学习实践解一元二次方程公式法导学案 新版新人教版Word文档格式.docx
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一般地,对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0,当时,它的两个根分别是
,,
这里,叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化成一般形式:
ax2+bx+c=0;
确定a,b,c的值;
求出的值,并判断方程根的情况:
当时,方程有两个不相等的实数根;
当时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程没有实数根.
当时,将a,b,c和的值代入公式(注意符号).
四、典例探究
.根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】
(XX&
#8226;
重庆)已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
两个根都是自然数
D.无实数根
总结:
求根的判别式时,应该先将方程化为一般形式,正确找出a,b,c的值.
根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下:
当时,方程有两个不相等的实数根;
当时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程没有实数根.
练1.(XX&
铜仁市)已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法不正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
c.没有实数根
D.无法确定
练2.(XX&
泰州)已知:
关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
2.根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围
【例2】
温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( )
A.﹣1
B.1
c.﹣4
D.4
已知方程根的情况求字母的值或取值范围时:
先计算根的判别式;
再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解;
若二次项系数出现了字母,应注意“二次项系数不为0”.
练3.(XX&
凉山州)关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤3
B.m<3
c.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
3.用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程:
(1)x2+2x﹣2=0;
(2)y2﹣3y+1=0;
(3)x2+3=2x.
公式法的实质是配方法,只不过省去了配方的过程,而直接利用了配方的结论;
运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提:
(1)先将一元二次方程化为一般形式,即确定a,b,c的值;
(2)必须保证b2-4ac≥0.
练4.(XX&
锦江区模拟)解方程:
x(x﹣2)=3x+1.
练5.当x是何值时,3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等?
五、课后小测
一、选择题
.(XX&
云南)下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.4x2﹣5x+2=0
B.x2﹣6x+9=0
c.5x2﹣4x﹣1=0
D.3x2﹣4x+1=0
2.(XX&
贵港)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
B.0
c.1
D.2
3.(XX&
烟台)等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为( )
A.9
B.10
c.9或10
D.8或10
4.(XX&
株洲)有两个一元二次方程m:
N:
cx2+bx+a=0,其中a&
c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程m有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程m的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
c.如果5是方程m的一个根,那么是方程N的一个根
D.如果方程m和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
5.(XX&
日照)已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( )
A.﹣2<x1<﹣1
B.﹣3<x1<﹣2
c.2<x1<3
D.﹣1<x1<0
二、填空题
6.(XX秋&
册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,x1= ,x2= .
三、解答题
7.(XX秋&
通山县期中)用公式法解方程:
2x2﹣4x=5.
8.(XX秋&
金溪县校级月考)解方程:
2x2﹣2x﹣5=0.
9.(XX春&
石景山区期末)用公式法解方程:
x(x)=4.
0.(XX&
梅州)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
11.(XX&
咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
12.(XX&
昆山市一模)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求m的值.
13.(XX&
南充一模)已知关于x的一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)
(1)小明考查后说,它总有两个不相等的实数根.
(2)小华补充说,其中一个根与k无关.
请你说说其中的道理.
典例探究答案:
c.两个根都是自然数
分析:
判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
解答:
解:
∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
2×
3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
A.
点评:
此题主要考查了一元二次方程根的判别式,要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0&
#8660;
方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0&
方程有两个相等的实数根;
(3)△<0&
方程没有实数根.
先求出△的值,再判断出其符号即可.
∵△=42﹣4×
3×
(﹣5)=76>0,
故选B.
本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
(1)找出方程a,b及c的值,计算出根的判别式的值,根据其值的正负即可作出判断;
(2)将x=3代入已知方程中,列出关于系数m的新方程,通过解新方程即可求得m的值.
(1)∵a=1,b=2m,c=m2﹣1,
∵△=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×
1×
(m2﹣1)=4>0,
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根;
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,
∴32+2m×
3+m2﹣1=0,
解得,m=﹣4或m=﹣2.
此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解的定义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×
4c=0,然后解一次方程即可.
∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,
∴△=42﹣4×
4c=0,
∴c=1,
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0,即22-4×
(m-2)×
1≥0,然后解不等式组即可得到m的取值范围.
∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m-2≠0且△≥0,即22-4×
1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
D.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:
(1)求出b2﹣4ac的值,代入公式x=求出即可;
(2)求出b2﹣4ac的值,代入公式y=求出即可;
(3)求出b2﹣4ac的值是负数,即可得出原方程无解.
