中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解.doc
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第10章课后习题详解
曲线积分与曲面积分
例题分析
★★1.计算，其中为连接，，的闭折线。
知识点：
第一类曲线积分.
思路:
由三段直线段组成，故要分段积分.
解：
如图
则
，，
，，
注：
利用被积函数定义在上，故总有
，
.
注：
1），
对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大.
2）对段的积分可化为对的定积分，也可化为对的定积分，但段，段则只能化为对（或对）的定积分.
★★2.计算，其中为圆周.
知识点：
第一类曲线积分.
思路:
为圆周用极坐标表示较简单.
解：
的极坐标方程：
.
★3.计算曲线积分，其中为曲线,
应于从到的一段弧.
知识点：
第一类曲线积分.
思路:
空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解：
原式=.
★★★1.计算曲线积分，其中为球面与平面
的交线。
知识点：
第一类曲线积分.
思路:
的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但满足，故总有.
解：
即
原式=
注：
1）利用被积函数定义在上，故总有，是常用的一种简化运算的方法.
2）为平面上的一个圆，圆心，半径为.
课后习题全解
习题10-1
★1.设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点处它的线密度为，用对弧长的曲线积分分别表达：
1）该曲线弧对轴、轴的转动惯量和；
2）该曲线弧的质心坐标和.
知识点：
第一类曲线积分的概念及物理意义.
思路:
面内的一段曲线，其线密度为，则
1）线段的质量为：
2）线段关于轴和轴的静力矩为：
3）线段对轴和轴的转动惯量：
，
解：
由第一类曲线积分的概念及物理意义得
（1）,
（2）
★2.计算，其中。
解：
法一：
原式=
法二：
原式=.（利用性质2）
★3.计算，其中为连接，两点的直线。
解：
直线方程为：
原式=
★★4．计算，其中L为内摆线的弧。
解：
摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分，其中为折线,这里,,,依次为点，，，.
解：
如图，原式=
：
：
，
：
，
原式=.
★★7.计算，其中为对数螺线在圆的内部。
解：
依题意：
得
.
★★★8.计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。
解：
即
法一：
的参数方程为：
原式=
法二：
原式=
★9..求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心.
解：
取扇形的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则
圆弧的方程为：
由图形的对称性和知，而
故质心在（）.
★10.求螺旋线，对轴的转动惯量，设曲线的密度为常数.
解：
.
★11.设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度.求：
（1）螺旋形弹簧关于轴的转动惯量;
（2）螺旋形弹簧的重心.
解:
（1）
.
（2）
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：
同法得：
.
.
提高题
★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解：
与在第一象限的交点为.
如图：
;
;.
则原式
★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.
解：
，参数方程为
又
故.（此题请核查）
§10.2第二类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1．其中表曲线的某一方向（正向）,表曲面的另一方向（负向）
2.若,则
计算
（平面曲线）
，起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则
计算
（空间曲线）
起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则
例题分析
★★1.计算，其中是为顶点的正方形的正向边界.
知识点：
第一类曲面积分.
思路:
如图由四段直线段组成，故要分段积分.
解：
如图
则
变化从到
变化从到
变化从到
变化从到
.
★2．计算曲线积分，其中为曲线上对应
于从到的一段弧.
知识点：
第一类曲面积分.
思路:
空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
解：
原式
.
课后习题全解
习题10-2
★1.计算，其中为与轴所围成的闭曲
线，依顺时针方向.
解：
如图
其中变化从到，
变化从到,
原式
★2.计算，其中为圆周上对应于从
到的一段弧.
解：
原式
★★3.计算曲线积分，其中为从经到点
的那一段.
解：
变化从到
原式
.
★★4.计算曲线积分，其中为圆周（按逆
时针方向绕行）.
解：
圆的极坐标方程为：
，从变到
原式=
.
★★★5.计算，设，式中
方向依参数增加的方向.
解：
原式
.
★★★6.计算，其中为上对应
于从到的一段弧.
解：
原式
.
