圆锥曲线与方程章节复习总结.doc

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圆锥曲线与方程章节复习总结

【本讲教育信息】

一.教学内容：

   期末复习专题：

圆锥曲线与方程

二.知识分析：

【本章知识网络】

【学法点拨】

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容．圆锥曲线试题的类型、特点与学习的方法主要归结如下：

1.求动点的轨迹方程问题，从来都是高考的热点，试题有一定的难度，学习时应注意一些求轨迹方程的基本方法。

2.求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，试题一般涉及量较多，计算量大。

要求较强的运算能力．在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算合理，运算的技巧，使运算简练。

3.试题注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。

4.注意用圆锥曲线的定义解题．有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，到准线的距离，离心率的问题都可能用到圆锥曲线的定义去解。

5.对称问题是高考的热点，注意关于原点、x轴、y轴，关于直线y＝±x对称的两曲线方程的特点。

6.在有关直线与圆锥曲线的问题中，注意韦达定理、弦长公式在解题中的应用。

7.一些试题将解析几何问题与数列问题、极限问题、不等式问题、函数问题综合在一起，对解决数学综合问题的能力要求更高，此时要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何的问题。

【备考建议】

在复习过程中抓住以下几点：

1.在高考命题中，有关圆锥曲线的试题主要考查两大类问题。

一是根据题设条件，求出圆锥曲线的方程；二是通过方程，研究圆锥曲线的性质。

本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键。

2.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习

由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点．这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。

3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程的目的，如下列思想和方法：

（1）方程思想；

（2）用好函数思想方法；（3）掌握坐标法；（4）对称思想；（5）参数思想；（6）转化思想。

4.在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算．涉及到原点和焦点距离问题用极坐标的极径表示．关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法．利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法．有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果。

第一讲  椭圆

一.椭圆及其标准方程

1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

一般的：

集合，其中，且a、c为常数：

（1）若a＞c，则集合P为椭圆；

（2）若a＝c，则集合P为线段；

（3）若a＜c，则集合P为空集。

2.椭圆的两种标准方程

焦点在x轴上，焦点为；

焦点在y轴上，焦点为。

都有：

（1）a＞b＞0；

（2）。

二.椭圆的几何性质

方程

范围

对称性

轴对称、中心对称

轴对称、中心对称

顶点

（a，0），（－a，0），（0，b），（0，－b）

（b，0），（－b，0），（0，a），（0，－a）

离心率

准线方程

【典例分析】

例1.已知椭圆及直线y＝x＋m。

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

解：

解方程组消去y，整理得

（2）由韦达定理得

∴弦长L＝＝，当m＝0时，L取得最大的值为，此时直线方程为y＝x。

点评：

设两曲线交点M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率为k，则弦长

或。

例2.若椭圆与直线x＋y＝１交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。

解：

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（）。

由   。

点评：

直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（xl，yl），B（x2，y2）,但不是真的求出xl，yl，x2，y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题，由OA⊥OB得xlx2＋yly2＝0是解决本题的关键。

例3.如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB∥OM。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；

