多相滤波器的设计及仿真Word文档格式.doc
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3.5用加权函数展宽输出滤波器 11
3.6改变输出采样速率 12
3.7多相滤波器实现信道化 13
第四章多相滤波器的MATLAB仿真 14
引言 14
4.1数字滤波器设计的理论基础 14
4.2FIR窗函数设计法 15
4.3多相滤波器的MATLAB仿真 17
第五章总结 17
参考文献 18
致谢 18
第一章问题的提出
随着A/D（analog-to-digital）变换技术、DSP（digitalsignalprocessing）技术、FPGA（fieldprogrammablegatearray）技术及ASIC（applicationspecificintegratedcircuit）等技术的发展，宽带数字化接收机正逐渐成为现代雷达、遥测及通信系统中必不可少的重要组成部分。
但不管什么类型的中频数字化接收机，其基本原理框图都可采用中频数字化接收机原理框图如图1所示。
其中多相滤波器是其中的关键技术，多相滤波可以利用抽取因子实现高效滤波，也起到抑制镜像干扰和邻道干扰的作用，因此多相滤波器的设计与研究就显得很重要，本文就在此基础上对多相滤波的原理和实现作了一些简单的讨论。
第二章数字滤波器概论
引言
出自滤波器与模拟滤波器都是一种选频器件，它对某些频率的信号给予很小的衰减，使具有这些频率分量的信号比较顺利地通过，而对其他不需要的频率分量的信号给予较大幅度衰减，尽可能阻止这些信号通过。
数字滤波器和模拟滤波器具有不同的滤波方法，数字滤波器是通过对输入信号进行数值运算的方法来实现滤波的，而模拟滤波器则用电阻、电容、电感及有源器件等构成电路对信号进行滤波。
因此，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定性强、灵活度大、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。
数字滤波器要求输入、输出信号均为数字信号。
本章介绍数字滤波器的定义、分类及实际滤波器的设计指标。
2.1、数字滤波器的定义
数字滤波器（DigitalFilter）通常是指一个用有限精度算法实现的离散线性时不变系统。
因此它具有线性时不变系统的所有特性。
通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。
假设数字滤波器的频率响应用下式表示：
式中，称为滤波器幅频响应；
称为滤波器相频响应。
幅频响应表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频响应反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
因此，即使两个滤波器幅频响应相同，只要相频响应不同，对应相同的输入，滤波器的输出信号波形也是不一样的。
滤波器的特性最容易通过它的幅频响应的形状来描述。
滤波器在某个频率的幅度增益决定了滤波器对此频率输入的放大因子，增益可任意取值。
增益高的频率范围，信号可以通过，称之为滤波器的通带；
相反增益低的频率范围，滤波器对信号有衰减或阻塞作用，称之为滤波器的阻带。
例如低通滤波器使低频成分通过，阻碍高频成分；
高通滤波器则相反，使高频成分通过，阻碍低频成分。
理想滤波器的幅频响应是矩形，即通带的增益为1，阻带的增益为0，然而这种理想滤波器是不可能实现的。
如图:
2.2、数字滤波器的实现方式
数字滤波器的实现方式一般可以分为两种，即软件实现和硬件实现。
软件实现指的是在通用计算机上执行滤波程序。
这种方法灵活，但一般不能完成实时处理。
硬件实现指的是在单片机、FPGA或DSP芯片上实现，由于硬件运算速度快，可以实现实时处理，因此在实际系统中经常用硬件来实现各种数字滤波器。
