从以上看出,有些问题可以用图象解决,但要认真分析,有些问题很难由图象直观而得,值得注意.
5.数形结合也有简繁之分
数形结合的核心与灵魂是“结合”.解题时,由于观察与联想的视角不同,会出现不同的“结合”,“结合”得好就得到好的解题方法,“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错,“结合”的优劣反映出了我们的基础与能力,也反映出我们思维灵活性与创造性的水平,“结合”的优化选择,应是数形结合法研究的重要一环.为便于说明,我们先看几例:
【例23】已知方程mx=x+m有两个相异实根,求实数m的取值范围.
视角一:
视方程mx=x+m两边的代数式为两个函数,分别画出函数y=mx,y=x+m的图象(如图1),由于两个函数中都含有m,故需进一步对m进行分类讨论,情况复杂.图1仅表示m>0时的示意图.
视角二:
由m≠0,先将原方程变形,得x-1=x,再视方程x-1=x两边的代数式为两个函数,分别画出函数y=x-1,y=x的图象(如图2),由图易看出:
当0<<1或-1<<0,即m<-1或m>1时,图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根.
视角三:
用分离参数法,先将原方程化为=m.
分别作出函数y=,y=m的图象(如图3),由图易看出,当m<-1,m>1时,两函数的图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根.
视角四:
用分离参数法,先将原方程化为.
当x>0时,得1-=,当x<0时,得-1-=.
分别作出函数y=,y=的图象(如图4),由图易
看出,当0<<1或-1<<0,即当m>1或m<-1时,两函
数的图象有两个不同交点,此时原方程有两个相异实根.
可见,例1的各解虽同是数形结合,但大有简繁之分,视角二优于视角一,视角一中两函数中的都含有m,因而他们的图象也是变化的,虽可以通过讨论而获得结论,但讨论时容易因考虑不周而产生漏解,视角三虽看图直观明了,但图象不易作出,而视角四既比视角三作图方便,又比视角二简单,不用讨论,这是因为视角二还有一个函数中含有m,而视角四中已不含m,所以这里以视角四为最理想.
【例24】已知函数f(x)=ax2+bx且2≤f
(1)≤4,1≤f(-1)≤2,求f(-2)的取值范围.
这是我们常出错的题,其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等,而众所周知的数形结合法是线性规划法.
这类问题可看作一个条件极值问题,即变量a、b在
2≤a+b≤4 ①
1≤a-b≤2 ②
这两个约束条件下,求目标函数y=4a-2b的最大(小)值问题
.约束条件2≤a+b≤4,1≤a-b≤2的解集是非空集,在坐标平面上表
示的区域是由直线:
a+b=4,a+b=2,a-b=2,a-b=1所围成的封闭
图形(图5中的阴影部分).
y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小,
从图中易知当直线b=2a-y经过A(,),C(3,1)
时截距分别为最小f(-2)=5和最大f(-2)=10.
所以5≤f(-2)≤10.
其实还可有如下数形结合法:
要求f(-2)的取值范围,只要确定f(-2)的最大(小)值,即找到f(x)的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标,为此只要确定f(x)经过E、F时的函数表达式,由于f(x)=ax2+bx是经过原点(c=0)的抛物线系,所以只要再有两点就可确定,由已知2≤f
(1)≤4,1≤f(-1)≤2,知f(x)在x=1时的最高点B(1,4),最低点A(1,2),f(x)在x=-1时的最高点D(-1,2),最低点C(-1,1),(如图6),由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过O、B、D的图象C2,经过E点的图象就是经过O、A、C的图象C1,于是:
将B(1,4),D(-1,2)坐标代入f(x)=ax2+bx得
解得a=3,b=1.
故图象经过O、B、D的函数为C2∶f(x)=3x2+x,所以
fmax(-2)=10.
将A(1,2),C(-1,1)的坐标代入f(x)=ax2+bx得
故图象经过O、A、C的函数为C1∶f(x)=x2+x,fmin(-2)=5.
所以5≤f(-2)≤10.
【例25】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k,求证:
aB+bC+cA本题的难度较大,用代数方法一时是无从下手的.若能