小学中年级数奥教程.docx
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小学中年级数奥教程
目录
（一）数的运算1
（二）鸡兔同笼3
（三）盈亏问题5
（四）还原问题6
（五）植树问题8
（六）年龄问题10
（七）平面图形面积的计算11
（八）长方体和正方体15
（九）解方程18
（十）解方程组19
（十一）行程问题20
（十二）火车过桥问题23
（十三）较复杂的平均数问题24
（十四）列方程解应用题27
（十五）推理问题30
（十六）牛吃草问题33
（十七）数的整除34
（十八）奇数和偶数35
（十九）质数、合数、分解质因数36
（二十）最大公约数和最小公倍数37
（二十一）带余数的除法及同余40
（二十二）分数的基本性质40
（二十三）分数大小的比较42
（二十四）分数的拆分43
（二十五）分数求和技巧44
（一）数的运算
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
末项＝首项＋（项数－1）×公差
和＝（首项＋末项）×项数÷2
例1、69＋699＋6999＋69999＋699999
例2、2＋4＋6＋8+……＋48＋50
例3、5354－3378＋4543＋4646－6622－25433.14×6.5＋4.5×3.14－3.14
例4、5×64×25×125×83666×7＋111×58
例5、7878×9999÷101÷1111（51×48×50）÷（25×17×16）
练习：
1、2002＋2001＋2000＋1999＋1998＋1997＋1996199999＋19999＋1999＋199＋19
2、4＋8＋12＋……＋8877＋75＋73＋……＋5＋3＋1
3、100－99＋98＋97－96＋95＋……＋4－3＋2＋1
4、100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋……＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1
5、125×25×50×1285500÷121×11（91×48×75）÷（25×13×16）
6、185÷13－39÷13－16÷13112×39＋16×27
7、203×202202－202×203203999×778＋333×666
8、265×480＋7350×481990×198.9－1989×198.8
9、（569＋672×428）÷（429×672－103）
（二）鸡兔同笼
鸡兔同笼问题一般用假设法求解。
先假设它们全是鸡，于是根据鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚相比较，看看差多少。
从差中求出兔的数量。
也可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量。
再求另一个数量是多少？
例1、一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔各有多少只？
例2、加工2500个机器零件，先由甲做，每天加工32个，后来甲另有任务，由乙接着做，乙每天加工44个零件，这样一共65天完成任务。
甲、乙两人各做了几天？
例3、环保工人上山植树造林，晴天时每人每天植树20棵，雨天时每人每天植树12棵。
工人小李接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵，问小李植树期间共有几天是雨天？
例4、工人运花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元。
运完这批花瓶后，工人共得4400元，那么损坏了多少个？
练习
1、鸡兔同笼，共100个头，320只脚，那么鸡兔各有多少只？
2、某校有100个学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男学生平均60分，女学生平均70分。
这学校男生比女生多多少人？
3、50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各有几只？
4、小明参加猜谜语比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜错或不猜一道倒扣3分，小明共得60分，他猜对了几道？
5、松鼠妈妈采松子，睛天每天可采40个，雨天每天可采24个，它一连几天采了224个，平均每天采28个。
这几天当中有几天是雨天？
6、搬运1000只玻璃瓶，规定搬一只可得运费3角，但打破一只要赔5角。
如果运完后，共得运费260元，问搬运中打破了几只？
7、学校买了一批水果，若用小车运需要5辆，若用大车运只需要3辆，且知每辆大车比每辆小车多运56千克。
那么，这批水果共有多少千克？
8、男、女生各一人踢毽子，女生先踢了1分钟，然后男、女生各踢了2分钟，一共踢了325个。
已知女生比男生每分钟多踢15个，则男生每分钟踢多少个？
女生每分钟踢多少个？
9、小明去爬山，他从山的东门买票沿小路上山，每小时行2千米；到山顶的西部小路下山直到山脚下的某汽车站，平均每小时行3千米。