2.3、数字滤波器的分类
数字滤波器按照不同的分类方法，有许多种分类，但总体可以分为两大类。
一类称为经典滤波器，即一般的线性系统滤波器。
另一类即所谓的现代滤波器。
现代滤波器的理论简历在随机信号处理的理论基础上，它利用了随机信号内部的统计特性对信号进行滤波，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，在此不做讨论。
经典滤波器的分类可以从滤波功能和实现的网络结构或者单位脉冲响应来划分。
从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样，可以分为低通、高通、带通和带阻等滤波器。
需注意的是数字滤波器的频率响应都是以为周期的，滤波器的低通频处于的整数倍处，而高通频带处于的奇数倍附近，这一点和模拟滤波器是有区别的。
从实现的网络结构或者单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应（IIR）滤波器和有限脉冲响应（FIR）滤波器。
系统函数如下：
2.4实际滤波器的设计指标
理想滤波器的脉冲响应为非因果且无限长序列。
一次它不能通过时移来转变为因果系统。
另外，无限长脉冲响应不能直接转换为非递归差分方程。
简单的方法就是把理想脉冲响应两边响应值很小的采样点截去，将脉冲响应变为有限长，再进行时移得到因果系统，使得脉冲响应所描述的滤波器可用。
截短对滤波器的影响：
§
截短后，滤波器幅频响应曲线不再是理想矩形。
通带不再平坦，有过渡带。
同时阻带衰减不再为零。
脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶数越高，滤波器形状越接近理
Wp和ws分别称为通带截止频率和阻带截止频率。
参数定义了通带波纹，即滤波器通带内偏离单位增益的最大值。
参数定义了阻带波纹，即滤波器阻带内偏离零增益的最大值。
参数定义了过渡带宽度，即阻带下限和通带上限之间的距离，或：
。
过渡带一般是单调下降的。
第三章多相滤波器的理论原理
多相滤波过程式按照相位均匀划分把数字滤波器的系统函数H（z）分解成若干个具有不同相位的组，形成多个分支，在分支上实现滤波。
采用多相滤波结构，可利用多个阶数较低的滤波来实现原本阶数较高的滤波，而且每个分支滤波器处理的数据率仅为原数据率的I/D，这为工程上高速实时信号处理提供了实现途径。
本章介绍了多相滤波的相关知识及FIR数字滤波器设计的一般步骤。
3.1整数倍抽取
所谓整数倍抽取是指把原采样序列x（n）每隔（D-1个数据取一个，以形成一个新序列x（M），即：
式中，D为正整数，抽取过程如图2.16所示，抽取器用符号表示则如图2.17所示。
很显然如果x（n）序列的采样率为fs，则其无模糊带宽为fs/2.当以D倍抽取率对x（n）进行抽取后得到的抽取序列x（m）之取样率为fs~D，其无模糊带宽为fs/（2D），当x（n）含有大于fs/（2D）的频率分量时，x（m）就必然产生频谱混叠，导致从x（m）中无法恢复x（n）中小于fs/（2D）的频率分量信号。
此处不予证明（证明过程见软件无线电原理与应用2.3.1整数倍抽取。
）
由此可以得出一个完整的D倍抽取器结构如图2.20所示。
途中H（）为其带宽小于的低通滤波器。
但有一点需要指出，即当原始信号的频谱分量X（）本身就小于时，则前置低通滤波器可以省去。
多速率信号处理中的抽取理论是软件无线电接收机的理论基础。
3.2整数倍内插
所谓整数倍内插就是指在两个原始抽样点之间插入（I-1）个零值，若设原始抽样序列为x（n），则内插后的序列为x（m）为：
内插过程如图2.21（a）、2.21（b）所示，内插器的符号表示如图2.22所示。
完整的I倍内插器的结构如图2.24所示，途中H为带宽小于的低通滤波器。
值得指出的事利用内插不仅可以提高时域分辨率，而且也可以用来提高输出信号的频率。