★★★7.计算，其中是从点到点的直线.
解：
直线的方向向量为，
故其参数方程为：
从变到
原式
.
★★★8.计算，其中为圆柱面与
的交线，从轴正向看为逆时针方向.
解：
的参数方程为：
从变到
原式
★★★9.在过点和的曲线族中，求一条曲线，该
曲线从O到A的积分的值最小。
解：
：
从变到,
令得（负号舍去）
为所求曲线。
★★★10.计算，其中分别为路线：
（1）直线;
（2）抛物线:
;（3）三角形
解：
（1）直线方程：
即从变到,
原式
（2）抛物线:
从变到
原式
（3）,从变到
从变到
原式=
★★★11.设为曲线上相应于从变到的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。
解：
★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分，其中是与相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。
解：
的参数方程：
从变到,
注：
利用
★13.设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。
解：
F={0,0,mg},g为重力加速度;记dr=,,
则功
★★★14.质点沿以为直径的半圆周，从点运动至点的过程中，受到变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。
解：
依题意，
从A点到B点半圆周的方程：
从变到
则功
提高题
★★★1.计算，其中为上半椭圆周（按逆
时针方向）.
解：
的参数方程为：
从变到
原式
注：
此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.
§10.3格林公式及其应用
内容概要
名称
主要内容
格林公式
设及它们的一阶偏导数在闭域上连续，则
其中是闭域的边界曲线，且取正向.
面积
曲线积分与路径无关的等价条件
1.域内处处成立.
2.沿域内的任一闭路积分为零，即
3.在域内存在函数，使
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
若域内，则内任意两点
例题分析
1.计算
★★★1）;
★★★★2）.
其中,,,是折线，是由到的直线段，如图.
知识点：
格林公式.
思路:
1），应用格林公式方便.
2）这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上（如图）.
解：
1）
2）如图
其中（见本题1）
由变到，
.
注：
应用格林公式时，除连续条件外，还要求：
1）和是正向关系，本题1）的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.
2）注意公式中前是号，如本题改写成，此时不能误认为，而应是.
★★★★2.计算，其中为圆周的逆时针方向.
知识点：
格林公式.
思路:
，应用格林公式方便,.但因围的区域内含被积函数不连续的点，故
要把不连续的点挖掉.
解：
在包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从到
在与包围的区域上，
及格林公式，有
注：
因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能直接用格林公式。
课后习题全解
习题10-3
★★1.利用格林公式计算积分
其中为正向圆周曲线.
解：
原式=
★★2.利用格林公式计算积分，其中顶点为和的正方形区域的正向边界。
解：
设围的区域为D:
原式=
.
★★3.计算，其中是沿逆时真方向的椭圆。
解：
设围的区域为D
，
原式=
注：
利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有.
★★4.利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。
解：
由公式
★★5.求双纽线所围区域的面积。
解：
双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算，其中为圆周的顺时针方向。
解：
参数方程为：
变化从到
原式
注：
因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能用格林公式。
★★7.计算，其中是在圆周上由
到的一段弧。
解：
设,,连接则围区域D
，
原式
★★8.计算，其中是位于第一象限中的直线与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到.
解：
连接则围区域,
★★9.计算，其中从沿摆线到.
解：
设连接则围区域
★★★10.计算，其中为包围有界闭区域得简单曲线，的面积为，n为的外法线方向.
解：
设沿逆时针方向的任意点的单位切向量
（分别是与轴、轴正向夹角）.
则
.
★★★11.计算，其中为单位圆周的正向.
解：
在包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周
变化从到
在与包围的区域上，及格林公式，有
★★★12.计算，其中为曲线的正向。
解：
在包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从到
在与包围的区域上，
及格林公式，有
★13.计算.
解：
线积分与路径无关。
原式.
★★14.证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值。
解：
法一：
被积式是函数的全微分，从而题设积分与路径无关。
且
原式
法二：
线积分与路径无关。
原式=
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
（1）;
（2）;
（3）.
解：
（1）,
是某函数的全微分
.
