晶体学基础晶向指数与晶面指数Word文档下载推荐.docx
《晶体学基础晶向指数与晶面指数Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《晶体学基础晶向指数与晶面指数Word文档下载推荐.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
<
100>
：
[100][010][001][
][
]
111>
[111][
图3正交点阵中的几个晶向指数
2晶面指数的确定
国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来暗示晶面指数（hkl）.图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下.
图4晶面指数的确定
（1）建立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c.
（2）求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc.如该晶面与某轴平行，则截距为∞.（3）取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc.
（4）将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l=1/xa∶1/yb∶1/zc.
（5）如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内，写成（hkl），则（hkl）就是待标晶面的晶面指数.
晶面指数所代表的不但是某一晶面，而是代表着一组彼此平行的晶面.
代表一组平行的晶面；
b0的意义：
面与对应的轴平行；
c平行晶面：
指数不异，或数字不异但正负号相反；
d晶面族：
晶体中具有不异条件（原子排列和晶面间距完整不异），空间位向分歧的各组晶面，用{hkl}暗示.
在立方系中，{100}：
（100）（010）（001），{110}：
（110）（101）（011）（
10）（
01）（0
1），{111}：
（111）（
11）（1
1）（11
）
e若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;
f若晶面与晶向垂直，则u=h,k=v,w=l.
立方系经常使用晶面指数图5.
图5立方系经常使用晶面指数
例子：
请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面.
首先选定坐标系，如图所示.然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2.取倒数后得到2，3/2，2.再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数.因而该面的晶面指数为（434）.
图6
图7晶面指数的标注
所有彼此平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然分歧，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到响应的最小整数.是以，所有彼此平行的晶面，其晶面指数不异，或者三个符号均相反.可见，晶面指数所代表的不但是某一晶面，而且代表着一组彼此平行的晶面.
图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族
3关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：
（1）参考坐标系通常都是右手坐标系.坐标系可以平移（因此原点可置于任何地位）.但不克不及动弹，否则，在分歧坐标系下定出的指数就没法彼此比较.
（2）晶面指数和晶向指数可为负数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（
），[
]等.
（3）若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向（当n>
0），或是反向（当n<
0）.但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）普通都会改变，除非n=1.
从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字不异，只是符号（正负号）和排列次序分歧.如许，我们只需根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面.另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包含的全部等价晶面.
对于非立方晶系，因为对称性改变，晶面族所包含的晶面数目就纷歧样.例如正交晶系，晶面（100），（010）和（001）其实不是等同晶面，不克不及以{100}族来包含.
与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<
暗示.仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<
，<
110>
112>
和<
123>
等晶向族所包含的等价晶向.
当前，在讨论晶体的性质（或行为）时,若碰到晶面族或晶向族符号，那就暗示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因此没有须要区分具体的晶面或晶向.
另外，在立方晶系中，具有不异指数的晶向和晶面肯定是相垂直的，即[hkl]⊥（hkl）.
上面我们用三个指数暗示晶面和晶向.这类三指数暗示方法，准绳上适用于任意晶系.对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°
，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示.
图9六方晶体的等价晶面和晶向指数
但是，用三指数暗示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数.这一点可以从图9看出.图中六棱柱的两个相邻概况（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（1
）和（100）.图中夹角为60°
的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110].
因为等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就没法从指数判断其等价性，也没法由晶面族或晶向族指数写出它们所包含的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研讨带来很大的方便.为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数暗示，而采取四指数暗示（密勒-布拉菲指数）.
四指数暗示是基于4个坐标轴：
a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-（a1+a2）.上面就分别讨论用四指数暗示的晶面及晶向指数.
图10六方晶体的四轴零碎
（1）六方晶系晶面指数的标定
六方晶系晶面指数的标定道理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a1，a2，a3和c轴上的截距可求得响应的指数h，k，i，l，因而晶面指数可写成（hkil）.
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超出三个.利用上述方法标定的晶面指数方式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只要两个是独立的，它们之间有以下的关系：
i=-（h+k），是以，可以由前两个指数求得第三个指数.
六方晶体中罕见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中.从图看出，采取四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数.例如：
共6个等价面（Ⅰ型棱柱面）.
共6个等价面（Ⅱ型棱柱面）.而{0001}只包含（0001）一个晶面，称为基面.六方晶体中比较次要的晶面族还有
，请读者写出其全部等价面.
图11六方晶体中罕见的晶面
（2）六方晶系晶向指数的标定
采取四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：
当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP可暗示为：
OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]暗示，其中t=-（u+v）.原子排列不异的晶向为同一晶向族，图12中a1轴为[
]，a2轴[
]，a3轴[
]均属〈
〉，其缺点是标定较麻烦.可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再利用公式转换为[uvtw].采取三轴坐标系时.C轴垂直底面，a1、a2轴在底面上，其夹角为120o，如图12，确定晶向指数的方法同前.采取三轴制虽然指数标定简单，但原子排列不异的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽不异，例如[100]，[010]，[
]，见图12.