从X的频谱结构可以看出，这时只要用一个戴彤滤波器取出X中的高频成分即可，带通滤波器H的频率特性为：
内插图
式中，n=0对应取出原始基带谱，n=1，2，3，...对应取出基带谱的各各次倍频分量，这时的内插方框图如图2.25所示。
显然这时的内插器实际上起到了上变频作用，使输出频率提高（I-1）倍，而其信号的频谱结构不变。
3.3抽取内插器的实时处理结构——多相滤波结构
前面介绍了多速率信号处理中的两个最基本的概念，抽取内插，给出了实现抽泣内插的结构模型。
但这两种模型对运算速度的要求事相当高的，这主要表现在抽取器模型中的低通滤波器H位于抽取算子D之前，也就是说低通滤波器是在降速之前实现的：
而对于内插器模型，器低通滤波器H位于内插算子I之后，也就是说内插器低通滤波器又是在提速之后进行的。
总之，无论事抽取器还是内插器其抗混叠数字滤波均在高取样率条件下进行的，这无疑大大提高了对运算速度的要求，对实时处理事及其不利的。
本节讨论有利于实时处理的抽取器、内插器的多相滤波结构。
设数字滤波器（诸如内插、抽取器中的低通滤波器）的冲击响应为h（n），则其Z变换H（z）定义为:
对其展开可重写为：
另
则H（z）可变为：
上式即为数字滤波器H（z）的多相滤波结构，其网络如图2.30所示。
将其应用于抽取器，并注意到抽取器的等效关系，即可得到抽取器的多相滤波结构如图2.31所示。
有图可见，此时的数字滤波器E（z）均位于抽取器D之后，即滤波是在降速后进行的，这就大大降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力。
另外，这种多相滤波结构的另一个好处是没一分支路滤波器的系数e（n）由原先的N个减少为N/D个，可以减少滤波运算的累积误差，提高计算精度。
同理我们可以给出适合于内插器的多相滤波结构的另一种表示形式如下：
式中
其网络图如图2.32所示，将其应用于内插器，同时注意到内插器的等效关系，即可得到图2.33所示的内插器多相滤波结构。
由图可见，这时的数字滤波已位于内插器I之前，也就是说数字滤波事在提速之前进行的，这对降低对数字滤波实时性要求事极其有利的。
另外跟抽取器的多相滤波结构一样，这时的分支滤波器R（z）阶数只有原来的I分之一，有利于提高预算精度，降低对字长的要求。
下面我们简单讨论一下对图2.30的多相滤波结构预算速度的要求。
为了讨论方便，把图2.31所示的抽取器用开关形式表示图2.34所示，而图2.35为器原始结构，其中的低通滤波器h（n）的阶数为N，则要求图2.35所示的低通滤波器在采样的间隔T内完成N次乘法运算，其计算速度为：
而对于图2.34所示的多相滤波结构，由于各分支滤波器e（n）的阶数为N/D，输入的数据率为f/D，所以对图2.34所示的分支滤波器的计算速度要求为：
即只为图2.35对滤波器速度要求的D*D分之一，当D较大时，对运算速度的要求将大大降低。
所以，在实时性要求较高的场合，采用多相滤波结构来实现抽取或内插事非常有效的。
例如设f=100MHz，N=1024,D=32,则有：
也就是要求图2.34所示的分支滤波器在10ns内完成乘法运算，或者说要求32阶滤波器的数据吞吐率达到10/32=3.125MHz，目前这样的滤波速度是可以做到的，但是如果采用直接实现，1024阶的滤波器的吞吐率达到100MHz显然事困难的。
3.4频域抽取
抽取也可用于频域处理。
这一节中，将对FFT输出结果进行抽取，这种运算可以降低FFT运算的复杂度。
这里不再讨论一般的去那个框，而讨论一种特殊情况，因为描述气啦可以简单一些，假设对256点的FFT输出结果进行8倍抽取。
一个256点的FFT可以写为：
式中，n=256，在频域有256个输出数据，如果每8个输出数据保留一个，其余的扔掉，这个输出结果为K=0,8,16,...,248。
总共有32（256除8）个输出。
得到输出结果可以写为：
.