（2）
是某函数的全微分
.
（3）
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为，，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
证明：
上述线积分之值，即功之值与路径无关。
证闭。
★★★17.试求指数，使曲线积分在区域内与路径无关，并求此积分.
解：
令,有
时上述曲线积分与路径无关.
提高题
★★★★1.计算，其中L是沿由到
的曲线段.见图.
解：
如图添加园弧段
变化从到，
则
注：
连接直线，由变到，则
，为什么？
原因是围的区域内含被积函数不连续的点，不能说明积分与路径无关.但
，故不包含原点的任何闭曲线积分为.为使域内不出现原点，一般可将平面域沿负轴剪开，（即联的任意曲线均不准通过负轴），在沿负轴剪开的域中，积分与路径无关.
★★★2.设在有连续导函数，求其中L是从点到的直线段.
解：
在沿负轴剪开的域中，积分与路径无关.
取路径如图，
§10.4第一类曲面积分
内容概要
名称
主要内容
第一类曲面积分
计算
1.
2.
3.
常用的结论
曲面的面积
例题分析
★★★1.计算，其中是，及坐标平面所围成的闭曲面.
知识点：
第一类曲面积分.
思路:
块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有
曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分..
解：
如图,则
，在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
同理：
，是球面一部分，方程为，在化为二重积分运算时，可向不同的坐标面投影，故可有不同的计算途径：
法一：
向面上的投影，则曲面：
是双值函数，为是曲面表达成单值函数，将曲面分成两块，
它们在面上的投影为
，
，
法二：
向面上的投影，则曲面：
是单值函数，
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
同理也可投影到平面来计算.显然法二比法一稍简单些，它避免了曲面的分块.
法三：
是球面一部分，而被积函数定义在上，故总有
（应用曲面的面积）
最后
.
注：
利用被积函数定义在上，故总有，代入简化积分运算。
这是常用的一种简化运算的方法.
课后习题全解
习题11-4
★★★1.在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中，有因子，试说明这个因子的几何意义.
解：
设，则法向量，法向量与轴的夹角为，该夹角的余弦为
故是曲面的法向量余弦的倒数.
★★★2.计算，其中为曲面在柱体内部分.
解：
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
原式
注：
利用
★★★3.计算，其中为锥面及平面所围成的
区域的整个边界曲面.
解：
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
设为平面，为锥面
对，
对，
原式
★★★4.计算，.其中为圆柱面介于与之间的部分
解：
在面上的投影为
由，可得
如图分为两个曲面
原式
注：
利用
★★★5.计算，其中为平面在第一卦限中的部分
解：
其在面上的投影为
即为：
原式
★★★6.计算，其中为平面及三个坐标面所围的四面体的表面.
解：
，其中
在面上的投影为
即为：
其中,在面上的投影为
即为：
其中，在面上的投影为
其中，在面上的投影为
同上法得
.
★★★7.计算，其中为球面上的部分.
解：
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
原式
★★★8.计算，所其中为柱面被曲面所截下的部分.
解：
在面上的投影为
由，可得
分为两个曲面，
原式
★★★9.求平面被三个坐标面所有限部分的面积.
解：
依题意求，其中
在面上的投影为
.
★★★10.求曲面被平面所截那部分的面积.
解：
依题意求，其中
在面上的投影为
★★★11.求抛物面壳的质量，此壳的面密度的大小.
解：
抛物线面壳在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
所求的质量
★★★12.试求半径为的上半球壳的重心，已知其上各处密度等该点到铅垂直径的距离.
解：
以球心为坐标原点，铅锤直径为z轴建立右手坐标系，则上半球面方程为，密度，由对称性：
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
，故
则
故，重心坐标为：
.
★★★13.求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量.
解：
半球壳上任一点与轴的距离，
半球壳在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
，
注：
利用
提高题
★★★1.计算，其中为圆柱面,与所围成的闭曲面.
解：
在面上的投影为
由，可得
分为两个曲面
原式
★★★2.计算，其中为锥面被柱面所截得的有限部分.
