小学奥数必须掌握的30个知识点.docx
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小学奥数必须掌握的30个知识点
小学奥数必须掌握的30个知识点
1．和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①（和－差）÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数
②（和＋差）÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数
和÷（倍数＋1）=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数
差÷（倍数-1）=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数
关键问题 求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3．归一问题
归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量；
4．植树问题
基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树
基本公式 棵数=段数＋1
棵距×段数=总长棵数=段数－1
棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5．鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错
的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚
数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚
数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照
另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果
的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结
果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出
对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：
总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；基本公式：
总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：
总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7．牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的
生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长
时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8．周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰年：
一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400
整除；
平年：
一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与
所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有
给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系
见基本公式②。
10．抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个
抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有
2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有
一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后
依据抽屉原则进行运算。
11．定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12．数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中
涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及
四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1）×公差；
数列和公式：
sn,=（a1+an）×n÷2；
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
项数公式：
n=（an+a1）÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：
d=（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示
不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以
234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+
An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：
N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示
不同的含义。
（2）=
An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，
然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个
差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点
即可写出。
14．加法乘法原理和几何计数加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种
不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中
有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同
的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有
m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……
不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件
任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
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