北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及答案.doc
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北京科技大学2006--2007学年第一学期
高等数学试卷(A)
院(系)班级学号姓名
试卷卷面成绩
占课程考核成绩70%
平时成绩占30%
课程考核成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
小计
得分
阅卷
校对
装订线内不得答题
自觉遵守考试规则,诚信考试,绝不作弊
得分
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设.
2.已知,则全微分.
3.已知,则.
4..
5.不定积分=.
得分
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
6.设在处连续,则a的值为【】.
(A)0(B)1(C)2(D)
7.在空间直角坐标系下,z轴的对称式方程为【】.
(A);(B);
(C);(D).
8.函数在点可导,则下列结论正确的是【】
(A)(B)(C)(D)0
9.已知函数具有任意阶导数,且,则当n为大于2的整数时,的n阶导数是【】
(A)(B)(C)(D)。
10.设的导数是,则的一个原函数为【】
(A)1+(B)1-(C)1+(D)1-
得分
三、(8分)计算
得分
四、(8分)设求
得分
五、(8分)求不定积分
装订线内不得答题
自觉遵守考试规则,诚信考试,绝不作弊
得分
六、(8分)利用定积分定义计算极限)
得分
七、(8分)求极限
得分
八、(8分)求定积分
得分
九、(8分)求极限
装订线内不得答题
自觉遵守考试规则,诚信考试,绝不作弊
得分
十、(5分)已知汽车行驶每小时的耗油费用为(元),它与行驶速度(公里/小时)的关系为.若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元,问汽车最经济的行驶速度为多少?
得分
十一、(5分)如图:
已知半径为的半球形水池充满了水,求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时,水面下降的高度。
得分
十二、(4分)
设函数在区间上可导,,且满足等式
(1)求导数;
(2)证明:
当时,成立不等式.
A卷
北京科技大学2006—2007学年度第一学期
高等数学试卷(A)题答案及评分标准
(注:
此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档)
参考答案
一.填空题
1.
2..
3.
4.
5.
二.选择题
6.A7.B8.C9.A10.B
三.
=
=
=0(2分)
四、(5分)
(3分)
五解法1:
;
令
(3分)(3分)
=(2分)
解法2:
原式=(3分)
(3分)
(2分)
六.I(3分)=(4分)
=(1分)
七.解:
原式(3分)
考虑极限(3分)
原式(2分)
八解:
设原积分=,则
设原积分=,则
(5分)
=5(3分)
九.解:
原式=
十解:
设汽车行驶了公里,则耗时小时.
总费为,其中.(3分)
此问题是求函数在区间上的最小值.
根据,可得驻点.(1分)
由实际问题考虑,此函数的最小值存在,且驻点是唯一的.
则当行驶速度为公里/小时时总费用最省.(1分)
十一.如图:
(3分)
当水面下降高度为h时,
(1分)
由上二式可以解得(1分)
十二
(1)解:
由题设知
上式两边对于求导得:
。
设,得到,解之得到。
由及,得到,从而
即。
(2分)
(2)证:
当时,,即单调减少,又,所以
。
(1分)设,则
当时,,即单调增加,因而
,即有。
综上所述得到当时(1分)
高等数学A试卷第9页共9页