若全程共行19千米，用9小时，求上山、下山的路各有几千米？
（三）盈亏问题
一盈一亏：
（盈＋亏）÷两次分差＝人数
两盈：
（大盈－小盈）÷两次分差＝人数
两亏：
（大亏－小亏）÷两次分差＝人数
例1、幼儿园某班小朋友分水果糖，如果每人分4颗，则剩下20颗；如果每人分5颗，则差5颗。
求小朋友的人数和水果糖的颗数。
例2、育新小学买来一批铅笔，奖给三好学生。
如果每人奖5枝，则差2枝；如果每人奖7枝，则差98枝。
三好学生有几人？
铅笔有多少枝？
例3、学校给一批新入学的学生分配宿舍。
若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。
求学生宿舍有多少间？
住宿学生有多少人？
例4、小明从家到学校，如果每分钟走60米，就要迟到2分钟；如果每分钟走80米，就可以早到3分钟。
求小明家到学校的路程是多少？
例5、在桥上测量桥高，把绳子对折后一端垂到水面时绳子还剩余8米，把绳子三折后一端垂到水面时，绳子还剩余2米。
求桥高和绳长。
例6、有一个班的学生去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
这个班共有多少学生？
练习：
1、某读书小组的同学分一箱书，若每人分8本，则缺18本；若每人分6本，则缺2本。
这个小组共有多少个同学？
一箱书有多少本？
2、用化肥给麦田施肥，如果每公亩施6千克，就缺200千克；如果每公亩施5千克就剩下300千克。
那么有多少公亩麦田？
化肥有多少千克？
3、把一包糖果分给小朋友们，如果每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，则3人分不到，问这包糖有多少粒？
4、一只青蛙从井底往井口跳，若每天跳3米，则比原定时间迟2天，若每天跳5米，则比原定时间早2天，问井口到井底有多少米？
（四）还原问题
有这样一类数学问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前思考，这样问题就容易解决了。
这种解题方法叫做还原法或逆推法。
例1、某数加上6，乘以6，减去6后，再除以6，结果还是6。
这个数是多少？
例2、某人乘船从甲地去乙地，行了全程的一半多15千米时睡了觉，当他醒来时发现船又行了睡觉前剩下的一半少10千米，离乙地还有30千米。
问甲乙两地相距多少千米？
例3、一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一次运出一半少120克，第二次运出剩下的一半多100克，第三次运出480克，这时窝里还有280克。
问窝内原有多少食物？
例4、甲、乙、丙3个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果3个组所有图书本数刚好相等。
问甲、乙、丙3个组原来各有图书多少本？
练习：
1、爸爸买了一些苹果，全家人第一天吃了这些苹果的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个，问爸爸买了多少个苹果？
2、某人去储蓄所取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，还剩125元，他原有存款多少元？
3、甲、乙两个车站共停了136辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆汽车，而从乙站开到甲站45辆汽车，这时乙站所停汽车的辆数是甲站的3倍，原来甲站停放了多少辆汽车？
4、有4袋大米，如果从第一袋取8千克大米放入第二袋，从第二袋取出2千克大米放入第三袋，从第三袋取出5千克大米放入第四袋，从第四袋取6千克大米放入第一袋，这时每袋大米都是50千克，4袋大米原来各有多少千克？
（五）植树问题
若要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1。
全长、棵数、株距三者之间的关系是：
棵数=段数＋1=全长÷株距＋1
全长=株距×（棵数－1）
株距=全长÷（棵数－1）
若沿圆周植树，或要求在线路的一端植树，则棵数就比两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等，全长、棵数、株距之间的关系是：
全长=株距×棵数棵数=全长÷株距株距=全长÷棵数
例1、一条乡村公路长1920米，在公路两旁每隔6米种一棵树，两端都种。
需要种多少棵树？
例2、在一段公路的一旁栽95棵数，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公距长多少米？
例3、两棵树相隔115米在中间以相等距离增加22棵树后，第16棵与每1棵间相隔多少米？
例4、有一幢12层的大楼，某人从1层走到3层需要32秒。
以同样的速度，从3层走到12层，需要多少秒？
练习：
1、从校门口到街口一共有18根电线杆，相邻两根电线杆的距离都是30米，从校门口到街口长有多少米？
2、游泳池周长180米，沿池边每4米栽树一棵，需要栽树多少棵？
3、一块长方形地，长30米，宽24米，在地的四周种树，每隔6米种1棵，共种多少棵？
4、一根方钢长4米，要把它锯成相等的8段，每段长多少分米？
如果锯一下需要4分钟，一共需要几分钟才能锯完？