首先人选两个频率分量K=16，并以一种稍有不同的形式重写。
结果如下：
以上等式使用了一下关系：
当n为整数时时，。
现在来定义一个新的量y（n）。
式中，n=0到31。
y（n）表示式
（1）和
（2）中括号内的值。
每个y（n）包含8个数据。
这种运算可以用图11.1表示。
在这个途中，256个输入数据呗分成8段，每段有32个点。
图中给出了每一段的七十数据。
8段数据叠在一起并纵向相加，如图所示。
这样，结果一共有32个值。
利用这些y（n）的值，式（0）的FFT结果可以写为：
PICTURE:
所有泽泻等式都可以写成一个等式：
式中k=0,1,2,3...,31和n=0,1,2,3,.....,31。
输出结果X（8k）可以标记为Y（k）。
因此，上式可以写做：
这个等式表示一个32点的FFT。
256点FFT经过8倍抽取后的结果，可以用32点FFT来实现。
因此，FFT的设计可以简化。
但是，为了得到期望的结果，必须对输入数据进行处理。
这里只给出一般的说明而不进行进一步的证明。
如果我们要做N点FFT，并且输出的频域结果进行M倍抽取的话，可以通过做N/M点FFT来实现。
但必须先构造一个新的输入数据。
构造的y（n）可以写成：
式中,n=0,1,2,...,N/M-1。
可以得到频域输出：
可知当对FFT结果进行M倍抽取时，结果可以通过N/M点FFT达到。
这样可以极大的简化FFT芯片的设计。
3.5用加权函数展宽输出滤波器
为展宽单个滤波器同时压缩旁瓣，可以采用对输入数据进行加窗（或加权）的方法。
各种窗函数很多。
这里所用的窗叫Parks-McClellan窗，因为这种窗可以提供理想的频率响应。
这种窗函数的系数可以用MATLAB的“zzzz”函数来产生。
这种窗函数不于图11.12.,
图11.12（a）给出了用MATLAB的“remez”程序得到的时域响应。
我们只对窗函数的相对幅度感兴趣。
图11.12（b）给出了对应的频域响应，它的通带内波动很小，旁瓣比土瓣低70db以上这是理想的滤波器特性。
够波器的响应可以由MATLAB的“freqz”函数得到。
我们可以从窗函数的时域响应看到，在256个点中具有缓慢衰减的点不多于50个。
其余输入数据被大大衰减。
在频域的对应效果是在滤波器组中每个子滤波器的带宽较宽。
输入数据将被窗函数h（n）修正。
这里，窗函数用h（n）而不是用w（n）来表示，因为h（n）将用于表示滤波器的脉冲响应函数。
加窗后用于FFT输入的数据可以写为:
式中，n=0，1，2，....，255。
如前所述，输出结果进行8倍抽取。
在这种情
况下，加窗后的数据可
以用十式（11.18）来求y（n）:
如果对这些y（n）值进行32点FFT，运算，可以产生16个滤波器。
每个滤波器的特性如图（b）所示。
3.6改变输出采样速率
在上一节中提到的运算可以看成软件处理方法，因为式11.16中的值可以计算。
利用这种方法很容易改变输出的采样速率。
如果希望把输入数据移动M点，只需要从式（11.16）计算如卜结果:
．
．
在这个等式中，惟一的变化是输入数据点，它决定了输出采样速率。
3.7多相滤波器实现信道化
虽然在上两节中讨论的方法相当灵活，但由于运算速度的限制，它不适合高速运算。
然而同是这个运算，用硬件可以用快得多的运算速度完成。
现在详细地考虑得到y（n）的过程。
式（11,26）中的y（n）值，是从随着时间移动的输入数据中产生的。
我们看到这些值中的侮一个都可以从滤波器与输入数据的卷积输出中得到。
在时域的256点窗函数可以写成:
式中的占函数指示只在。
时刻出现h（n）的值。
滤波器的脉冲响应以逆形式写出。
通过脉冲函数与输入信号的卷积可以由式（11.26）得到结果。
由于示于图（a）的窗函数在时域t是对称的，因此其反序只是改变标号。
这个函数可以以32倍抽取，这就可以得到32个滤波器，每个滤波器有8阶。
这犯个滤波器中的每一个具有的响应如下:
．
式（11.29）
