2017-2018学年天津市南开区高二(下)期末数学试卷(理科)和答案Word格式文档下载.doc

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9．（3分）函数f（x）＝x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） B．（﹣3，﹣2）

C．（﹣1，0） D．[﹣3，﹣2]

10．（3分）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（　　）

A．85 B．56 C．49 D．28

二、填空题：

本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案填在题中横线上.

11．（3分）若复数满足（1+i）z＝1+i3，则z的模等于　　．

12．（3分）函数y＝xcosx在x＝处的导数值是　　．

13．（3分）若，则a1+a2+a3+…+a7＝　　．

14．（3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是　　．

15．（3分）函数f（x）由下表定义：

x

2

5

3

1

4

f（x）

若a0＝5，an+1＝f（an），n＝0，1，2，…，则a2018＝　　．

三、解答题：

（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（11分）已知在的展开式中，第6项为常数项．

（1）求n的值；

（2）求展开式的所有项的系数之和；

（3）求展开式中所有的有理项．

17．（11分）已知a＞0，用分析法证明：

．

18．（11分）用数学归纳法证明：

＝．

19．（11分）甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局．

（Ⅰ）求乙取胜的概率；

（Ⅱ）记比赛局数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

20．（11分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；

（Ⅲ）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．

参考答案与试题解析

【解答】解：

∵＝，

∴复数的虚部是1．

故选：

B．

＝＝ln2﹣ln1＝ln2，

C．

切线斜率，

故切线方程是y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e．

根据题意，先将三张卡片全排列，有A33＝6种情况，

而每张卡片可以表示2个数字，即有2种情况，则三张卡片共有2×

2×

2＝8种情况，

则可以组成不同的三位数的个数为6×

8＝48个；

D．

因为5道题中有3道理科题和2道文科题，

所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P＝＝．

由题设离散型随机变量ξ～B（20，0.9），若随机变量η＝5ξ，

∴Eξ＝20×

0.9＝18，

∵η＝5ξ，

∴Eη＝E（5ξ）＝5Eξ＝5×

18＝90．

∵（m﹣2i）2＝（m2﹣4）﹣4mi表示的点在第一象限，

∴，解得m＜﹣2．

∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）．

∵随机变量X～N（1，52），

∴正态曲线关于x＝1对称，

∵P（X≤0）＝P（X＞a﹣2），

∴0与a﹣2关于x＝1对称，∴（0+a﹣2）＝1，

解得a＝4，

f′（x）＝2xex+x2ex＝x（2+x）ex，

∵函数f（x）＝x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点⇔f′（x）＝0在区间（a，a+1）上有解．

令f′（x）＝0，解得x＝0或﹣2．

∴a＜0＜a+1，或a＜﹣2＜a+1，

解得：

﹣1＜a＜0，或﹣3＜a＜﹣2，

∴实数a的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．

A．

∵丙没有入选，

∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，

∵甲、乙至少有1人入选，

∴由条件可分为两类：

一类是甲乙两人只选一个的选法有：

C21•C72＝42，

另一类是甲乙都选的选法有C22•C71＝7，

根据分类计数原理知共有42+7＝49，

11．（3分）若复数满足（1+i）z＝1+i3，则z的模等于　1　．

∵复数满足（1+i）z＝1+i3，

∴z＝＝＝＝＝﹣i．

∴|z|＝1．

故答案为：

1．

12．（3分）函数y＝xcosx在x＝处的导数值是　　．

y′＝x′cosx+x（cosx）′＝cosx﹣xsinx

所以y＝xcosx在处的导数值是

故答案为

13．（3分）若，则a1+a2+a3+…+a7＝　﹣2　．

令x＝1代入二项式（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7＝a0+a1+…+a7＝﹣1，

令x＝0得a0＝1，∴1+a1+a2+…+a7＝﹣1，

∴a1+a2+…+a7＝﹣2，

﹣2．

14．（3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是　　．

设此射手每次射击命中的概率为p，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，

由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1﹣＝．

则（1﹣p）4＝，

解可得p＝；

若a0＝5，an+1＝f（an），n＝0，1，2，…，则a2018＝　1　．

由表格可知：

f（5）＝2，f

（2）＝1，f

（1）＝4，f（4）＝5，f（3）＝3．

又a0＝5，an+1＝f（an），n＝0，1，2，…，

∴a1＝f（a0）＝f（5）＝2，a2＝f（a1）＝f

（2）＝1，a3＝f（a2）＝f

（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝5，a5＝f（a4）＝f（5）＝2，…．

∴an+4＝an，数列的周期为：

4；

∴a2018＝a504×

4+2＝a2＝1．

（1）在的展开式中，第6项为T6＝••为常数项，

∴＝0，∴n＝10．

（2）在＝的展开式中，

令x＝1，可得展开式的所有项的系数之和为＝．

（3）二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝••，

令为整数，可得r＝2，5，8，

故有理项分别为T3＝••x2＝x2，

T6＝•（﹣）•x0＝﹣；

T9＝••x﹣2＝•x﹣2．

【解答】证明：

要证．

只要证+2≥a++

∵a＞0，

∴两边均大于零，因此只需证（+2）2≥（a++）2，

只需证≥（a+），

只需证a2+≥（a2++2）

即证a2+≥2，它显然成立．

∴原不等式成立．

（1）当n＝1时，左边＝＝右边，等式成立．

（2）假设当n＝k时等式成立，即++…+＝

当n＝k+1时，左边═++…++＝+＝＝＝＝

∴当n＝k+1时，等式也成立．

综合

（1）

（2），等式对所有正整数都成立．

（Ⅰ）乙取胜有两种情况

一是乙连胜四局，其概率p1＝（）4，

二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，

其概率p2＝＝，

∴乙胜概率为p＝p1+p2＝．

（Ⅱ）由题意得X＝4，5，6，7，

P（X＝4）＝（）2＝，

P（X＝5）＝＝，

P（X＝6）＝（）4+＝，

P（X＝7）＝+＝，

所以ξ的分布列为

ξ

6

7

P

EX＝（4+5+6+7）×

（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，．…（1分）

因为f'

（1）＝0，f

（1）＝﹣2，…（2分）

所以切线方程为y＝﹣2．…（3分）

（Ⅱ）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．

当a＞0时，（x＞0），…（4分）

令f'

（x）＝0，即，所以或．…（5分）

当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，

所以f（x）在[1，e]上的最小值是f

（1）＝﹣2；

…（6分）

当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合题意；

当时，f（x）在（1，e）上单调递减，

所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f

（1）＝﹣2，不合题意．…（7分）

综上可得a≥1．…（8分）

（Ⅲ）设g（x）＝f（x）+2x，则g（x）＝ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．…（9分）

而，…（10分）

当a＝0时，，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；

…（11分）

当a≠0时，只需g'

（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a≥0，

对于函数y＝2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴，只需△＝a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．…（12分）

综上可得0≤a≤8．…（13分）

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2019/3/421:

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