解：
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
注：
利用
§10.5第二类曲面积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲面积分
性质
1．其中表曲面的某一侧（正侧）,表曲面的另一侧（负侧）
2.若,则
计算
1.
其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当时钝角时取负号.
2.
其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当时钝角时取负号.
3.
其中为的法向量与轴的夹角,当时锐角时取正号,当时钝角时取负号.
例题分析
★★1.计算，其中是柱面,平面及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面.
知识点：
曲面积分.
思路:
由多块曲面组成的闭曲面,故应分块进行计算,本题共有
曲面五块,且是三个积分的组合,故应共计算15个积分..
解：
如图
则
，在面上的投影为（方向与轴正向成角）
，在面上的投影为（方向与轴正向成角）
同，.
，在面上的投影为用极坐标表示，则为：
（方向与轴正向相同）
在面上的投影为
在面上的投影为
故
注：
1）
在面上的投影为为圆无面积故
投影到面上，此时要表为的函数：
与轴成锐角,故积分取正号.
投影到面上，此时要表为的函数：
与轴成锐角,故积分取正号.
2）此题可用§10.6高斯公式更方便，请看§10.6例题分析.
课后习题全解
习题10-5
★1.设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问
的左侧（即其法线与轴成钝角的一侧）是正侧吗？
的左侧是正侧吗？
解：
因的左侧为球面的内侧，故不是正侧，
而的左侧是球面的外侧，故是正侧。
★2.在球面上取、、三点为
顶点的球面三角形（AB、BC、CA均为大圆弧），若球面密度为，求此球面三角形块的质量.
解：
设此球面三角形块的质量，则
将投影到平面上,
围的区域.
用极坐标表示，则为：
从而
.
★★3．计算，其中为球面的外侧.
解：
由对称性可知
其中，
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
注：
此题用§10.6高斯公式更方便
★★4．计算，其中是柱面被平面
及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
解：
柱面与面垂直，故，
将分别向面投影，得矩形域
原式
★★★5．设为连续函数，计算曲面积分
其中是平面在第四卦限部分的上侧.
解：
平面的法向量,单位法向量
所以原式
：
原式.
★★★6．计算,其中为球面的外侧.
解：
注：
同第3题
★★★7．计算,其中为下半球面的上侧，为正常数.
解：
方向与轴成钝角,（积分取正号）
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
令其中,与轴成钝角,（积分取负号）.
与轴成锐角,（积分取正号）.
在面上的投影为
用极坐标表示，则为：
原式=
§10.6高斯公式通量与散度
内容概要
名称
主要内容
高斯公式
设在闭域上具有一阶连续偏导数，则
其中是闭域的边界曲面，且取外侧.
设向量场
向量场通过曲面流向指定侧的通量
向量场的散度
例题分析
★★★1.计算，其中是柱面,平面及坐标平面所构成的闭曲面的外侧表面.
知识点：
高斯公式.
思路:
闭曲面围的立体上应用高斯公司（对闭曲面上的第二类曲面积分可考虑应用高斯公司）.
解：
设为围的立体, 在上投影，
用极坐标表示，则为：
利用高斯公式得
原式
★★★★2.计算，其中是平面上的曲线
，绕轴旋转而成的旋转曲面的下侧.
知识点：
高斯公式.
思路:
非闭曲面，一般可直接化二重积分计算，但计算较烦，，可设法利用高斯公式.为此增加辅助曲面构成闭曲面.
解：
如图作辅助平面：
方向向上，则和构成一个方向为外侧的闭曲面.
设为围的立体，在上投影
利用高斯公式得
：
，
在面上的投影为（方向与轴正向一致）
课后习题全解
习题10-6
★★★1.利用高斯公式计算
其中为球面的外侧.
解：
设
球面坐标系:
球面坐标系下
利用高斯公式得原式
由球面坐标系
同法得，
故原式.
★★★2.计算,其中为球面的内侧.
解：
设,球面坐
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