武汉理工大学数值分析考试试题及答案.docx
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武汉理工大学数值分析考试试题及答案
1、①工程中数值方法的主要思想
答：
工程总，把理论与实际情况相结合，用数值方法直接求解较少简化的模型，及忽略一些无关的因素求出近似值，又使得到的景近似解满足程变得要求
2数值方法中误差产生的原因
答：
当数值模型不能得到精确解释，通常要用数值方法求接触他的近似解，七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。
当用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程总中有产生误差，这种误差称为舍入误差。
b5E2RGbCAP
3数值方法应用对象
由数学模型给出的数值计算方法，以及根据计算方法编制的法
程序
2、取x=1、2、2时fvx）=2、0、1，计算f（x＞在x=1处得近似解
Xi
1
2
3
f2
0
1
解：
二次拉格朗日插值多项式为
2
Lk=0
lo（x0_x1）（x0_x2）（1_2）（1_3）2
12（X2_X0）（X2_xi）（3_1）（3_2）2
2
贝ULk卫
11
=-22
3213
=—x-x+7
22
所以L<1）=3XV1）2-空XV1）+7
22222
=33
8
即f（X>在X=1处得景近似解为33
28
3、ff:
：
，f1与f2
解f4,X1-1,11,M
f'x>=4所以ffh=4空却f（x）=maxf（—1）,f
（1）}
=max16,0=16
f|1=jf（x）|dx=L（x-1）4dx
1（x-5）5
5
1
32
--l|fL=^（x-1）4dx|2=『：
（x—1）8d」2
29
19
=_9（xT）
1
16、2
1的正交多
4、对权函数r（x）J—x，区间［—1,1］,试求首项系数为项式n（x）,n=0,123.
解：
若珥X）=1—X2，则区间［-1,1］上内积为
1
（f,g）jf（x）g（x”（x）dx
定义o（X）=1，则
:
n1（X）=（X—宀）：
：
n（X）—:
n：
n」（X）
其中
■n=（X；（X）,n（X））/（,X）,「n（X））
：
n=（「n（X）,「n（X））/（2（X）,心（幼
：
0=（X,1）/（1,1）
12
」x（1x2）dx
=~2
』x2）dx
=0
】（x）二x
2
M=（x,x）/（x,x）：
x3（1x2）dxJ；x2（1+x2）dx
=0
S=（x,x”（1,1）
]x2（1+x2）dx
z3222\〃2222\
：
-2=（xx,x）/（x,x）
5555
132222
（X3一匚x）（x2一匚）（1x2）dx
55
：
心2）（宀5）（1
-0
x2）dx
■2=（X2-|,X2-|）/（x,x）
55
122222
1（x^-）（x^-）（rx2）dx」55
一1~22
」X2（1x2）dx
解:
:
f（x）=ex,x0,11.f（x）=ex,f（x）=ex0
af（b）-f（a）e1
a1e-1
b-a
ex2二e-1x2-ln（eT）
f（x2）=ex2=eT
a0=
f（a）f（X2）
2
f（b）-f%
b—a
ax2
2
1（e_1）
2
-（e-1）
In（e-1）
2
=*ln（e-1）
于是得f（x）的最佳一次逼近多项式为
e1
R（x）=t+（e-1）[x—n（e-1）]
22
1
=（e-1）x—[e-（e-1）ln（e-1）]
2
6、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1
1（1-e'）2
（2）dx,n=10;
0x
⑶1xdx,n=4;
⑷06*4-sin2「d「,n=6;
ji
解:
1x
（1）n=8,a=0,b=1,h,f（x）2
84+x
复化梯形公式为
h7
T8二一[f（a）2f（xjf（b）]=0.11140
2k吕
复化辛普森公式为
h77
S8「[f（a）4、f（x「）2'f（xjf（b）]=0.11157
6k=0k2k=1
1
1（1一「）2
⑵n=10,a=0,b=1,h,f（x）=
10x
复化梯形公式为
h9
人0蔦[f（a）2、f（xjf（b）]=1.39148
2k±i
复化辛普森公式为
h99
S0二[f（a）4、f（x「）2、f（xQf（b）]=1.45471
6k£2k#
复化梯形公式为
3
T4
—[f（a）2f（xQf（b）]=17.22774
2k4
—3
「6[f（a）4：
严
复化辛普森公式为
3
!
