在D内解析函数F，其导数等于f，则称F为f的一个原函数
然后得出类似牛顿-莱布尼茨公式的解析函数的积分计算公式
定理：
f在单连通区域D内解析F是f的一个原函数
注意：
只用于计算和积分路径无关的积分，即f解析
换元积分法和分部积分法依然成立，看高数书
3.2.3复合闭路定理
复合闭路定理：
区域D的边界C由互不相交的正向简单闭曲线组成，并且C234…n包含在C1的内部，f在D内解析（注意D不包含C2345…n的内部），在C上连续
解题：
以奇点圆心作n个互不相交且互不包含的圆周C123….由复合闭路定理
3.3柯西积分公式与高阶导数
3.3.1柯西积分公式
定理：
若f在区域D内处处解析，在边界C上连续，C为正向简单闭曲线，对于任意z0属于D
柯西积分公式
（1）通过柯西积分公式把函数在C内部任意点的值用在边界C上的积分来表示
（2）反过来给了解析函数的一个积分计算公式
（3）积分曲线可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
注意求积分时要注意说是沿曲线正向还是什么的，不然不规范
3.3.2高阶求导公式
定理f在D内解析在边界C上连续C是简单正向闭曲线
f的n次导数在D内仍解析
C是含于D内任何包含z0的简单正向闭曲线
公式也可以看作是柯西积分公式两边在z0处求导，右边求导在积分下进行
解题：
公式反过来可以用来求积分
第三章复变函数的积分（S）
3.1复变函数积分的概念
3.1.1复变函数积分的定义
开口曲线从A到B作为正方向
封闭曲线规定逆时针方向为正方向
C积分路径f（z）被积函数z积分变量
复变函数积分的存在条件
复变函数积分存在的充分条件
定理：
若函数w=f（z）=u+iv在光滑曲线C上连续，则f沿曲线C的积分存在
而且其积分可以用其实部和虚部链两个二元实函数的第二型曲线积分来计算
复变函数积分的基本性质
反向曲线积分是正向曲线积分的相反数
复变函数积分的计算
用参数方程法，类似实积函数分。
z的积分只与曲线的起点和重点有关，而与积分路径无关，z的共轭的积分却与积分路径有关
3.2柯西积分定理
当积分与路径无关的条件成立时，f（z）是一个解析函数（）
柯西积分定理f（z）在复平面上的单连通区域D内解析，C为区域D内任意一条简单闭曲线则在C上对f（z）的积分等于0
注意：
C含于解析区域D内
若C是D的边界，函数f在D上及C上解析，则也成立
若C是D的边界，函数f在D内解析并且在C上连续，则也成立
推论
设f在复平面上的单连通区域D内解析，则积分与路径无关，只与曲线C的起点与终点有关
变上限积分与原函数
定义原函数设函数f在单连通区域D内连续，若存在D内的解析函数F使F的导数等于f，则称F是f的一个原函数
f的任意原函数之间差一个C
类似牛顿-莱布尼茨公式解解析函数积分的计算公式
F从a
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