5、在一条长175米的大路两旁等距离地各栽一行树，起点和终点都栽，，一共栽52棵，求相邻两棵之间的距离？
6、新建路的一侧原有木电线杆97根，每相邻的两根相距40米。
现在计划全部换用大型水泥电线杆，每相邻两根相距60米，需要大型水泥电线杆多少根？
（六）年龄问题
无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的。
例1、爸爸妈妈现在的年龄和是72岁，5年后，爸爸比妈妈大6岁。
爸爸妈妈现在各是多少岁？
例2、父亲今年比儿子大36岁，3年后父亲年龄是儿子的5倍，今年儿子几岁？
例3、哥哥今年20岁，弟弟今年15岁。
试问当二人年龄和为75岁时，两人各应是多少岁？
例4、爷爷60岁，小明12岁。
再过多少年爷爷的年龄是小明年龄的3倍？
练习：
1、父亲今年比儿子大33岁，3年后，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，儿子今年几岁？
2、3年前，父子年龄和是59岁，现在父亲的年龄是儿子的4倍，父亲和儿子今年各几岁？
3、父子二人，父亲48岁，儿子21岁，那么，几年前父亲的年龄是儿子的4倍？
4、王强问老师今年多少岁，老师说：
“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经45岁了”，那么，这位老师今年多少岁？
（七）平面图形面积的计算
例1、一块正方形的地，若将它的边长各增加20米（如图），则面积增加4400平方米，原来这个正方形地的面积是多少公顷？
例2、如图是一块长方形草地，长16米、宽10米，中间有两条路，一条是平行四边形（一边是2米），一条是长方形（宽2米）。
求草地的面积。
例3、一个正方形的水池的周围，环绕着一条宽3米的小路（如图），小路的面积为300平方米，那么水池的面积是多少？
例4、把任意三角形ABC平均分成面积相等的4份，你能找到几种不同的方法？
例5、在下图梯形中，两个阴影部分面积的和是多少平方分米（单位：
分米）？
例6、如图，正方形ABCD边长是6厘米，三角形（甲）AFD是正方形的一部分，三角形（乙）FCE的面积比三角形AFD大6平方厘米，求CE的长多少厘米？
例7、如图，一个四边形被两条对角线分成四个三角形，其中三个三角形的面积分别25平方厘米、20平方厘米和30平方厘米，求图中阴影部分的面积？
例8、如图，两个相同的直角三角形部分叠在一起，求阴影部分的面积？
练习：
1、一个长方形的周长是49厘米，一个正方形的周长比这个长方形周长少13厘米，这个正方形的面积是多少平方厘米？
2、一个正方形的边长增加3分米，它的面积就增加39平方分米，求原正方形边长？
3、一块长50米，宽30米的草坪，修建以后，草坪的面积比原来大600平方米。
已知修建以后，长是60米，修建后宽增加了多少米？
4、一个长方形被分成了四个三角形，已知三个三角形的面积分别是30平方米、42平方米和50平方米，求阴影部分的面积。
5、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
6、平行四边形ABCD的面积是32平方厘米，BC的长是8厘米，∠A=450，求阴影部分的面积。
7、长方形长20厘米，宽12厘米，它的内部阴影部分的面积是多少？
8、两个完全一样的直角三角形部分重叠在一起，求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
9、如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EGF的面积大10平方厘米，求CF的长。
10、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米、30平方米，求阴影部分的面积。
（八）长方体和正方体
例1、把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。
每个正方体的表面积是多少平方厘米？
例2、把一个长方体的小木块截成两段，就成了两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的体积是多少立方厘米？
例3、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？
例4、一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少？
例5、下图是一个各面上依次标有1、2、3、4、5、6六个数字的长方体的三种不同摆法。
问：
这三种摆法左面上的数字之和是多少？
例6、一个长方体表面积78平方厘米，底面积15平方厘米，底面周长16厘米，求长方体的体积？
练习：
1、用3个长5厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体木块，拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
2、如图，大长方体长18厘米、宽9厘米、高6厘米，沿虚线切成若干个小长方体，表面积共增加多少平方厘米？
3、一个两底面是正方形的长方体铁盒，展开它的侧面可得到一个边长为12分米的正方形。
