北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及答案.doc

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北京科技大学2006--2007学年第一学期

高等数学试卷（A）

院（系）班级学号姓名

试卷卷面成绩

占课程考核成绩70%

平时成绩占30%

课程考核成绩

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

十一

十二

小计

得分

阅卷

校对

装订线内不得答题

自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊

得分

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．设．

2．已知，则全微分．

3．已知,则.

4..

5．不定积分=．

得分

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

6．设在处连续，则a的值为【】．

（A）0（B）1（C）2（D）

7．在空间直角坐标系下，z轴的对称式方程为【】．

（A）；（B）；

（C）；（D）．

8．函数在点可导，则下列结论正确的是【】

（A）（B）（C）（D）0

9.已知函数具有任意阶导数，且，则当n为大于2的整数时，的n阶导数是【】

（A）（B）（C）（D）。

10.设的导数是，则的一个原函数为【】

（A）1+（B）1-（C）1+（D）1-

得分

三、（8分）计算

得分

四、（8分）设求

得分

五、（8分）求不定积分

装订线内不得答题

自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊

得分

六、（8分）利用定积分定义计算极限）

得分

七、（8分）求极限

得分

八、（8分）求定积分

得分

九、（8分）求极限

装订线内不得答题

自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊

得分

十、（5分）已知汽车行驶每小时的耗油费用为（元），它与行驶速度（公里/小时）的关系为．若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少？

得分

十一、（5分）如图：

已知半径为的半球形水池充满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度。

得分

十二、（4分）

设函数在区间上可导,，且满足等式

（1）求导数；

（2）证明:

当时，成立不等式.

A卷

北京科技大学2006—2007学年度第一学期

高等数学试卷（A）题答案及评分标准

（注：

此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档）

参考答案

一．填空题

1．

2．.

3．

4．

5．

二．选择题

6．A7．B8．C9．A10．B

三．

=

=

=0（2分）

四、（5分）

（3分）

五解法1：

；

令

（3分）（3分）

=（2分）

解法2：

原式=（3分）

（3分）

（2分）

六．I（3分）=（4分）

=（1分）

七．解：

原式（3分）

考虑极限（3分）

原式（2分）

八解：

设原积分＝，则

设原积分＝，则

（5分）

=5（3分）

九．解：

原式=

十解：

设汽车行驶了公里，则耗时小时．

总费为，其中．（3分）

此问题是求函数在区间上的最小值．

根据，可得驻点．（1分）

由实际问题考虑，此函数的最小值存在，且驻点是唯一的．

则当行驶速度为公里/小时时总费用最省．（1分）

十一．如图：

（3分）

当水面下降高度为h时，

（1分）

由上二式可以解得（1分）

十二

（1）解：

由题设知

上式两边对于求导得：

。

设，得到，解之得到。

由及，得到，从而

即。

（2分）

（2）证：

当时，，即单调减少，又，所以

。

（1分）设，则

当时，，即单调增加，因而

，即有。

综上所述得到当时（1分）

高等数学A试卷第9页共9页