（3）设Q是椭圆上一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为，求此时椭圆的方程。

解：

（1）∵MF1⊥x轴，

∴xM＝－c，代入椭圆方程，得，

∵OM∥AB，∴。

从而

（2）设，则

由余弦定理，得：

当且仅当上式成立，

；

（3），设椭圆方程，

又PQ⊥AB，∴，

则PQ的方程为，代入椭圆方程，

得，由弦长公式，得，

而F1到PQ之距为。

。

，，

故所求椭圆的方程为。

第二讲  双曲线

一.双曲线的定义

平面内动点P与两个定点F1，F2（）的距离之差的绝对值为定值2a。

（1）当时，P点的轨迹是双曲线。

（2）当时，P点的轨迹是两条射线。

（3）当时，P点不存在。

（4）当a＝0时，P点轨迹是线段F1F2的中垂线。

二.双曲线的几何性质

标准方程

图形

顶点

A1（－a，0），A2（a，0）

A1（0，－a），A2（0，a）

对称轴

x轴、y轴

焦点

F1（－c，0），F2（c，0）

F1（0，－c），F2（0，c）

焦距

离心率

渐近线

a、b、c的关系

【典例分析】

例1.求渐近线方程为与，焦点为椭圆的一对顶点的双曲线方程。

解：

（1）当双曲线的焦点为椭圆的长轴顶点，即（）与（）时，

设双曲线方程为（其中）。

由，得，

，∴所求的双曲线方程为，

（2）当双曲线的焦点为椭圆短轴顶点，即（0，）与（0，）时，

设双曲线方程为（其中），即，

，故所求的双曲线方程为，

综上，所求的双曲线方程为或。

点评：

当已知双曲线的渐近线方程为（或）时，可设双曲线的方程为（或），其中为不等于零的待定常数，以简化运算过程，这里方程称之为双曲线的共渐近线的双曲线系。

例2.设双曲线上两点A、B，AB中点N（1，2）。

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

（1）解法一：

显然AB斜率存在，设AB：

y－２＝k（x－１），

由得。

当△＞0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则。

∴直线AB：

y＝x＋1。

解法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则两式相减得。

，代入满足△＞0，

∴直线AB：

y＝x＋1。

（2）解：

设A、B、C、D共圆于⊙M，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点，因此只需证CD中点M满足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|。

由得A（－1，0），B（3，4）

又CD方程y＝－x＋3，由得。

设C（x3，y3），D（x4，y4），CD中点M（x0，y0），

则∴M（－3，6）。

，又。

。

∴A、B、C、D在以CD中点，M（－3，6）为圆心，为半径的圆上。

第三讲  抛物线

一.抛物线的定义

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

二.抛物线的标准方程和几何性质

定义

平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹，叫抛物线，即

标准方程

图形

顶点

O（0，0）

O（0，0）

O（0，0）

O（0，0）

对称轴

x轴

x轴

y轴

y轴

焦点

离心率

e＝1

e＝1

e＝1

E＝1

x、y取值范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

【典例分析】

例1.A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，

（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

（2）求证：

直线AB过定点；

（3）求弦AB中点P的轨迹方程；

（4）求△AOB面积的最小值。

（1）解：

设A（x1，y1），B（x2，y2），中点P（x0，y0），

。

。

∵。

（2）证明：

。

，

∴直线AB：

。

。

，

，∴AB过定点（2p，0），设M（2p，0）。

（3）

解：

设OA∶y＝kx，代入y2＝2px得x＝０，。

，同理，以代k得。

即，∴中点M的轨迹方程。

（4）解：

当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立。

例2.设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。

证明：

直线AC经过原点O。

证法一：

设直线方程为，

又

即k也是直线OA的斜率，∴AC经过原点O。

当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC。

证法二：

连结AC与EF相交于点N，过A作AD⊥l，D为垂足，

∴AD∥EF∥BC，

。

由抛物线的定义可知：

|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，

。

∴O点与N点重合，∵N是AC上的一点，∴AC经过原点O。

点评：

该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。

解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当。

从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻。

例3.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点。

（1）求a的取值范围；

（2）求|AM|＋|AN|的值；

（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？

解：

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）

则，

∴代入y2＝4ax（a＞0）得。

由得。

（2）∵A为焦点，

∴。

（3）△AMN中，AP为MN边上的中线，由平面几何知识，|AM|＋|AN|＞2|AP|，

∴不存在实数a，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列。

点评：

（1）根据定义解题，能化难为易；

（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程。

第四讲  直线与圆锥曲线

一.直线与圆锥曲线的三种位置关系——相交、相切、相离

直线l方程为，圆锥曲线方程F（x，y）＝0。

由

消元（如y）后得。

若F（x，y）＝0表示椭圆，则上述方程中a≠0，为此有：

1.若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行（或重合）；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行（或重合）。

2.若a≠0，设

（1）△＞0时，相交于两点；

（2）△＝0时，相切于一点；

（3）△＜0时，无公共点。

二.直线与圆锥曲线相交所产生的问题

1.弦长

直线与圆锥曲线相交于A、B，，直线斜率为k。

（1）一般弦长公式：

（2）焦点弦长公式：

可用焦半径公式来表示弦长，简化运算，如：

椭圆（中心在原点，焦点在坐标轴上）

（过右焦点）

（过左焦点）

（过上焦点）

（过下焦点）

2.弦的中点问题

多数问题可合理、准确地运用韦达定理来解决．但弦的中点坐标与其斜率可由曲线方程得到关系，合理使用此关系，可简化解决有关问题的过程，如：

设是椭圆上不同两点且，M是其中点，则

两式作差可得

其中可以看作是斜率，而是中点M纵横坐标比，这种方法叫做代点法，最后需检验直线与曲线是否相交。

说明：

（1）直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论．

   ①若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据△来讨论．

   ②若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，值得注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是相交！