这个纸盒的体积是多少立方分米？
4、从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体后，剩下的部分正好是棱长4厘米的正方体，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
5、如图，先把整个正方体表面涂满红色，再在它的每个面上等距离切三刀，切面均为白色。
试问：
三面红、二面红、一面红、每个面都是白色的小方块各有多少个？
6、边长1米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。
问长方体的长和宽的和是多少米？
7、有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在大水池里，大水池的水面升高了多少厘米？
（九）行程问题
基本数量关系相遇问题追及问题
例1、甲、乙两人同时从两地骑自行车相向而行，甲的速度是每小时20千米，乙的速度每小时18千米，两人相遇时距中点3千米。
甲、乙两地相距多少千米？
例2、甲、乙两地相距100千米，两人同时从两地出发，相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，这只狗一共走了多少千米？
例3、一支2400米长的队伍以每分钟90米的速度行进，队伍前端的联系员用12分钟的时间跑到队伍末尾传达命令。
联络员每分钟跑多少米？
例4、兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分走90米，妹妹每分走60米。
哥哥到校门口时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校有多远？
例5、甲、乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇。
相遇后两列车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地60千米处。
求A、B两地间的路程。
练习：
1、一列火车于下午1时30分从甲站开出，每小时行60千米。
1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午6时两车相遇。
甲、乙两站相距多少千米？
2、甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。
汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。
如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的速度加快多少？
3、两地的距离是1120千米，有两列火车同时相向开出。
第一列火车每小时60千米，第二列火车每小时行48千米，在第二列火车出发时，从里面飞出一只鸽子，以每小时80千米的速度向第一列火车飞去，在鸽子碰到第一列火车时，第二列火车距离目的地多远？
4、甲、乙两队学生从相隔17千米的两地出发，相向而行。
一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间往返联络（停歇时间不计）。
如果甲队学生每小时走4.5千米，乙队学生每小时走4千米。
问两队学生相遇时，骑自行车的同学共走了多少千米？
5、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲车速度每小时行15千米，乙车速度每小时行13千米，两人相遇时，距离中点3千米，这两地距离是多少千米？
6、小明和小刚二人同时从学校出发去少年宫，已知学校到少年宫的路程是2400米，小明到少年宫后立即返回学校，在离少年宫300米处遇到小刚，此时他们离开学校已是30分钟，问小明和小刚每分钟各行多少米？
7、小强从甲地向乙地走，小华同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇时在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。
问：
甲、乙两地相距多少米？
8、小明在A、B两地间跑步，从A地出发，如果每分钟跑150米，就比计划时间晚2分钟到达B地；如果每分钟跑180米，就比计划时间提前3分钟到达B地。
A、B两地相距多少米？
（十）火车过桥问题
例1、一列火车长150米，每秒行20米。
全车通过一座450米长的大桥，需要多长时间？
例2、一列客车通过860米长的大桥需要45秒钟，用同样速度穿过620米长的隧道需要35秒钟。
求这辆客车的速度和车身的长度各是多少米？
例3、某小学三、四年级学生528人排成四路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分25米，前后两人都相距1米。
现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分。
这座桥长多少米？
例4、小明站在铁路边，一列火车从他身边开过用了2分。
已知这列火车长900米，以同样的速度通过一座大桥，用了5分。
这座大桥长多少米？
