第五章积分变换法.doc

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第五章积分变换法

分离变量主要是解决有界区域问题，对于大多数无界区域问题或半无界区域问题，如何求解，需引出另一种求解办法——积分变换法。

（一）积分变换法

1．积分变换：

就是将某些函数类中的函数,经过某种可逆的分积手续

变成另一函数类中的函数F（p）。

其中F（p称为f（x）的像函数,f（x）称为原函数,而是p和x的己知函数,称为积分变换核。

2．积分变换法：

对偏微分方程（常微分方程,积分方程）的定解问题中的各项实施积分变换,从而将偏微分方程（常微分方程和积分方程）的求解转换为常微分方程（代数方程）的求解办法叫积分变换法。

（二）变换

1．定义：

设函数在上连续,分段光滑且可积,则称函数

为函数的变换,记为

而称函数

为的逆变换,记为

显然

类似的,称函数

为的变换,而称函数

为函数的逆变换

2．性质

若记，则有

1°线性性:

2°延迟性:

3°位移性质:

4°相似性质:

5°微分性质:

若当时,,则

6°积分性质:

7°卷积性质:

其中：

定义为和的卷积

（三）变换:

1．定义：

设函数满足以下条件：

（1）当时,

（2）时,及除去有限个第一类间断点外,处处连续

（3）当时存在常数及使得

则称函数

为函数的变换,并记作,称函数

为函数的逆变换,并记作

显然

2．性质

若记

（1）线性性质：

（2）延迟性质：

（3）位移性质：

（4）相似性质

（5）微分性质：

（6）积分性质：

（7）卷积性质：

3．利用积分变换法求解数己定方程时常用到的积分公式

①

②

③

④

⑤

（四）积分变换法解题步骤

用积分变换法解题分三步

step1：

对方程和定解条件的各项取变换,得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。

Step2：

求解常微方程的定解问题，得到像函数；

Step3：

求像函数的逆，即得原定解问题的解。

（五）应用举例:

例1:

利用积分变换法求解弦振动方程的初值问题

解:

将t视为参数,对变量作Fourier变换,并证

则原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题

解上面常微分方程的定解问题，得

将空间的解还原到原空间

则

这与达朗贝尔公式的结果相一致。

例2：

求解热传导方程的初值问题

解:

将t视为参数,对x作变换,并记

则:

原偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题.

解常微分方程的定解问题，得

（卷积性质）

由广义积分求值得:

例3：

求解热传导方程

解:

将t视为参数,对变量x实施变换,并记

于是原偏微分方程的定解问题化为:

解之得

例4：

求解

解:

将t视为参数,对u（x,t）关于变量x实施Fourier变换,并记

则原偏微分积化为:

解之得:

令并利用

得：

例5：

利用Laplace变换求解

解：

两边关于t实施Laplace变换，并记

则：

因为：

例6：

求解定解问题：

解：

将x视为参数，关于变量t实施变换有

并记

则有：

即

求得通解为：

由边界条件得

由边界条件

而

由变换的位移性质有：

例7：

设有一初始温度为3sin的单位长度的均匀杆，杆的侧面绝热而两端温度保持零度，试达杆内温度分布

解：

刻定解问题为：

对t实施变换，则

即：

即：

解此非齐次的二阶常微分方程得：

取变换的逆，则有：

思考：

利用分离变量法如何求解。

例8：

求解

方法1：

先对y面对x积分各一次

则

又

方法2：

采用积分变换法，对变量y实施Laplace变换有

并证

变为

即定解问题变为

例9：

求解一维半无限的热传导问题

解：

关于实施变换并记

则：

原问题的定解问题变为

由

（1）知

又

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