③直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法解决．

   ④若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点个数，则应注意根的范围限制．

（2）与弦有关的问题内容十分丰富，基本类型有弦长、弦中点、有关最值、有关轨迹等问题，但解题思想都很一致，即由直线方程与圆锥曲线方程联立、消元、判别式、韦达定理转化为方程的问题求解，在解题过程中，一定要形成常规的通解通法，形成规范的解题步骤．

（3）焦点弦问题，要注意圆锥曲线定义的应用．

（4）代点法可将弦中点与弦所在直线的斜率相互转化．

（5）在分析直线与圆锥曲线的问题时，要注重函数思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想的应用，注重待定系数法、判别式法、代点法、数形结合法等数学方法的培养，提高综合运用能力和创新探索能力．

【典例分析】

例1.过双曲线的右焦点F作倾斜角为的弦AB，求弦长|AB|及弦中点C到F的距离。

解：

由双曲线的方程得，半实轴长a＝3，半虚轴长b＝4，半焦距c＝5，

∴双曲线的右焦点为F（5，0），直线AB的方程为。

代入，消去y得。

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），

。

又，

。

例2.抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上，A、B、C、D是抛物线上的四点，已知线段AB的中点的纵坐标为3，线段CD的中点的纵坐标为，且直线CD的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求此抛物线方程．

解法一：

设抛物线方程为。

①

由于直线AB与y轴不平行，故可设AB方程为。

②

由①②消去x，得。

∵弦AB中点纵坐标为3，∴，∴直线AB的斜率。

同样地，直线CD与y轴不平行，设其方程为。

由弦CD中点纵坐标为，可得直线CD的斜率。

∵直线CD倾斜角是AB倾斜角的2倍，

∴直线CD的斜率，即，解得p＝2。

∴所求的抛物线方程为。

解法二：

设，则有，

两式相减得。

，∴直线AB的斜率。

同理可得直线CD的斜率。

∵CD倾斜角是AB倾斜角的2倍，

即，解得p＝2。

∴所求的抛物线方程为。

点评：

上述两种方法求抛物线弦所在直线的斜率，是研究圆锥曲线与直线位置关系的过程中常用的两种方法，一般来说，解法二比解法一的计算量要小，应熟练掌握、应用．

例3.已知双曲线C：

与点P（1，2）。

（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。

（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P？

（3）若Q（1，1），试判断以点Q为中点的弦AB是否存在。

解：

（1）设直线l的方程为，

代入双曲线C的方程，整理得。

  （*）

①当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点。

②当时，令△＝0，得。

又点（1，2）与双曲线右顶点（1，0）在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线。

∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点。

综上所述，当或或k不存在时，l与C只有一个交点；

当或或时，l与C有两个交点；

当时，l与C没有交点。

（2）假设以P为中点的弦AB存在，设，则x1、x2是方程（*）的两根，则由韦达定理，得。

∴这样的弦存在，方程为，即。

（3）假设弦AB以Q为中点，且，

。

两式相减，得：

。

。

由

（1）知，此时AB与C无交点，

∴假设不正确，即以Q为中点的弦不存在。

点评：

题

（1）处理过程中，考虑了渐近线斜率，进而得到时，两交点在左支；时,两交点在右支；时，两交点分布在左、右支．题

（2）（3）则均为存在性问题，对此类问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决．

例4.已知直线与双曲线的左支交于A、B两点，若另一条直线l过点P（－2，0）及线段AB的中点Q。

求直线l在y轴上的截距的取值范围。

解：

由方程，消去y，整理得：

。

由题设得   解得：

设A、B两点坐标分别为

则   。

∴直线l的方程为，

令x＝0，得直线l在y轴上载距。

∴截距b的取值范围是：

。

点评：

直线与双曲线的一支公共点个数的讨论一定要注意条件转化的充要性：

即所得一元二次方程根是有范围的，除判别式△外，还要加强限制．当然本例中k的范围也可用数形结合求解。