图12六方晶系的一些晶面与晶向指数
六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可彼此转换如下
，
.例如，[
]→[
]，[100]→[
]，[010]→[
]，如许等同晶向的晶向指数的数字都不异.
标定方法通常采取行走法.用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会碰到一个新的成绩，即解是不独一的.例如，a1轴的指数可所以
，也能够是[2000]；
a2轴的指数可所以
，也能够是[0200].分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有类似的四指数，就须要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零.若将晶向指数写成[UVTW]，则上述附加条件可写成：
U+V+T=0，或T=-（U+V）.按照这个附加条件，上述a1轴的指数就应当是
，而不是[2000]；
同样，a2和a3轴的指数分别是
和
.
图13中标出了六方晶体中各次要晶向的四指数，它们是[0001]，
等等.
图13六方晶体中罕见的晶向
除上述几个特殊晶向外，对普通的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难包管在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件T=-（U+V）.比较可靠的标注指数方法是解析法.该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W.
（1-1）
T=-（U+V）
W=w
此公式可证实如下.
因为三指数和四指数均描述同一晶向，故：
Ua1+Va2+Ta3+Wc=ua1+va2+wc
（1-2）
又由几何关系：
a1+a2=-a3
（1-3）
再由等价性请求：
T=-（U+V）
（1-4）
解以上三个联立方程，即得到：
u=2U+V，v=2V+U，w=W
（1-5）
（1-5）式和（1-1）式可用矩阵暗示如下：
=
上面举两个例子.
例1请写出a1轴的晶向指数.
解：
从晶胞图直接得到：
u=1，v=0，w=0，按（1-1）式算得：
故
例2请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数.
从晶胞图可看出：
D=a1+（-a3）=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入（1-1）式得到：
U=1，V=0，T=-1，W=0，故
5立方和六方晶体中次要晶向的快速标注
在当前各章将多次碰到立方和六方晶体中的一些低指数次要晶向，须要敏捷确定其指数.根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：
“指数看特征，正负看走向”.就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；
根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定响应于该轴的指数的正负.上面具体讨论立方和六方晶体中的各次要晶向.
（1）立方晶体
立方晶体中各次要晶向的特征如下：
（1）<
是晶轴.若沿着a轴，则第一指数为1，顺次类推；
如果“逆轴”（如沿-a轴），则响应指数为
（2）<
是立方体面对角线.若面对角线在a面（即（100）面）上，则第一指数为零，其余两个指数为1或
（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”响应的晶轴）.
（3）<
是体对角线.三个指数都是1或
，取决于该对角线与响应轴的交角（锐角为1，钝角为
）.
（4）<
是顶点到对面（即欠亨过该顶点的{100}面）面心的连线.如果对面是a面，则第一指数为2或
，其余两个指数为1或
（2）六方晶体
六方晶体中各次要晶向的特征如下：
（1）[0001] c轴.
（2）
和a1，a2或a3轴平行的晶向.和哪个轴正（或反）平行，则响应的指数就是2（或
），其余三个指数就是
，0（或1，1，0）.
（3）
两个晶轴±
ai和
aj交角的平分线（i、j=1，2，3，i≠j）.例如，
是+a1轴和-a3轴交角的平分线；
是-a2轴和+a3轴交角的平分线等等.
根据以上几类晶向指数，还可以敏捷求得某些不服行于基面的次要晶向.方法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT0]，而w可从晶胞图中直观看出.例如，求图1-19中MN的指数时，先将MN平移至原点，找出其投影ON'
的指数
，从图1-19中可直观看出W=1，故MN的指数
，化整后得到
6晶带
订交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴.设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl）都必须满足：
hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h1k1l1）和（h2k2l2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：
图14晶带轴
7晶面间距
一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距.两近邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl暗示.对于分歧的晶面族{hkl}其晶面间距也分歧.总的来说，低指数晶面的面间距较大，高指数晶面的面间距较小.
图15晶面间距
图16晶面间距公式的推导
由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：
d=a/（h2+k2+l2）1/2，正交系：
，立方系：
，六方系：
.此公式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要考虑晶面层数的添加.例如，体心立方（001）面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞
的一半，等于
.由公式也可看出低指数晶面的面间距大.
三晶体的极射赤面投影
采取立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角.通过投影图可将立体图表示于平面上.晶体投影方法很多，广泛利用的是极射赤面投影.
