数列的前n项和的几种方法.doc

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数列的前n项和的求法

福田中学雷鸣

一、知识回顾

1.公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

；

（；；）

2.裂项相消法:

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项），其基本方法是

（1）

（2）

（3）若{an}分别是等差数列，公差是d，则：

（4）

例1：

求和

解答∵∴数列{an}的前n项和：

＝＝

迁移1：

求数列的前n项和.

解：

设，则

=＝

2：

《步步高》72页例题3

3.错位相减法:

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例2：

求当时，求和：

解：

由题可知该数列的通项为是等差数列的通项与等比数列的通项之积

设：

………………①

……………②（设制错位）

①②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

又

∴

迁移2：

求数列前n项的和.

解：

由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积

设：

…………………………………①

………………………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

∴

4.倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就可以得到n个a1+an.【特点：

一个常数或定值】

例3：

求证：

证明：

设…………………………..①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得

…………..……..

①+②得（反序相加）

∴

迁移3：

求的值

解：

设………….①

将①式右边反序得

…………..②（反序）

又因为

①+②得（反序相加）

＝89

∴＝44.5

5.分组求和法:

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4：

求数列的前n项和：

，…

解：

设

将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

迁移4：

求数列前项和

6，合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求.

例5：

求

解：

观察数列可知，数列每相邻两项的和为一个定值

，或（找特殊性质项）

当为奇数时，数列共有奇数项

（合并求和）

当为偶数时，数列共有偶数项

（合并求和）

=n

迁移5：

求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.

解：

设＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°

∵（找特殊性质项）

∴＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···

+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0

（二）.常用结论

1）1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+（2n-1）=

3）

4）

5）

6）

二、基本训练

1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________________.

2.设，则＝_______________________.

3.求和：

.

4.数列1×4，2×5，3×6，…，n×（n+3），…则它的前n项和=　　.

5.数列的通项公式，前n项和.

三、例1、求下列各数列前n项的和

①②

例2、在数列中，，求S10和S99

例３、已知数列中，，试求前2n项的和

例４、已知函数（），

（1）求的反函数；　　

（2）若，，求；

（3）若，，…，，…，求数列前n项和。

四、作业

1、等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则

a12＋a22＋a32＋…+an2等于

（A）（B）（C）（D）

2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

（A）130（B）170（C）210（D）260

3、求和：

.

4、数列的前n项和是.

5、数列１，3q，5q2，7q3……的前n项和是_______.

6、数列满足，，则通项公式，前n项和.

7、＝________________________.

8、在数列中，已知______.

9，设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求

10、已知数列是等差数列，且，，

（1）求数列的通项公式；

（2）令（），求数列前n项和的公式.

11、等比数列的首项为ａ，公比为ｑ，Sn为其前ｎ项和，求和：

S1+S2+S3+…＋Sｎ

12、已知数列的通项公式，求数列的前n项的和.

13、非等比数列中，前n项和，

（1）求数列的通项公式；（）

（2）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意的n　均有总成立？

若存在，求出m；若不存在，请说明理由。

（最大整数为8）