魏宗舒版《概率论与数理统计教程》课后习题解答Word下载.doc
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1.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。
从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。
所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。
1.7一个小孩用13个字母作组字游戏。
如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？
解显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。
所以
1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。
故所求概率为
1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。
电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。
事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。
所以包含个样本点，于是。
1.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。
问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
解用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以
-
1.11任取一个正数，求下列事件的概率：
（1）该数的平方的末位数字是1；
（2）该数的四次方的末位数字是1；
（3）该数的立方的最后两位数字都是1；
解
（1）答案为。
（2）当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为
（3）一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。
用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是
1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。
然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。
求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。
并把上述结果推广到根草的情形。
解
（1）6根草的情形。
取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。
用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。
所以包含的样本点数为，于是
（2）根草的情形和
（1）类似得
1.13把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。
如果每一种放法都是等可能的，证明
（1）某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，
（2）恰好有个盒的概率为，
（3）指定的个盒中正好有个球的概率为，
解略。
1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解所求概率为
1.15在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。
解截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。
1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。
一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。
因此所求概率为
1.17在线段上任取三点，求：
（1）位于之间的概率。
（2）能构成一个三角形的概率。
解
（1）
（2）
1.18在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。
解分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。
分别用表示边，二边与平行线相交，则显然，，。
[]
（用例1.12的结果）
1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？
试举例说明之。
解概率为零的事件不一定是不可能事件。
例如向长度为1的线段内随机投点。
则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。
1.20甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。
试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，
则样本空间{，，…，}，并且，
，，…，
甲取胜的概率为+++…
乙取胜的概率为+++…
1.21设事件及的概率分别为、及，求，，，
解由得
，
1.22设、为两个随机事件，证明：
（1）;
（2）.
证明
（1）=
（2）由
（1）和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23对于任意的随机事件、、，证明：
证明
1.24在某城市中共发行三种报纸：
甲、乙、丙。
在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
（1）只订甲报的；
（2）只订甲、乙两报的；
（3）只订一种报纸的；
（4）正好订两种报纸的；
（5）至少订一种报纸的；
（6）不订任何报纸的。
解事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。
（1）==30%
（2）
（3）
++=++=73%
（4）
（5）
1.26某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解用表示“第张考签没有被抽到”，。
要求。
，，……，
，……
1.27从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？
解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。
用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。
则
，……
1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解用分别表示男孩和女孩。
则样本空间为：
其中样本点依年龄大小的性别排列。
表示“有女孩”，表示“有男孩”，则
1.30设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，
（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解
（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，表示“所取产品都是不合格品”，则
（2）设表示“所取产品中至少有一件合格品”，表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。
1.31个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
（1）已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；
（2）第个人摸到的概率。
解设表示“第个人摸到”，。
（1）
1.32已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：
一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。
解用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有个下一代”，则
1.33某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解用表示“任选一名射手为级”，，表示“任选一名射手能进入决赛”，则
1.34在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。
现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解用表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式：
1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:
3:
2:
1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:
1。
当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
解则，，，
，，，
由贝时叶斯公式得
1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。
如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机不会迟到。
结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
解用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。
则
1.37证明：
若三个事件、、独立，则、及都与独立。
证明
（1）
=
（2）
（3）=
1.38试举例说明由不能推出一定成立。
解设，，，
，，，则，
但是
1.39设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：
（1）个事件全不发生；
（2）个事件中至少发生一件；
（3）个事件中恰好发生一件。
解
（1）
（3）.