1参考球与极射赤面投影
（1）参考球
设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中间，因为晶体很小，可认为各晶面均通过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17.球面投影用点暗示响应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，（110）与（010）夹角为45o.但使用上仍不方便.可在此基础上再作一次极射赤面投影.
图17参考球与立方系球面投影
（2）极射赤面投影
以球的南北极为观测点，赤道面为投影面.连结南极与北半球的极点，连线与投影面的交点即为晶面的投影，如图18.投影图的鸿沟大圆与参考球直径相等叫基圆.位于南半球的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分.也可选与赤道平行的其他平面作投影面，所得投影图外形不变，只改变其比例.对于立方系，不异指数的晶面和晶向互相垂直、所以立方系尺度投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向.若将参考球比较为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投影.
图18极射赤面投影
2尺度投影图
以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部次要晶面的极射投影图称为尺度投影图.普通选择一些次要的低指数晶面作投影面，如立方系（001），（011），（111）及六方系（0001）等.例如（001）尺度投影图是以（001）为投影面，进行极射投影而得到的，如图19.
图19立方系（001）尺度投影图
3吴氏网
吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为2o，具有保角度的特性.其读数由中间向外读，分东，南，西，北.吴氏网如图20所示.
图20吴氏网（分度为2o）
使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须分歧.利用吴氏网可方便读出任一极点的方位，并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研讨晶体投影，晶体取向等成绩的无力工具.在测量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点.将透明纸盖于吴氏网上.两圆圆心始终重合，动弹透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基因上，同一经线上.两点纬度差（在赤道上为经度差）就等于晶面夹角.不克不及转到某一纬线去测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角.
例题
1.已知纯钛有两种同素异构体，低温波动的密排六方结构
和高温波动的体心立方结构
，其同素异构改变温度为℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知aa20℃=0.2951nm,ca20℃=0.4679nm,aβ900℃）.
答案
20℃时为α-Ti：
hcp结构
当h+2k=3n（n=0,1,2,3…），l=奇数时，有附加面.
；
900℃时为β-Ti：
bcc结构
当
奇数时，有附加面.
内容提要
晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其分歧方向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采取极射投影方法来分析晶面和晶向的绝对位向关系.
重点与难点
1晶向指数与晶面指数的标注；
2晶面间距的确定与计算；
3极射投影与Wulff网.
次要概念与名词
晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，晶面间距，极射投影，极点，吴氏网，尺度投影.
[UVW]与[uvtw]之间的互换关系：
晶带定律：
立方晶系晶面间距计算公式：
六方晶系晶面间距计算公式：
习题
1标出具有以下密勒指数的晶面和晶向：
a）立方晶系
b）六方晶系
2在立方晶系中画出
晶面族的所有晶面，并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全部等价晶面和晶向的密勒指数.
3在立方晶系中画出觉得
晶带轴的所有晶面.
4试证实在立方晶系中，具有不异指数的晶向和晶面肯定彼此垂直.
5已知纯钛有两种同素异构体，低温波动的密排六方结构
℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知aa20℃=0.2951nm,ca20℃=0.4679nm,
aβ900℃）.
晶向指数：
[uvw]即为AB晶向的晶向指数.
如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方.[2
1]和[
1
]就是两个彼此平行、方向相反的晶向.
因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<
暗示
对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[
00]、[0
0]、[00
]等六个晶向，它们的性质完整不异，用<
对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向其实不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质其实不不异.
图1-19{100}，{111}，{110}晶面族
在立方系中：
{100}=（100）、（010）、（001）；
{110}=（110）（101）（011）（
1）；
{111}=（111）、（
11）、（1
1）、（11
{123}=（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；
（
23）、（
32）、（
31）、（
13）、（
12）、（
21）；
（1
3）、（1
2）、（2
1）、（2
3）、（3
2）、（3
（12
）、（13
）、（23
）、（21
）、（31
）、（32
）.共24组晶面
晶面指数用来分别暗示原子的排列构成的很多分歧方位的晶面.如（111）
在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完整不异的，晶面间距也不异，独一分歧的是晶面在空间的位向，一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}暗示.
在立方晶系中，具有不异指数的晶向和晶面肯定是相垂直的，即[hkl]垂直于（hkl）.例如：
[100]垂直于（100），[110]垂直于（110），[111]垂直于（111），等等.但是，此关系不适用于其它晶系.
右边图，a1、a2、c为晶轴，而a1与a2间的夹角为120度.六方晶系六个柱面的晶面指数为（100）、（010）、（
10）、（
00）、（0
0）、（1
0）这六个面是同类型晶面，但其晶面指数中的数字却不异.晶向指数也有类似情况，例如[100]和[110]是等同晶向，但晶向指数却不不异.为了解决这一成绩，可采取公用于六方晶系的指数标定方法.
（右图）
升级会员 