高考理科数学试题及参考答案湖南卷.doc
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题:
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数等于
A.8 B.－8 C.8i D.－8i（D）
2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的
A．充分而不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件 （B）
3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是
A.2 B.5 C.6 D.8 （C）
4.设随机变量服从正态分布N（2,9） ,若P（＞c+1）=P（＜c－,则c=
A.1 B.2 C.3 D.4 （B）
5.设有直线m、n和平面、。
下列四个命题中，正确的是
A.若m∥,n∥,则m∥n
B.若m,n,m∥,n∥,则∥
C.若，m,则m
D.若，m，m,则m∥ （D）
6.函数f（x）=sin2x+在区间上的最大值是
A.1 B. C. D.1+ （C）
7.设D 、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 （A）
8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.（1,2） B.（2,+） C.（1,5） D.（5,+） （B）
9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是
A.2 B. C. D. （C）
10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1），对于给定的nN*,定义，x,则当x时，函数的值域是
A. B.
C. D. （D）
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在对应题号后的横线上。
11..
12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A（0,b）作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.
13.设函数y=f（x）存在反函数y=f－1（x），且函数y=x－f（x）的图象过点（1，2），则函数
y=f－1（x）－x的图象一定过点（－1,2）.
14.已知函数f（x）＝
（1）若a＞0,则f（x）的定义域是;
（2）若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.
15.对有n（n≥4）个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是给定的正整数，且2≤m≤n－2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n=；所有Pif（1≤i＜j≤的和等于6.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。
乙、丙则约定：
两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。
设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。
求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;
（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.
解用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。
由题意知A，B，C相互独立，且
P（A）＝P（B）＝P（C）＝.
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.
＝
＝
=
=
所以，的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
17.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：
平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
解解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。
又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。
而AB=A，因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF。
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
解法二如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。
则相关各点的坐标分别是
A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E（1,,0）
（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
18.（本小题满分12分）
数列
（Ⅰ）求并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设证明：
当
解（Ⅰ）因为
一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①
②
①－②得，
所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
（1）当n=6时，成立.
（2）假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由
（1）、
（2）所述，当n≥6时，，即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
19.（本小题满分13分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.。
点E正北55海里处有一个雷达观测站A。
.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：
海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解（I）如图，AB=40，AC=10，
由于<<，所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是
B（x1，y1）,C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1=AB=40，
所以过点B、C的直线l的斜率k=,
直线l的方程为y=2x－40.
又点E（0，－55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，
===.
从而
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15.
过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△中，
PE=QE·sin
=
所以船会进入警戒水域.
20.（本小题满分13分）
若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（Ⅰ）证明：
点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
（Ⅱ）试问：
点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：
若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4（x1－x2）.因为x1x2,所以y1+y20.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则
k=.
从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线l上，所以－ym=
而于是
故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得（·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
因为0<<4xm=4（x0－2）=4x0－8,于是设t=,则t（0,4x0－8）.
记l2=g（t）=－[t－2（x0－3）]2+4（x0－1）2.
若x0>3,则2（x0－3）（0,4x0－8）,所以当t=2（x0－3）,即=2（x0－3）时,
l有最大值2（x0－1）.
若20综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0－1）；当221.（本小题满分13分）
已知函数f（x）=ln2（1+x）－.
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间;
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值.
解（Ⅰ）函数f（x）的定义域是，
设则
令则
当时，在（－1，0）上为增函数，
当x＞0时，在上为减函数.
所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0,所以，函数g（x）在上为减函数.
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时，在（－1，0）上为增函数.
当x＞0时，在上为减函数.
故函数f（x）的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.
（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，
设则
由（Ⅰ）知，即
所以于是G（x）在上为减函数.
故函数G（x）在上的最小值为
所以a的最大值为
-11-
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