）2、f（Xk）f（b）]=17.32222
2k4
2..
（4）n=6,a“,b，—,f（x"4-sin
636
复化梯形公式为
—5
T6二一[f（a）2、f（xk）f（b）]=1.03562
2y
复化辛普森公式为
—55
£二—[f（a）4、f（xJ2、f（xQf（b）]=1.03577
6心k占心
1
8.628283心0^
-4.446923X0』
因此I:
0
（3）I=0x一1x2dx
k
T0（k）
*
T（k）
12
T3（k）
T（k）
I4
T（k）
T5
0
14.2302
495
1
11.1713
10.1517
699
434
2
10.4437
10.2018
10.2045
969
725
744
3
10.2663
10.2072
10.2076
10.2076
672
240
207
691
4
10.2222
10.2075
10.2075
10.2075
10.2075
702
712
943
939
936
5
10.2112
10.2075
10.2075
10.2075
10.2075
10.2075
607
909
922
922
922
922
因此匕I10.2075922
7、对f（x）,g（x）C1[a,b]，定义
b
（1）（f,g）=Lf[x）g（x）dx
b
（2）（f,g）二af（x）g（x）dxf（a）g（a）
问它们是否构成内积。
解：
（1）令f（x）=C则f（x）=0
而（f,f）=[f（x）f（x）dx
这与当且仅当f三0时，（f,f）=0矛盾
-不能构成C1[a,b]上的内积。
⑵若（f,g）=ff（x）g（x）dx+f（a）g（a），贝U
a
b
（g,f）二ag（x）f（x）dxg（a）f（a）=（f,g）,-：
K
b
（af,g）=：
[[af（x）]g（x）dx+af（a）g（a）
b
=：
[f（x）g（x）dxf（a）g（a）]
a
「（f,g）
-h•C1[a,b],则
b
（f+g,h）=[[f（x）+g（x）]h（x）dx+[f（a）g（a）]h（a）
bb
f（x）h（x）dxf（a）h（a）亠！
f（x）h（x）dxg（a）h（a）
aa
=（f,h）（h,g）
b22
（f,f）=[[f'（x）]dx+f（ap0
若（f,f）=0，则
f[f（x）]2dx=0,且f2（a）=0
f（x）三0,f（a）=0
.f（x）三0即当且仅当f=0时，（f,f）=0.
故可以构成C1[a,b]上的内积。
8已知一组实验数据如表，求它的拟合曲线。
Xi
1
2
3
4
5
f4
3
5
4
2
Wi
1
1
2
1
1
4
：
o,：
0八Wi=6.
7；
解：
设拟合曲线平p44
0,1二'Wi：
0（x）1（X）='WiXi=18
i^0i二0
44
2
•：
1,1八Wi：
1（X）：
1（X）二'wi：
1=64
i=0i=0
44
「0,fwif（xi）=23；r,f='wixif（xi）=66
i=0i=0
n
由法方程（L[）6=dj,k=0,1得线性方程组口
'71
ra0—
6a0+18^=23;15
'=3
18a°+64a1=66a1=—
J01,10
于是所求拟合曲线
P1510
9、求解x2-x-1，
（1）牛顿法，<2）二分法
解：
牛顿法:
设fXk1=Xk
f（xk）,k=1,2,3取x0__1,f'（x）=2x_1
f'（Xk）
此方法算得的f（xk）越来越趋近于零。
二分法：
f1f<-1）f<1）<0的实根在1-1,11之内
2设a=-1,b=1,取a,b啲中点x。
=0,而f（0）=-1<0rf（x）的实根在
1-1,01之内，则令a^i=a=-1,6=b=1，P1EanqFDPw
3取a1,b11的中点X1二一丄而f（--）=-丄<0,f（x）的实根在-1,丄之内,
2,24]2」
1
则令a2=a--1,b2=b=
……如此反复下去，当x—Xk£E,kX1的整数，功预定的精度
由此便可求得符合精度要求的解
10、写出线性方程组
⑴雅克比行列式⑵高斯一赛德尔迭代法DXDiTa9E3d
解：
见课本187到190
申明:
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用
l）=（x-x0）（x-xl2）=（x-1）（x-3）=-vx-1）vx-3）
（XI—X0）（X1—X2）（2—1）（2—3）
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