常微分方程期末考试试卷(6).doc

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常微分方程期末考试试卷（6）

学院______班级_______学号_______姓名_______成绩_______

一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1.当_______________时，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求=f（x,y）满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f（x,y）在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________。

5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。

7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt=____________。

8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：

=

2.解方程：

（2x+2y-1）dx+（x+y-2）dy=0

3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：

5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算

6、试讨论方程组

（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：

如果满足初始条件的解，那么

常微分方程期末考试答案卷

一、填空题。

（30分）

1、

2、

3、y=+

4、连续的

5、w

6、n个线性无关解

7、

8、X（x,y）=0,Y（x,y）=0

9、为零稳定中心

二、计算题。

（60分）

1、解：

（x-y+1）dx-（x++3）dy=0

xdx-（ydx+xdy）+dx-dy-3dy=0

即d-d（xy）+dx--3dy=0

所以

2、解：

，令z=x+y

则

所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+

即

3、解：

设f（x,y）=,则

故在的任何区域上存在且连续，

因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，是通过点（0，0）的一个解；

又由解得，|y|=

所以，通过点（0，0）的一切解为及

|y|=

4、解：

（1）

齐次方程的通解为x=

（2）不是特征根，故取

代入方程比较系数得A=，B=-

于是

通解为x=+

5、解：

det（）=

所以，

设对应的特征向量为

由

取

所以，=

6、解：

因为方程组

（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件

，故奇点为原点（0，0）

又由det（A-E）=得

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a，c为实数

三、证明题。

（10分）

证明：

设的形式为=

（1）

（C为待定的常向量）

则由初始条件得=

又=

所以，C==

代入

（1）得=

即命题得证。