整数裂项.doc
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整数裂项
整数裂项基本公式
(1)
(2)
【例1】=_________
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】这是整数的裂项。
裂项思想是:
瞻前顾后,相互抵消。
设S=
1×2×3=1×2×3
2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3
3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4……
49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50
3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51
S=49×50×51÷3=41650
【答案】
【巩固】________
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算.对于项数较多的情况,可以进行如下变形:
,
所以原式
另解:
由于,所以
原式
采用此种方法也可以得到这一结论.
【答案】
【例2】=_________
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】设S=
1×4×9=1×4×7+1×4×2
4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7
7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10
………….
49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52
9S=49×52×55+1×4×2
S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572
【答案】
【例3】
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】,所以,
原式
从中还可以看出,
【答案】
【例4】计算:
.
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】可以进行整数裂项.
,
,
,
所以原式
也可适用公式.
原式
而
,
,所以原式.
【答案】
【巩固】计算:
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算.
记原式为,再设,
则
,
现在知道与的和了,如果能再求出与的差,那么、的值就都可以求出来了.
所以,.
【答案】
【例5】
【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
其中也可以直接根据公式得出
【答案】
【例6】
【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算
【解析】观察发现,
,……
,
可见,原式
【答案】
【例7】计算:
【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算
【解析】设原式=
【答案】