1.40已知事件相互独立且互不相容，求（注：
表示中小的一个数）。
解一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以
1.41一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
（1）两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；
（2）三个人为型，两个人为型；
（3）没有一人为。
解
（1）从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为：
1.42设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？
又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，，表示“击中飞机”。
则，。
（2）,
取。
至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。
解用表示“在成功次之前已失败了次”，表示“在前次试验中失败了次”，表示“第次试验成功”
则
1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。
求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。
解用表示“甲盒中尚余根火柴”，用表示“乙盒中尚余根火柴”，分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”，表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。
所以
由对称性知，所求概率为：
第二章离散型随机变量
2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
（1）
（2）
（3）（4）
解
（1）是
（2），所以它不是随机变量的分布列。
（3）,所以它不是随机变量的分布列。
（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。
2.2设随机变量的分布列为：
，求
（1）;
（2）；
（3）。
（2）;
2.3解设随机变量的分布列为。
求的值。
解，所以。
2.4随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。
解根据题意知，其中常数待定。
由于，所以，即的分布列为，取正整数。
2.5一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。
设此时取出了个白球，求的分布列。
解设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：
2.6设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。
解
2.7一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。
2.8抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。
解，其中。
2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解设，表示第二名队员的投篮次数，则
+；
2.10设随机变量服从普哇松分布，且，求。
解。
由于得（不合要求）。
所以。
2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。
查普哇松分布的数值表，得。
2.12如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。
已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
解设为时间内通过交叉路口的汽车数，则
时，，所以；
时，，因而
2.13一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。
试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为
利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于
2．14某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？
解设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使
，
利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。
2.15设二维随机变量的联合分布列为：
求边际分布列。
2.17在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。
从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、、，求的联合分布列与各自的边际分布列。
解，
，；
，。
2.18抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。
2.21设随机变量与独立，且，
又，定义，问取什么值时与独立？
解=
而，由得
2.22设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。
证明
因为
所以相互独立。
同理与相互独立。
但是，因而不相互独立。
2.23设随机变量与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。
）
证明设。
若，则
将
（2）式减去
（1）式，得：
，于是。
同理。
因此，与（3）式矛盾。
2.24已知随机变量的分布列为，求与的分布列。
解分布列为，，；
的分布列为，，。
2.25已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。
解,,,
2.26设离散型随机变量的分布列为：
，：
，且相互独立，求的分布列。
解
2.27设独立随机变量分别服从二项分布：
与，求的分布列。
解设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而
2.28设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为
求的分布列。
解
2.29设随机变量具有分布：
，求、及。
解，，
+4+4=27
2.30设随机变量具有分布：
，求及。
解，
2.31设离散型随机变量的分布列为：
，问是否有数学期望？
解，因为级数发散，所以没有数学期望。
2.32用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：
（甲组）1，2，2，5，10（克）
（乙组）1，2，3，4，10（克）
（丙组）1，1，2，5，10（克）
问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？
解设、、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有
物品重量度12345678910
1122122331
1111222331
1123122341
于是
所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。
2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：
0米的概率是0.49,米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。
解设场地面积为，边长的误差为米，则且
2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、、。
试证发生故障的仪器数的数学++。
证令
为发生故障的仪器数，则，
所以++。
2.37如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。
解设，
则的分布列为，因而。
设为查得的不合格品数，则
，所以。
2.38从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。
解设为所选两个数字之差的绝对值，则，
于是。
2.39把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。
解设则的分布列为：
于是，设匹配数为，则，因而。
2.40设为取非负整数值的随机变量，证明：
证明
（1）由于存在，所以该级数绝对收敛。
从而
（2）存在，所以级数也绝对收敛，从而
2.41在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。
解设成功与失败均出现时的试验次数为，则
，
利用上题的结论，+=1+
2.42从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。
如果
（1）摸球是为返回的，
（2）摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：
取出黑球数的数学期望。
2.43对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。
设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件？
2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。
求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。
解设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，则
因独立同分布，，由此得：
，，
，。
2.46设随机变量与独立，且方差存在，则有
（由此并可得）
2.47在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：
（1）第一个数取后放回，再取第二个数；
（2）第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。
解
（1）.
2.49在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令
求在的条件下，的分布列。
解
2.50设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证：
证明
由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以
2.51设，，…，为个相互独立随机变量，且服从同一几何分布，即有。
试证明在的条件下，的分布是均匀分布，即
，其中.
由于，，…，相互独立且服从同一几何分布，所以
从而。
第三章连续型随机变量
3.1设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：
（1）；
（2）；
（3）；
解：
（2）；
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