这些滤波器必须与适当的输入数据进行卷积以获得式（11.25）的结果。
为了得到正确的数据，输入数据也必须进行32倍的抽取。
当抽取后的输入数据与抽取后的滤波器进行卷积并达到稳态时，其输出就是式（11.26}的结果。
接着做32点FFT,输入到FFT的y（n）值为:
．
在这个等式中，第一个数据是x（32）.因此输入移32点。
完成这个功能的硬件见图11.13。
在这个图中，共有32个滤波器，每个滤波器有8阶。
图中画出了两组输入数据，每个组有32个点。
同时画出了它们的输出y（n），这些y（n）用做FFT的输入数据。
频域的最终结果用Y（k）来表示。
在这种情况卜，输入进行32倍抽取，最终的频域有32个输出。
输入数据移32点，输出频率的数目也就是32。
这种情况被称为临界采样状态。
临界采样状态是输出频率分量的数口与输入数据移动点数相同的情况。
这意味着输出采样速率是输入采样速率的1/M，这里M为输入数据移动的点数。
如果，我们要增加输出采样速率，就必须修改硬件，这种方法不如仁一节讨论的软件方法灵活。
用相同数目的输出信道而使输出采样速率加倍的方法此处讨论。
在本节的讨论中用了有限脉冲响应FIR滤波器。
在图11.14中，0号滤波器的输出用y（0）表示。
在这个图中，也给出了抽取后的数据。
当输入信号达到稳态时，滤波器的输出包含8项。
图中还列出了稳态时滤波器的第一和第二个输出。
下面一行表示第一个输出，它与式（11.26）的y（0）输出相对应。
第四章多相滤波器的MATLAB仿真
MATLAB是数字信号处理常用的软件，用MATLAB可以实现理论上的结果，也可以检验理论研究的正确性。
本章内容有数字滤波器设计的理论基础与多相滤波器的MATLAB仿真。
4.1数字滤波器设计的理论基础
输入为x（n）、输出为y（n），冲激响应为h（n）的数字滤波器可用图2.48表示，用数字表达式表示见式（4.1）。
式（4.1.1）
图2-48
用离散卷积符号“*”可简单表示为：
式（4.1.2）
数字滤波器可以用两种形式来实现，即有限冲激响应滤波器FIR和无限冲激响应滤波器IIR。
所谓的有限冲激响应滤波器FIR是指冲激响应函数h（n）为有限个值的数字滤波器，既满足：
式（4.1.3）
式中，、为有限值，或者说FIR滤波器的冲激响应函数h（n）只在有限范围NNNNNN内不为零，实际中通常取=N、=0，所以对FIR滤波器有：
式（4.1.4）
FIR数字滤波器的频率响应可表示为：
式（4.1.5）
更一般的，数字滤波器h（k）的频率响应可表示为：
式（4.1.6）
所谓的滤波器设计，实际上就是在给定的条件下，求出冲激函数h（k）。
FIR滤波器相对于IIR滤波器有许多独特的优越性，如线性相位、稳定性等，而且FIR滤波器的设计相对成熟，方法更多，所以下面重点介绍FIR滤波器的设计技术。
4.2FIR窗函数设计法
窗函数法的基本思想是用数字FIR滤波器去逼近理想的特性。
有数字信号处理知识知道一个理想滤波器的脉冲响应是无限长的非因果序列，因此理想滤波器不能物理实现，但可以近似实现。
窗函数法就是选择合适的窗函数截取，使之变成数字FIR滤波器的单位脉冲响应。
截取的长度和窗函数的类型都是直接影响滤波器的指标。
用窗函数法设计滤波器的步骤可归纳如下：
1、根据设计指标，构造希望逼近的频率响应函数，并对其进行ISFT求出；
2、根据驻代最小衰减悬着窗函数的类型，再根据过渡带宽确定所选窗函数的长度N；
3、将右移M=（N-1）/2位，得；
4、加窗得到设计结果：
下面列举一个实例：
设计一个FIR带通滤波器（BPF）,指标如下：
解：
（1）求hh。
带通滤波器的设计可以看成两个低通滤波器相减得到，即
（2）选择窗的形式，确定窗的长度N，因为，所以选择汉明窗，即
确定窗长N
注意：
设计带通滤波器时，当两个过度带的宽度不一样时，我们选择较
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