(1)这里a=1,b=2,c=﹣2,
∵b2﹣4ac=22﹣4×
(﹣2)=12>0,
∴x==﹣1,
∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣;
(2)这里a=1,b=﹣3,c=1.
∵b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×
1=5>0,
∴y=,
∴y1=,y2=;
(3)移项,得x2﹣2x+3=0,
这里a=1,b=﹣2,c=3.
∵b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×
3=﹣4<0.
∴原方程没有实数根.
本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力,前提是先判断判别式的符号,再根据情况代入求根公式求解.
整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
x(x﹣2)=3x+1,
整理得:
x2﹣5x﹣1=0,
b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×
(﹣1)=29,
x=,
x1=,x2=.
本题考查了解一元二次方程的应用,能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键,难度适中.
根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等,即可列出方程,然后利用公式法即可求解.
根据题意得:
3x2+4x﹣8=2x2﹣1,
即x2+4x﹣7=0,
a=1,b=4,c=﹣7,
△=b2﹣4ac=16+28=44>0,
则x==﹣2.
本题考查了公式法解一元二次方程,注意公式运用的条件:
判别式△≥0.
课后小测答案:
A、∵△=25﹣4×
4=﹣7<0,∴方程没有实数根,故本选项正确;
B、∵△=36﹣4×
4=0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
c、∵△=16﹣4×
5×
(﹣1)=36>0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
D、∵△=16﹣4×
3=4>0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
故选A.
∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,
∴△=(﹣2)2﹣8(a﹣1)=12﹣8a≥0且a﹣1≠0,
∴a≤且a≠1,
∴整数a的最大值为0.
B.
烟台)等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为
( )
∵三角形是等腰直角三角形,
∴①a=2,或b=2,②a=b两种情况,
①当a=2,或b=2时,
∵a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,
∴x=2,
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得,22﹣6×
2+n﹣1=0,
解得:
n=9,
当n=9,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,
故n=9不合题意,
②当a=b时,方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4(n﹣1)=0
n=10,
A、如果方程m有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;
B、如果方程m的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,>0,所以a与c符号相同,>0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,不符合题意;
c、如果5是方程m的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,结论正确,不符合题意;
D、如果方程m和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c,由a≠c,得x2=1,x=±
1,结论错误,符合题意;
故选D.
x2﹣x﹣3=0,
b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×
(﹣3)=13,
方程的最小值是,
∵3<<4,
∴﹣3>﹣>﹣4,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣1>>﹣
册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= 41 ,x1= ,x2= .
2x2﹣7x+1=0,
a=2,b=﹣7,c=1,
∴b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×
1=41,
∴x==,
∴x1=,x2=,
故答案为:
41,,.
原方程可化为:
2x2﹣4x﹣5=0,
∵a=2,b=﹣4,c=﹣5,
∴b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×
(﹣5)=56>0,
∴x=\frac{4±
\sqrt{56}}{4}=1±
.
∴x1=1+,x2=1﹣.
这里a=2,b=﹣2,c=﹣5,
∵△=8+40=48,
∴x==.
整理得:
x2+2x﹣4=0,
△=b2﹣4ac=
(2)2﹣4×
(﹣4)=28,
x1=﹣+,x2=﹣﹣.
(1)∵b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×
(a﹣2)=12﹣4a>0,
a<3.
∴a的取值范围是a<3;
(2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:
,
则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.
1.(XX&
(1)△=(m+2)2﹣8m=m2﹣4m+4=(m﹣2)2,
∵不论m为何值时,(m﹣2)2≥0,
∴△≥0,
∴方程总有实数根;
(2)解方程得,x=,
x1=,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1.
(1)∵△=(m+3)2﹣4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4>0,
∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x1、x2是原方程的两根,
∴x1+x2=﹣m﹣3,x1x2=m+1,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1﹣x2)2=8,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=8,
∴(﹣m﹣3)2﹣4(m+1)=8,
∴m1=1,m2=﹣3.
(1)∵△=4(k﹣1)2﹣4k(k﹣2)=4>0,
∴一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)总有两个不相等的实数根;
(2)当x=1时,k﹣2(k﹣1)+k﹣2=0,
即一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)有一根为1,
x=1是一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)的根,与k无关.