例5、在有上、下行的轨道上，两列火车相对开来，甲列火车的车身长235米，每秒行驶25米，乙列火车的车身长215米，每秒行驶20米。
求这两列火车从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？
练习：
1、一列火车全长215米，每秒行驶25米，要经过长960米的大桥，求全车通过需要多少秒钟？
2、一列长为140米的火车，以每秒10米的速度通过一条隧道，共用了30秒。
求这条隧道的长度？
3、一列火车通过一座长456米的桥需要80秒，用同样的速度通过一条长399米的隧道要77秒。
求这列火车的速度和长度。
4、某人沿着铁路旁的便道步行，一列客车从身后开来，在此人身旁通过的时间是7秒。
已知客车长105米，每小时行72千米。
步行人每秒行多少米？
（十一）较复杂的平均数问题
基本解题规律：
总数量÷总份数=平均数；
平均数×总份数=总数量；
总数量÷平均数=总数量。
例1、一次登山比赛中，小陈上山时每分钟走60米，18分钟到达山顶。
按原路下山时，每分钟走90米。
求小陈上山、下山往返一次的平均的速度。
例2、有甲、乙、丙三个数，甲、乙两数的和是149，乙、丙两数的和是123，甲、丙两数的和是130，求甲、乙、丙三数的平均值。
例3、五年级
（1）班统计数学考试成绩，得平均成绩为85.23分。
事后复查，发现将吴月的成绩96分误写成69分计算了，经重新计算后，该班数学平均成绩是85.77分，求这个班有多少名学生？
例4、高级奶糖每千克10元，普通奶糖每千克6元，水果糖每千克2元。
现将2千克高级奶糖、3千克普通奶糖和5千克水果糖混合在一起。
问这种杂拌糖每千克多少元？
例5、五年级
（1）班52人、
（2）班48人，数学考试中，两班全体学生的平均分为78分，
（2）班的平均分比
（1）班的平均分高5分，两个班的平均分各是多少分？
例6、有一条山路，一辆汽车上山时每小时行30千米，从原路返回下山时每小时行50米，求汽车上、下山的平均速度。
例7、李兵期中考试语文、英语、自然的平均成绩是76分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了3分。
李兵的数学成绩是多少？
练习：
1、甲、乙两地相距60米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米。
到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时行30千米。
这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？
2、张小红上学期共参加数学测试五次，前两次的平均分数是93分，后三次的平均分数是88分，张小红这五次测试的平均分数是多少？
3、奶糖35千克与水果糖65千克配成售价为每千克9元的什锦糖，奶糖每千克比水果糖贵2元，那么80千克奶糖，120千克水果糖配成什锦糖后，每千克售价多少元？
4、汽车从甲地到乙地每小时行36千米，从乙地返回甲地，每小时行24千米，这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米？
5、甲、乙、丙三个同学各拿出同样多的钱合买同样规格的练习本。
买来之后，甲和乙都比丙多要6本，因此，甲、乙分别给丙人民币0.96元。
求每本练习本的价钱是多少？
（十二）列方程解应用题
列方程解应题的优点：
可以使未知数直接参加运算。
列方程解应题的关键：
能正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。
例1、一个数的4倍加上8等于它的6倍减去4，求这个数。
例2、妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃4个，则多出48个苹果；如果每天吃6个，则少8个苹果。
请问：
妈妈买回苹果多少个？
计划吃多少天？
例3、三个数的平均数是8.6，其中第一个数是9.1，第二个数比第三个数小0.1，求第三个数。
例4、甲筐有苹果45千克，乙筐有苹果25千克，从乙筐中取出多少千克放在甲筐中，甲筐中的苹果是乙筐的4倍？
例5、某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得几元？
例6、一个邮递要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15千米可早到24分钟，如果每小时走12千米就要迟到15分钟。
求原规定时间是多少？
他去某地的路程有多远？
练习：
1、某旅行社，今年旅游旺季组织团体旅游57次，比去年同期组团的次数的3倍少6次，问去年同期组织团体旅游多少次？
2、一箱苹果24千克，一箱梨20千克，已知苹果、梨共有45箱，共重1004千克，求苹果和梨各有多少箱？
3、今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁、16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子的年龄的和？
4、五年级举行竞赛，共12
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